1、核心母题一最值问题(2019台州模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线yx4与坐标轴交于A，B两点，OCAB于点C，P是线段OC上的一个动点，连结AP，将线段AP绕点A逆时针旋转45，得到线段AP，连结CP，则线段CP的最小值为( )A22 B1C21 D2【母题分析】由点P的运动确定P的运动轨迹是与x轴垂直的一段线段MN，当线段CP与MN垂直时，线段CP的值最小【母题解答】【思想方法】(1)最值(或最短路径)问题的背景来源主要有：角、等腰(边)三角形、菱形、正方形以及圆等从内容上看，还会引申到“两线段差最大”问题、三角形(四边形)的周长最小问题、面积最大等除此之外，解决最值问题常常借助极
2、端点(2)一般地，解决线段和差最值问题的目标是“化曲为直”，手段通常是遇“和”转化为异侧，遇“差”转化为“同侧”，根据是轴对称和全等三角形，常用方法是利用轴对称图形中的“已知”的对称点涉及的知识点有“两点之间线段最短”“垂线段最短”“三角形三边关系”“轴对称”“平移”等【母题多变】变化1：几何与最值点A，B是线段l异侧的两点，点P为l上的一点，则点P使得|PAPB|最大点E在等腰三角形的腰AB上，则点P使得PBPE最小E是AB上的定点，点P在正方形对角线BD上，则点P使得PAPE最小A，B是圆上的两点，点P在直径CD上，则点P使得PAPB最小直线l上的点M，N(M在左，AAl，MNa)，使得A
3、MMNNB的值最小mn，直线m，n上的点M，N(MNm，MNAA，MNAA)使得AMMNBN的值最小直线l1，l2上的点M，N，使得四边形PQMN的周长最小点P是角平分线上的动点，M是定点，Q是动点且Q与Q1关于角平分线对称当点P运动到P1时，PMPQ最小点A是l1上的动点，B，P是定点PAAB的值最小A为l1上定点，B为l2上定点点M在l2上，点N在l1上AMMNNB的值最小.变化2：坐标系中的最值点P为x轴上的一点，PAPB最小已知点A，B.点P，Q分别为x轴、y轴上的两点，则四边形ABQP的周长最小PQ与BD平行且点P是直线PQ与抛物线唯一的交点，则以BD为边，另一顶点在BD上方的BDP
4、面积最大点P为抛物线对称轴上的一点，PAPC最小或PAC的周长最小变化3：特殊图形的最值点P是圆O外的定点，A，B是圆O上的动点当点A，O，B，P共线时，PA最小，PB最大AB是过圆O内定点P的弦当OPAB时，AB最小在直线l上，动点P使形如“CPkAP”的值最小(其中sin Bk1).1(2019西藏)如图，在矩形ABCD中，AB6，AD3，动点P满足SPABS矩形ABCD，则点P到A，B两点距离之和PAPB的最小值为( )A2 B2C3 D.2(2019南岸区)如图，AOB20，点M，N分别是边OA，OB上的定点，点P，Q分别是边OB，OA上的动点，记MPQ，PQN，当MPPQQN最小时，
5、则的值为( )A10 B20C40 D603(2019开州区)如图，点E是菱形ABCD对角线BD上任一点，点F是CD上任一点，连结CE，EF.当ABC45，BC10时，CEEF的最小值是( )A10 B10C5 D54(2019陕西)如图，在正方形ABCD中，AB8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM6.P为对角线BD上一点，则PMPN的最大值为_5如图，在ABC中，AC9，AB12，BC15，P为BC边上一动点，PGAC于点G，PHAB于点H.(1)求证：四边形AGPH是矩形；(2)在点P的运动过程中，GH的长度是否存在最小值；若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理
6、由参考答案【核心母题】由已知可得A(0，4)，B(4，0)，三角形OAB是等腰直角三角形OCAB，C(2，2) 又P是线段OC上的动点，将线段AP绕点A逆时针旋转45得到线段AP，P的运动轨迹是与x轴垂直的一段线段MN，当线段CP与MN垂直时，线段CP的值最小 在AOB中，AOAN4，AB4，NB44， 又RtHBN是等腰直角三角形，HB42，CP4(42)222.故选A.【深度练习】1A2.C3.C4.25(1)证明：AC9，AB12，BC15，AC281，AB2144，BC2225，AC2AB2BC2，A90.PGAC，PHAB，AGPAHP90，四边形AGPH是矩形(2)解：存在如图，连结AP.四边形AGPH是矩形，GHAP.当APBC时，AP最短91215AP，AP，GH的长度存在最小值为.