1、1.2任意角的三角函数1.2.1三角函数的定义学习目标1.理解任意角的三角函数的定义.2.掌握三角函数在各个象限的符号.3.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.知识点一任意角的三角函数使锐角的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，在终边上任取一点P，作PMx轴于点M，设P(x，y)，|OP|r.(1)定义叫做角的余弦，记作cos ，即cos ；叫做角的正弦，记作sin ，即sin ；叫做角的正切，记作tan ，即tan .依照上述定义，对于每一个确定的角，都分别有唯一确定的余弦值、正弦值与之对应；当k(kZ)时，它有唯一的正切值与之对应.因此这三个对应法则都是以为自变量的函数，分别叫做角的余
2、弦函数、正弦函数和正切函数.(2)有时我们还用到下面三个函数角的正割：sec ；角的余割：csc ；角的余切：cot .这就是说，sec ，csc ，cot 分别是的余弦、正弦和正切的倒数.由上述定义可知，当的终边在y轴上，即k(kZ)时，tan ，sec 没有意义；当的终边在x轴上，即k(kZ)时，cot ，csc 没有意义.知识点二正弦、余弦、正切函数的定义域三角函数定义域sin Rcos Rtan 知识点三正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号三角函数值在各象限内的符号，如图所示.记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.1.sin ，cos ，tan 的大小与点P(x，y)在角的终边上的
3、位置有关.()提示三角函数的大小由角终边位置确定，而与点P(x，y)在终边上的位置无关.2.终边相同的角的同名三角函数值相等.()提示由三角函数的定义可知，终边相同的角的同名三角函数值相等.3.正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域都是R.()题型一三角函数定义的应用命题角度1已知角终边上一点坐标求三角函数值例1已知终边上一点P(x,3)(x0)，且cos x，求sin ，tan .解由题意知r|OP|，由三角函数定义得cos .又cos x，x.x0，x1.当x1时，P(1,3)，此时sin ，tan 3.当x1时，P(1,3)，此时sin ，tan 3.反思感悟(1)已知角终边上任意一点的坐
4、标求三角函数值的方法在的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r0)，则sin ，cos .当已知的终边上一点求的三角函数值时，用该方法更方便.(2)当角的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.跟踪训练1已知角的终边过点P(3a,4a)(a0)，求2sin cos 的值.解r5|a|.若a0，则r5a，角在第二象限，sin ，cos ，2sin cos 1.若a0，则rx，从而sin ，cos ，cos sin .若x0.210360150，210是第二象限角，cos(210)0，sin 145cos(210)0.(2)3450，cos 40，ta
5、n 50.反思感悟角的三角函数值的符号由角的终边所在位置确定，解题的关键是准确确定角的终边所在的象限，同时牢记各三角函数值在各象限的符号，记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.跟踪训练3如果点P(sin cos ，2cos )位于第三象限，则角是()A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角答案B解析因为点P(sin cos ，2cos )位于第三象限，所以则所以为第二象限角.题型三三角函数的定义域例4求下列函数的定义域.(1)y；(2)y.解(1)要使函数有意义，需tan x0，所以xk，kZ且xk，kZ，所以x，kZ.于是函数的定义域是.(2)要使函数有意义，需得解得
6、2kx2k，kZ，所以函数的定义域是.反思感悟求函数定义域使式子有意义的情况一般有以下几种：(1)分母不为零.(2)偶次根号下大于等于零.(3)在真数位置时大于零.(4)在底数位置时大于零且不等于1.跟踪训练4求函数f(x)的定义域.解要使f(x)有意义，则所以解得2kx2k，kZ，所以函数的定义域为.弧度制与实数典例(1)已知是第二象限角，试判断的符号；(2)若sin(cos )cos(sin )0，则为第几象限角？解(1)是第二象限角，0sin 1，1cos 0，tan(cos )0.0.(2)1cos 1，1sin 10，故要使sin(cos )cos(sin )0，则必有sin(cos
7、 )0.cos 0，即为第二、三象限角或角终边在x轴的负半轴上.素养评析由于弧度制表示的角是一个实数，反过来一个实数也可看做是用弧度制表示的角，因此本例中sin ，cos 的值看成相应的角也就可以参与计算，这正是数学核心素养数学运算的具体体现.1.已知角的终边经过点(4,3)，则cos 等于()A. B. C. D.答案D解析由题意可知，x4，y3，r5，所以cos .故选D.2.已知|cos |cos ，|tan |tan ，则的终边在()A.第二、四象限B.第一、三象限C.第一、三象限或x轴上D.第二、四象限或x轴上答案D解析依题意，得为第四象限角或的终边在x轴非负半轴上.当为第四象限角时
8、，作图可知，的终边在第二、四象限；当的终边在x轴非负半轴上时，2k，kZ，k，kZ，的终边在x轴上，故选D.3.若点P(3，y)是角终边上的一点，且满足y0，cos ，则tan 等于()A. B. C. D.答案D解析cos ，5，y216，y0，cos 0时，令x24k，y7k，则有r25k，sin ，cos ，tan .当k0时，令x24k，y7k，则有r25k，sin ，cos ，tan .1.三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角的终边位置确定.即三角函数值的大小只与角有关.2.要善于利用三角函数的定义及三角函数的符号规律解题，并且注意掌握解题时必要的分类讨论及三角函数值符号的正确选取.3.要牢记一些特殊角的正弦、余弦、正切值.
