1、专题18 新定义与阅读理解题1（2019湘西州）阅读材料：设=（x1，y1），=（x2，y2），如果，则x1y2=x2y1，根据该材料填空，已知=（4，3），=（8，m），且，则m=_【答案】6【解析】=（4，3），=（8，m），且，4m=38，m=6；故答案为：6【名师点睛】本题考查新定义，点的坐标；理解阅读材料的内容，转化为所学知识求解是关键2（2019白银）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”若等腰ABC中，A=80，则它的特征值k=_【答案】或【解析】当A为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：=50，特征值k=；当A为底角时，顶角的度数为：180
2、8080=20，特征值k=；综上所述，特征值k为或；故答案为或【名师点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知A的底数，要进行判断是底角或顶角，以免造成答案的遗漏3（2019河北）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数示例：即4+3=7则（1）用含x的式子表示m=_；（2）当y=2时，n的值为_【答案】（1）3x；（2）1【解析】（1）根据约定的方法可得：m=x+2x=3x；故答案为：3x；（2）根据约定的方法即可得x+2x+2x+3=m+n=y当y=2时，5x+3=2解得x=1n=2x+3=2+3=1故答案为：1【名师点睛】
3、本题考查了列代数式和代数式求值，解题的关键是掌握列代数式的约定方法4（2019枣庄）对于实数a、b，定义关于“”的一种运算：ab=2a+b，例如34=23+4=10（1）求4（3）的值；（2）若x（y）=2，（2y）x=1，求x+y的值【答案】（1）5；（2）.【解析】（1）根据题中的新定义得：原式=83=5；（2）根据题中的新定义化简得：，+得：3x+3y=1，则x+y=【名师点睛】此题考查了解二元一次方程组，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键5（2019济宁）阅读下面的材料：如果函数y=f（x）满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2，（1）若x1x2，都有f（x1）f（
4、x2），则称f（x）是增函数；（2）若x1x2，都有f（x1）f（x2），则称f（x）是减函数例题：证明函数f（x）=（x0）是减函数证明：设0x1x2，f（x1）f（x2）=0x1x2，x2x10，x1x200即f（x1）f（x2）0f（x1）f（x2），函数f（x）（x0）是减函数根据以上材料，解答下面的问题：已知函数f（x）=+x（x0），f（1）=+（1）=0，f（2）=+（2）=（1）计算：f（3）=_，f（4）=_；（2）猜想：函数f（x）=+x（x0）是_函数（填“增”或“减”）；（3）请仿照例题证明你的猜想【答案】（1），；（2）增；（3）见解析【解析】（1）f（x）=+x（x
5、0），f（3）=3=，f（4）=4=，故答案为：，；（2）43，f（4）f（3），函数f（x）=+x（x0）是增函数，故答案为：增；（3）设x1x20，f（x1）f（x2）=（x1x2）（1）x1x20，x1x20，x1+x20，f（x1）f（x2）0，f（x1）f（x2），函数f（x）=+x（x0）是增函数【名师点睛】本题考查反比例函数图象上的坐标特征、反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答6（2019随州）若一个两位数十位、个位上的数字分别为m，n，我们可将这个两位数记为，易知=10m+n；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如=
6、100a+10b+c【基础训练】（1）解方程填空：若+=45，则x=_；若=26，则y=_；若+=，则t=_；【能力提升】（2）交换任意一个两位数的个位数字与十位数字，可得到一个新数，则+一定能被_整除，一定能被_整除，mn一定能被_整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空）【探索发现】（3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如
7、若选的数为325，则用532235=297），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”该“卡普雷卡尔黑洞数”为_；设任选的三位数为（不妨设abc），试说明其均可产生该黑洞数【答案】（1）247（2）11；9；10【解析】（1）=10m+n，若+=45，则102+x+10x+3=45，x=2，故答案为：2若=26，则107+y（10y+8）=26，解得y=4，故答案为：4由=100a+10b+c，及四位数的类似公式得若+=，则100t+109+3+1005+10t+8=10001+1003+10t+1，100t=700
8、，t=7，故答案为：7（2）+=10m+n+10n+m=11m+11n=11（m+n），则+一定能被11整除，=10m+n（10n+m）=9m9n=9（mn），一定能被9整除mn=（10m+n）（10n+m）mn=100mn+10m2+10n2+mnmn=10（10mn+m2+n2）mn一定能被10整除故答案为：11；9；10（3）若选的数为325，则用532235=297，以下按照上述规则继续计算，972279=693，963369=594，954459=495，954459=495，故答案为：495当任选的三位数为时，第一次运算后得：100a+10b+c（100c+10b+a）=99（ac
9、），结果为99的倍数，由于abc，故ab+1c+2，ac2，又9ac0，ac9，ac=2，3，4，5，6，7，8，9，第一次运算后可能得到：198，297，396，495，594，693，792，891，再让这些数字经过运算，分别可以得到：981189=792，972279=693，963369=594，954459495，954459=495，故都可以得到该黑洞数495【名师点睛】本题是较为复杂的新定义试题，题目设置的问题较多，但解答方法大同小异，总体中等难度略大7（2019自贡）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+22017+22018的值，采用以下方法：设S=1+2+22+22017
10、+22018，则2S=2+22+22018+22019，得2SS=S=220191，S=1+2+22+22017+22018=220191.请仿照小明的方法解决以下问题：（1）1+2+22+29=_；（2）3+32+310=_；（3）求1+a+a2+an的和（a0，n是正整数），请写出计算过程【答案】（1）2101；（2）；（3）a=1时，S=n+1；a1时，S=【解析】（1）设S=1+2+22+29，则2S=2+22+210，得2SS=S=2101，S=1+2+22+29=2101；故答案为：2101；（2）设S=3+3+32+33+34+310，则3S=32+33+34+35+311，得2
11、S=3111，所以S=，即3+32+33+34+310=；故答案为：；（3）设S=1+a+a2+a3+a4+an，则aS=a+a2+a3+a4+an+an+1，得：（a1）S=an+11，a=1时，不能直接除以a1，此时原式等于n+1；a1时，a1才能做分母，所以S=，即1+a+a2+a3+a4+an=.【名师点睛】根据题目给出的信息，提炼解题方法认真观察、仔细思考，善用联想，利用类比的方法是解决这类问题的方法8（2019江西）特例感知（1）如图1，对于抛物线，下列结论正确的序号是_；抛物线，都经过点；抛物线，的对称轴由抛物线的对称轴依次向左平移个单位得到；抛物线，与直线的交点中，相邻两点之间
12、的距离相等.形成概念（2）把满足（n为正整数）的抛物线称为“系列平移抛物线”.知识应用在（2）中，如图2.“系列平移抛物线”的顶点依次为，用含n的代数式表示顶点的坐标，并写出该顶点纵坐标y与横坐标x之间的关系式；“系列平移抛物线”存在“系列整数点（横、纵坐标均为整数的点）”：，其横坐标分别为：，（k为正整数），判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由.在中，直线分别交“系列平移抛物线”于点，连接，判断，是否平行？并说明理由.【答案】（1）（2），相邻两点之间的距离相等，相邻两点距离为不平行，直线的斜率（比例系数）为，与n取值有关(若两直线平行，则
13、斜率会相等).【解析】（1）当x=0,，所以正确；的对称轴分别是直线，所以正确；与交点（除了点C）横坐标分别为1，2，3，所以距离为1，都相等，正确（2），所以顶点，令顶点横坐标，纵坐标，即：顶点满足关系式.相邻两点之间的距离相等理由：根据题意得；，CnCn1两点之间的铅直高度=CnCn1两点之间的水平距离=由勾股定理得CnCn12=k2+1，CnCn1=.与不平行理由：根据题意得：，过Cn，Cn1分别作直线y=1的垂线，垂足为D，E，所以D（kn，1），E（kn+1，1）.在RtDAnCn中，tanDAnCn=，在RtEAn1Cn1中，tanEAn1Cn1=，tanDAnCntanEAn1C
14、n1，与不平行9（2019甘肃白银）阅读下面的例题及点拨，并解决问题：例题：如图，在等边ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是ABC的外角ACH的平分线上一点，且AM=MN求证：AMN=60点拨：如图，作CBE=60，BE与NC的延长线相交于点E，得等边BEC，连接EM易证：ABMEBM（SAS），可得AM=EM，1=2；又AM=MN，则EM=MN，可得3=4；由3+1=4+5=60，进一步可得1=2=5，又因为2+6=120，所以5+6=120，即：AMN=60问题：如图，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角
15、D1C1H1的平分线上一点，且A1M1=M1N1求证：A1M1N1=90【答案】见解析.【解析】延长A1B1至E，使EB1=A1B1，连接EM1、EC1，如图所示：则EB1=B1C1，EB1M1=90=A1B1M1，EB1C1是等腰直角三角形，B1EC1=B1C1E=45，N1是正方形A1B1C1D1的外角D1C1H1的平分线上一点，M1C1N1=90+45=135，B1C1E+M1C1N1=180，E、C1、N1三点共线，在A1B1M1和EB1M1中，A1B1M1EB1M1（SAS），A1M1=EM1，1=2，A1M1=M1N1，EM1=M1N1，3=4，2+3=45，4+5=45，1=2=
16、5，1+6=90，5+6=90，A1M1N1=18090=90【名师点睛】此题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质，通过作辅助线构造三角形全等是解本题的关键10（2019甘肃天水）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，ACBD试证明：AB2+CD2=AD2+BC2；（3）解决问题
17、：如图3，分别以RtACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE已知AC=4，AB=5，求GE的长【答案】（1）四边形ABCD是垂美四边形理由见解析.（2）见解析.（3）GE=【解析】（1）四边形ABCD是垂美四边形理由如下：AB=AD，点A在线段BD的垂直平分线上，CB=CD，点C在线段BD的垂直平分线上，直线AC是线段BD的垂直平分线，ACBD，即四边形ABCD是垂美四边形；（2）如图1，ACBD，AOD=AOB=BOC=COD=90，由勾股定理得，AB2+CD2=AO2+BO2+DO2+CO2=AD2+BC2，AD2+BC2=AB2+CD2；
18、（3）连接CG、BE，CAG=BAE=90，CAG+BAC=BAE+BAC，即GAB=CAE，在GAB和CAE中，GABCAE（SAS），ABG=AEC，又AEC+AME=90，ABG+AME=90，即CEBG，四边形CGEB是垂美四边形，由（2）得，CG2+BE2=CB2+GE2，AC=4，AB=5，BC=3，CG=4，BE=5，GE2=CG2+BE2-CB2=73，GE=【名师点睛】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可；（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；（3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键
