1、 2020年高考理科数学函数的定义与性质题型归纳与训练【题型归纳】题型一 求函数的定义域、值域例1 （1）函数的定义域为( )A.;B.；C. ;D. （2）设，则的定义域为（ ）A. ；B. ；C. ；D. 【答案】（1）D；（2）B【解析】（1）欲使函数有意义，必须并且只需，故应选择（2）由得，的定义域为，故解得。故的定义域为.选B.【易错点】抽象函数的定义域【思维点拨】如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的的取值范围，实际操作时要注意：分母不能为0； 对数的真数必须为正；偶次根式中被开方数应为非负数；零指数幂中，底数不等于0；负分数指数幂中，底数应大于0；若解析式由几个部
2、分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。求复合函数定义域,即已知函数的定义为，则函数的定义域是满足不等式的x的取值范围；一般地，若函数的定义域是，指的是，要求的定义域就是时的值域。例2. 已知函数（1）当时，求函数的最小值；（2）若对任意恒成立,试求实数的取值范围。【答案】（1）在区间上的最小值为（2）【解析】（1）当时，。在区间上为增函数。在区间上的最小值为。（2）在区间上恒成立；在区间上恒成立；在区间上恒成立；函数在区间上的最小值为3， 即【易错点】不会求函数的值域。
3、【思维点拨】对于函数若，则优先考虑用均值不等式求最小值，但要注意等号是否成立，否则会得到而认为其最小值为，但实际上，要取得等号，必须使得，这时所以，用均值不等式来求最值时，必须注意：一正、二定、三相等，缺一不可。其次,不等式恒成立问题常转化为求函数的最值。本题考查求函数的最小值的三种通法：利用均值不等式，利用函数单调性，二次函数的配方法，考查不等式恒成立问题以及转化化归思想；题型二 函数图像例1(1)函数的图象大致是( )(2)设函数的集合，平面上点的集合，则在同一直角坐标系中，中函数的图象恰好经过中两个点的函数的个数是（A）4 （B）6 （C）8 （D）10(3)如图所示，一质点在平面上沿曲
4、线运动，速度大小不 变，其在轴上的投影点的运动速度的图象大致为 ( )A B C D【答案】(1) D；(2)答案 B(3)答案 B【解析】(1)当时，可以排除A和C；又当时，可以排除B(2)当时，可以排除A和C；又当时，可以排除B(3)解析 由图可知，当质点在两个封闭曲线上运动时，投影点的速度先由正到0、到负数，再到0，到正，故错误；质点在终点的速度是由大到小接近0，故错误；质点在开始时沿直线运动，故投影点的速度为常数，因此是错误的，故选.【易错点】不能很好的领悟数形结合思想。【思维点拨】可以从特殊点、极限、定义域、值域、函数的性质角度思考例2求函数的最小值【答案】【解析】由于 令，此为抛物
5、线方程，其焦点为，准线方程为，记点，则可以改写为，它表示为抛物线上的点到点与到焦点的距离之和：，注意点在抛物线的上方，由于点到焦点的距离等于其到准线的距离：，故当点移至使在垂线上时，的值最小，为，即，所以【易错点】不能很好的领悟数形结合思想。【思维点拨】因数配形。题型三 函数的性质例1（1）函数的定义域为R，若与都是奇函数，则( ) A.是偶函数 B.是奇函数 C. D.是奇函数（2）对于正实数，记为满足下述条件的函数构成的集合：且，有下列结论中正确的是 ( )A若，则B若，且，则C若，则 D若，且，则【答案】（1） D；（2） C ；【解析】（1） 与都是奇函数，函数关于点，及点对称，函数是
6、周期的周期函数.，即是奇函数。故选D（2） 对于，即有，令，有，不妨设，即有，因此有，因此有【易错点】函数性质掌握不够透彻【思维点拨】构造函数、特殊化、数形结合、推理论证例2.已知函数，当时，求的单调区间；对任意正数，证明：【答案】在中单调递增，而在中单调递减 【解析】、当时，求得 ，于是当时，；而当 时，即在中单调递增，而在中单调递减 （2）.对任意给定的，由，若令 ，则 ，而 （一）、先证；因为，又由 ，得 所以（二）、再证；由、式中关于的对称性，不妨设则（）、当，则，所以，因为 ，此时 （）、当 ，由得 ,，因为 所以 同理得 ，于是 今证明 , 因为 ，只要证 ，即 ，也即 ，据，此为
7、显然 因此得证故由得 综上所述，对任何正数，皆有【易错点】函数性质掌握不够透彻【思维点拨】构造函数、特殊化、数形结合、推理论证【巩固训练】题型一 求函数的定义域和值域1.设表示不超过的最大整数（如,）,对于给定的N*,定义,求当时，函数的值域【答案】【解析】 ；当时，因为函数在上是减函数，得；当时，因为，由单调性得，故当时，函数的值域是2.设函数，则函数的定义域是 【答案】【解析】由得，的定义域为。故解得或。3.求函数的最大值【答案】最大值【解析】，则定义域为为了从两个根式中移出相同的常数，注意，即，令，为锐角，又由，即，令，为锐角；所以，于是，当时等号成立，此时，于是 ，而；即当，取得最大值
8、解二：利用，（因为，即，两边开方便得上式，其中取等号当且仅当）；因此，其中取等号当且仅当，即题型二 函数图像问题1.已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间0,2上是增函数,若方程f(x)=m(m0)在区间上有四个不同的根,则 【答案】-8【解析】因为定义在R上的奇函数，满足,所以,所以, 由为奇函数,所以函数图象关于直线对称且,由知,所以函数是以8为周期的周期函数,又因为在区间0,2上是增函数,所以在区间-2,0上也是增函数.如图所示,那么方程f(x)=m(m0)在区间上有四个不同的根,不妨设由对称性知所以2.如图，动点在正方体的对角线上过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于设，则函数的图
9、象大致是（ ）ABCDMNPA1B1C1D1yxAOyxBOyxCOyxDO【答案】B；【解析】过点作垂直于平面的直线，当点运动时，线与正方体表面相交于两点形成的轨迹为平行四边形，可以看出与的变化趋势是先递增再递减，并且在的中点值时取最大3.证明：满足不等式的实数的集合可以表为一些互不相交的开区间之并，试求出这些区间长度的总和【答案】【解析】考虑函数，由于当时，故在区间内，不存在使的实数；对于集中的任一个，由于当时，而当时，且当时，所以方程在区间内各有一个解；依次记这个解为，于是函数的图像大致如下：今构作多项式，由于是一个次多项式，故方程至多有个互异根，显然每个使的都是的根（注意都不是的根，因
10、为每个均使无意义）因此便是的全部根这表明,每个是其所在区间,及中的唯一根从而不等式的解集是，故得所有区间长度的总和为 注意 如将展开，其最高项系数为，设 又有 据得， （其中为的的系数）下面由直接计算的系数:由于在中，的系数是，（这是因为，在中，的系数为，）所以中的的系数是，即；从而由得，.题型三 函数的性质1.设函数，且在闭区间上，只有 （）试判断函数的奇偶性； （）试求方程在闭区间上的根的个数，并证明你的结论.【答案】见解析【解析】（）方法一：若是偶函数，则于是有，这与在闭区间上，只有矛盾故不是偶函数；若是奇函数，则，这与在闭区间上，只有矛盾，故若不是奇函数所以既不是偶函数，也不是奇函数方
11、法二：因为在闭区间上，只有故，即不是奇函数又由知，而，所以，又所以，可见不是偶函数所以既不是偶函数，也不是奇函数（）方法一：因为所以，即所以，即又，所以和都是方程的根由和及得到故方程在闭区间上的根至少有802个如果存在使得，则但，这与在闭区间上，只有矛盾故在上只有两个根，即和设是方程在闭区间上任意一个根，则存在整数，使得，且由上可知或，所以或（）所以故方程在闭区间上仅有802个根方法二：由知是周期为10的函数，由知的图象关于直线对称又因为在上仅有所以在上没有根即在上只有两个根，即和于是，在内只有400个根，在上仅有2个根，在内仅有400个根，在上没有根。所以故方程在闭区间上仅有802个根2.定
12、义在R上的奇函数有最小正周期4，且时，。求在上的解析式。【答案】【解析】当时，又为奇函数，当时，由有最小正周期4，综上，3.已知函数的图象在上连续不断，定义：，其中表示函数在上的最小值，表示函数在上的最大值.若存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”.（）若，试写出，的表达式；（）已知函数，试判断是否为上的“阶收缩函数”，如果是，求出对应的；如果不是，请说明理由；（）已知，函数是上的2阶收缩函数，求的取值范围.【答案】最大值【解析】（）由题意可得，.（），当时，解得，故；当时，解得，故；当时，解得，故，综上所述，.即存在，使得是上的4阶收缩函数.（），令，得或.函数，的变化情况如下：x02-0+0-减极小值0增极大值4减令，解得或3.（）时，在上单调递增，因此，.因为是上的2阶收缩函数，所以，对恒成立；存在，使得成立. 即：对恒成立，由，解得：或，要使对恒成立，需且只需.即：存在，使得成立.由得或，所以需且只需.综合可得：.（）当时，此时，若是上的2阶收缩函数，则对恒成立，则对恒成立，即在上恒成立，而解，得或，故在上不可能恒成立，故时不符合条件.（）当时，此时，若是上的2阶收缩函数，则对恒成立，则对恒成立，即在上恒成立，而解，得或，故在上不可能恒成立，故时不符合条件.综合以上，可得：.15
