1、 2020年高考理科数学导数的定义与基础应用题型归纳与训练【题型归纳】题型一 对导数定义的理解与考查例1、如图，直线和圆，当从开始在平面上绕点O匀速旋转（旋转角度不超过90o）时，它扫过的圆内阴影部分的面积是时间的函数，它的图像大致是（ ）。 【答案】D【解析】在直线旋转的过程中，可以发现面积的平均变化率是先增大后减小，但是始终都是正数，即面积是时间的增函数，且增幅是先快再慢。选D.【易错点】不能把实际问题与导数的定义联系起来【思维点拨】深刻理解导数的定义-导数反映函数在点处变化的快慢程度.理解导数的几何意义，即在某点处的导数值为该点处切线的斜率。题型二 求切线方程例2、曲线的方程为，求此曲线
2、在点处的切线的斜率，以及切线的方程.【答案】 【解析】利用导数的几何意义，曲线在点处的切线的斜率等于函数在处的导数值，再利用直线的点斜式方程写出切线方程.由得，所以曲线在点处的切线斜率为，过点P的切线方程为，即.【易错点】不能根据曲线的方程起初切线的斜率【思维点拨】曲线在某点处的切线斜率，即在该点处导函数的函数值题型三 单调性问题例3、已知在R上是减函数，则的取值范围 .【答案】【解析】函数的导数： 由已知得在R上恒成立.当时，显然在R上不是恒成立；当时，有解得.综上，所求的取值范围是【易错点】丢掉a=0的情况【思维点拨】对参数问题，务必保持警惕，不要因为“潜在假设”而失误题型四 极值问题例4
3、求函数的极值.【答案】时，有极大值，并且极大值为；当时，有极小值，并且极小值为.【解析】(1) .令，解得：或.当变化时，的变化情况如下表：(-，-1)-1(-1，1)1(1,+)+0-0+51因此，时，有极大值，并且极大值为；当时，有极小值，并且极小值为.【易错点】极值是指的函数值，而非自变量x的值，定义要清楚【思维点拨】用导数求函数极值的步骤（1）求；（2）求出方程所有的根；（3）对于在函数定义域内的根，逐个进行检验：（建议列表）如果在根附近的左侧，右侧，那么是极大值；如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值（4）应当指出的是，有些函数在某些点处的导数不存在，这些点需要单独验证是否是极值点.例
4、如，在处的导数不存在，但是函数的极值点.题型五 最值问题例5求函数在区间上的最大值和最小值.【答案】函数在区间上的最大值为，最小值为.【解析】(1) . 令，解得：或.当变化时，的变化情况如下表：-3(-3,-2)-2(-2，2)2(2,4)4+0-0+7因此，函数在区间上的最大值为，最小值为.【易错点】不知道去计算、去比较哪些函数值【思维点拨】求函数在闭区间上的最值的步骤：（1）求函数在开区间)内的极值；（2）将函数的各极值与和比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值【巩固训练】题型一 对导数定义的理解与考查1. 3.如果质点A按规律s=2t3运动，则在t=3 s时的瞬时速度为A.6
5、 B.18 C.54 D.81【答案】C【解析】s=6t2，s|t=3=54.2若，则等于 （ ）A. 2 B. 4 C. 2 D. 0【答案】B【解析】， ， ，故选B3. (如图所示）函数在点P处的切线方程是，则= 【答案】2【解析】因为函数在点P处的切线方程是，所以，所以=2.考题型二 求切线方程1.求曲线经过点的切线方程.【答案】见解析【解析】本题要分点是切点和不是切点两类进行求解.由得，所以曲线在点处切线的斜率为若点是切点，则，于是切线方程为，即；若点不是切点，则切线率，解之得，所以，所以切线方程是，即.2. 设曲线yex在点(0，1)处的切线与曲线y(x0)上点P处的切线垂直，则P
6、的坐标为_【答案】（1,1）【解析】(ex)e01，设P(x0，y0)，有1，又x00，x01，故P的坐标为(1，1)3设函数，曲线在点处的切线方程为，（1）求，的值；（2）求的单调区间.【答案】略【解析】（1）因为，所以依题设，即 解得：（2）由（I）知由即知，与同号令，则所以，当时，在区间上单调递减；当时，在区间上单调递增故是在区间上的最小值，从而综上可知，故的单调递增区间为题型三 单调性问题1设，求函数)的单调区间。【答案】见解析【解析】，因为x0,a0，所以x2+(2a-4)x+a20；x2+(2a-4)x+a20，有x2+(2a-4)x+a20，即(x)0,f(x)在(0,+)上单调
7、递增；（2）当0a0，解得x2-a+，因此，f(x)在(0,2-a-)，(2-a+,+)内单调递增，而当2-a-x2-a+时，x2+(2a-4)x+a20，f(x)在区间(0，e上单调递增，此时函数f(x)无最小值若0ae，当x(0，a)时，f(x)0，函数f(x)在区间(a，e上单调递增，所以当xa时，函数f(x)取得最小值ln a.若ae，则当x(0，e时，f(x)0，函数f(x)在区间(0，e上单调递减，所以当xe时，函数f(x)取得最小值.综上可知，当a0时，函数f(x)在区间(0，e上无最小值；当0ae时，函数f(x)在区间(0，e上的最小值为ln a；当ae时，函数f(x)在区间(0，e上的最小值为.9
