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2020年高考理科数学《导数的定义与基础应用》题型归纳与训练

1、 2020年高考理科数学导数的定义与基础应用题型归纳与训练【题型归纳】题型一 对导数定义的理解与考查例1、如图,直线和圆,当从开始在平面上绕点O匀速旋转(旋转角度不超过90o)时,它扫过的圆内阴影部分的面积是时间的函数,它的图像大致是( )。 【答案】D【解析】在直线旋转的过程中,可以发现面积的平均变化率是先增大后减小,但是始终都是正数,即面积是时间的增函数,且增幅是先快再慢。选D.【易错点】不能把实际问题与导数的定义联系起来【思维点拨】深刻理解导数的定义-导数反映函数在点处变化的快慢程度.理解导数的几何意义,即在某点处的导数值为该点处切线的斜率。题型二 求切线方程例2、曲线的方程为,求此曲线

2、在点处的切线的斜率,以及切线的方程.【答案】 【解析】利用导数的几何意义,曲线在点处的切线的斜率等于函数在处的导数值,再利用直线的点斜式方程写出切线方程.由得,所以曲线在点处的切线斜率为,过点P的切线方程为,即.【易错点】不能根据曲线的方程起初切线的斜率【思维点拨】曲线在某点处的切线斜率,即在该点处导函数的函数值题型三 单调性问题例3、已知在R上是减函数,则的取值范围 .【答案】【解析】函数的导数: 由已知得在R上恒成立.当时,显然在R上不是恒成立;当时,有解得.综上,所求的取值范围是【易错点】丢掉a=0的情况【思维点拨】对参数问题,务必保持警惕,不要因为“潜在假设”而失误题型四 极值问题例4

3、求函数的极值.【答案】时,有极大值,并且极大值为;当时,有极小值,并且极小值为.【解析】(1) .令,解得:或.当变化时,的变化情况如下表:(-,-1)-1(-1,1)1(1,+)+0-0+51因此,时,有极大值,并且极大值为;当时,有极小值,并且极小值为.【易错点】极值是指的函数值,而非自变量x的值,定义要清楚【思维点拨】用导数求函数极值的步骤(1)求;(2)求出方程所有的根;(3)对于在函数定义域内的根,逐个进行检验:(建议列表)如果在根附近的左侧,右侧,那么是极大值;如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值(4)应当指出的是,有些函数在某些点处的导数不存在,这些点需要单独验证是否是极值点.例

4、如,在处的导数不存在,但是函数的极值点.题型五 最值问题例5求函数在区间上的最大值和最小值.【答案】函数在区间上的最大值为,最小值为.【解析】(1) . 令,解得:或.当变化时,的变化情况如下表:-3(-3,-2)-2(-2,2)2(2,4)4+0-0+7因此,函数在区间上的最大值为,最小值为.【易错点】不知道去计算、去比较哪些函数值【思维点拨】求函数在闭区间上的最值的步骤:(1)求函数在开区间)内的极值;(2)将函数的各极值与和比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值【巩固训练】题型一 对导数定义的理解与考查1. 3.如果质点A按规律s=2t3运动,则在t=3 s时的瞬时速度为A.6

5、 B.18 C.54 D.81【答案】C【解析】s=6t2,s|t=3=54.2若,则等于 ( )A. 2 B. 4 C. 2 D. 0【答案】B【解析】, , ,故选B3. (如图所示)函数在点P处的切线方程是,则= 【答案】2【解析】因为函数在点P处的切线方程是,所以,所以=2.考题型二 求切线方程1.求曲线经过点的切线方程.【答案】见解析【解析】本题要分点是切点和不是切点两类进行求解.由得,所以曲线在点处切线的斜率为若点是切点,则,于是切线方程为,即;若点不是切点,则切线率,解之得,所以,所以切线方程是,即.2. 设曲线yex在点(0,1)处的切线与曲线y(x0)上点P处的切线垂直,则P

6、的坐标为_【答案】(1,1)【解析】(ex)e01,设P(x0,y0),有1,又x00,x01,故P的坐标为(1,1)3设函数,曲线在点处的切线方程为,(1)求,的值;(2)求的单调区间.【答案】略【解析】(1)因为,所以依题设,即 解得:(2)由(I)知由即知,与同号令,则所以,当时,在区间上单调递减;当时,在区间上单调递增故是在区间上的最小值,从而综上可知,故的单调递增区间为题型三 单调性问题1设,求函数)的单调区间。【答案】见解析【解析】,因为x0,a0,所以x2+(2a-4)x+a20;x2+(2a-4)x+a20,有x2+(2a-4)x+a20,即(x)0,f(x)在(0,+)上单调

7、递增;(2)当0a0,解得x2-a+,因此,f(x)在(0,2-a-),(2-a+,+)内单调递增,而当2-a-x2-a+时,x2+(2a-4)x+a20,f(x)在区间(0,e上单调递增,此时函数f(x)无最小值若0ae,当x(0,a)时,f(x)0,函数f(x)在区间(a,e上单调递增,所以当xa时,函数f(x)取得最小值ln a.若ae,则当x(0,e时,f(x)0,函数f(x)在区间(0,e上单调递减,所以当xe时,函数f(x)取得最小值.综上可知,当a0时,函数f(x)在区间(0,e上无最小值;当0ae时,函数f(x)在区间(0,e上的最小值为ln a;当ae时,函数f(x)在区间(0,e上的最小值为.9