1、章末复习一、选择题1“双曲线的方程为x2y21”是“双曲线的渐近线方程为yx”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件答案A解析双曲线x2y21的渐近线方程为yx，而渐近线方程为yx的双曲线为x2y2(0)，故选A.2如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为2，a(a2)，原点O为AD的中点，抛物线y22px(p0)经过C，F两点，则a等于()A.1 B.2C22 D22答案C解析由题意知C(1，2)，F(1a，a)，解得a22(负值舍去)故选C.3已知抛物线yx2的焦点与椭圆1的一个焦点重合，则m等于()A. B. C. D.答案A解析yx2的焦点坐
2、标为，由题意可得m2.4已知双曲线1(b0)的右焦点与抛物线y212x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于()A. B4 C3 D5答案A解析由题意得抛物线的焦点为(3,0)，所以双曲线的右焦点为(3,0)，所以b2945，所以双曲线的一条渐近线方程为yx，即x2y0，所以所求距离为d.5已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y28x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则AB等于()A3 B6 C9 D12答案B解析设椭圆E的方程为1(ab0)，因为e，y28x的焦点为(2,0)，所以c2，a4，b2a2c212，故椭圆E的方程为1，将x2代入椭圆方程
3、，解得y3，所以AB6.二、填空题6设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为_答案解析不妨设双曲线方程为1(a0，b0)，则可令F(c,0)，B(0，b)直线FB：bxcybc0与渐近线yx垂直，所以1，即b2ac，所以c2a2ac，即e2e10，所以e或e(舍去)7已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，其上一点P(1，m)到焦点的距离为5，则m的值为_答案4解析由抛物线的定义知，点P到焦点的距离等于点P到准线的距离，所以15，p8，故抛物线的方程为y216x.将点P(1，m)代入方程，得m4.8设P是双曲线1上一点，双曲线的一
4、条渐近线方程为3x2y0，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若PF13，则PF2_.答案7解析双曲线的一条渐近线方程为yx，即，又b29，a2.由双曲线定义知，|PF1PF2|2a4，PF27.9点P在椭圆x21上，点Q在直线yx4上，若PQ的最小值为，则m_.答案3解析根据题意，与直线yx4平行且距离为的直线方程为yx2或yx6(舍去)，联立消去y，得(m1)x24x4m0，令164(m1)(4m)0，解得m0或m3，m0，m3.10已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e.直线l：yexa与x轴，y轴分别交于A，B两点，M是直线l与椭圆C的一个公共点，设e，则该椭
5、圆的离心率e_.答案解析因为点A，B分别是直线l：yexa与x轴，y轴的交点，所以点A，B的坐标分别是，(0，a)设点M的坐标是(x0，y0)，由e，得(*)因为点M在椭圆上，所以1，将(*)式代入，得1，整理得e2e10，解得e或e(舍去)三、解答题11在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的一边AB在x轴上，另一边CD在x轴上方，且AB8，BC6，其中A(4,0)，B(4,0)(1)若A，B为椭圆的焦点，且椭圆经过C，D两点，求该椭圆的方程；(2)若A，B为双曲线的焦点，且双曲线经过C，D两点，求双曲线的方程解(1)A，B为椭圆的焦点，且椭圆经过C，D两点，根据椭圆的定义知，CACB162
6、a，a8.在椭圆中，b2a2c2641648，椭圆方程为1.(2)A，B是双曲线的焦点，且双曲线经过C，D两点，根据双曲线的定义知，CACB42a，a2.在双曲线中，b2c2a216412，双曲线方程为1.12已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，点N(，1)在椭圆上，线段NF2与y轴的交点M满足0.(1)求椭圆C的方程；(2)设P为椭圆C上一点，且F1PF2，求F1PF2的面积解(1)由已知，点N(，1)在椭圆上，有1，又0，M在y轴上，M为NF2的中点，c0，c.a2b22，由解得b22(b21舍去)，a24，故所求椭圆C的方程为1.(2)设PF1m，PF2n，则mnsin m
7、n.由椭圆的定义知PF1PF22a，即mn4.又由余弦定理得PFPF2PF1PF2cos F1F，即m2n2mn(2)2.由2，得mn，.13已知椭圆E：1(ab0)的一个顶点坐标为A(0，)，离心率e.(1)求椭圆E的方程；(2)设动直线l：ykxm与椭圆E相切于点P，且与直线x4相交于点Q，求证：以PQ为直径的圆过定点N(1，0)(1)解由已知可得a24，所求椭圆方程为1.(2)证明联立方程1与ykxm，消元得(34k2)x28kmx4m2120.曲线E与直线只有一个公共点，0，化简可得m24k23，故m0.设P(xP，yP)，故xP，yPkxPm，故P.又由得Q(4,4km)N(1,0)
8、，(3,4km)，330，以PQ为直径的圆过定点N(1,0)14已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，过F1的直线l与椭圆交于A，B两点若ABBF2AF2345，求椭圆C的离心率解设AB3t(t0)，则BF24t，AF25t，则ABBF2AF212t.因为ABBF2AF24a，所以12t4a，即ta.又F1AAF22a，所以F1A2aaa，F1Ba，BF2a.由ABBF2AF2345，知ABBF2，故F1B2BF4c2，即224c2，得a2c2.所以e2，即e.15如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1(ab0)的离心率为，C为椭圆上位于第一象限内的一点(1)若点C的坐标为，求a，b的值；(2)设A为椭圆的左顶点，B为椭圆上一点，且，求直线AB的斜率解(1)因为椭圆的离心率为，所以，即.又因为点C在椭圆上，所以1.由解得a29，b25.因为ab0，所以a3，b.(2)由知，所以椭圆方程为1，即5x29y25a2.设直线OC的方程为xmy(m0)，B(x1，y1)，C(x2，y2)由得5m2y29y25a2，所以y2.因为y20，所以y2.因为，所以ABOC.可设直线AB的方程为xmya.由得(5m29)y210amy0，所以y0或y，得y1.因为，所以(x1a，y1)，于是y22y1，即(m0)，所以m.所以直线AB的斜率为.
