1、习题课直线与方程一、选择题1.和直线3x4y50关于x轴对称的直线方程为()A.3x4y50 B.3x4y50C.3x4y50 D.3x4y50答案A解析设所求直线上任意一点(x，y)，则此点关于x轴对称的点的坐标为(x，y)，因为点(x，y)在直线3x4y50上，所以3x4y50即为所求直线.2.已知A(2,4)关于直线xy10对称的点为B，则B满足的直线方程为()A.xy0 B.xy20C.xy50 D.xy0答案D解析设B(a，b)，A(2,4)关于直线xy10的对称点为B，解得即B(3,3)，分别代入各选项，只有D符合.3.直线2xy30关于直线xy20对称的直线方程是()A.x2y3
2、0 B.x2y30C.x2y10 D.x2y10答案A解析因为直线xy20的斜率为1，所以所求直线上任意一点P(x，y)关于直线xy20的对称点为(y2，x2)，将其代入直线方程2xy30，得2(y2)(x2)30，整理得x2y30.4.已知点M是点P(4,5)关于直线y3x3的对称点，则过点M且平行于直线y3x3的直线的方程为()A.3xy10 B.3xy10C.3xy30 D.3xy30答案B解析设M(a，b)，则MP的中点坐标为，由题意得解得M.则过点M且平行于直线y3x3的直线方程为y3，即3xy10.5.将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，
3、n)重合，则mn等于()A. B.10 C. D.5答案A解析由题意可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y2x3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是解得故mn.二、填空题6.已知P，Q分别是直线3x4y50与6x8y50上的动点，则PQ的最小值为_.答案解析两平行线间的距离就是PQ的最小值，3x4y50可化为6x8y100，则PQ.7.与直线2x3y60关于点(1，1)对称的直线方程为_.答案2x3y80解析由平面几何知识易知所求直线与已知直线2x3y60平行，则可设所求直线方程为2x3yC0(C6).在直线2x3y60上任取一点(3,0)，关于点(1
4、，1)的对称点为(1，2)，则点(1，2)必在所求直线上，2(1)3(2)C0，解得C8.所求直线方程为2x3y80.8.已知两点A(3,0)，B(0,4)，动点P(x，y)在线段AB上运动，则关于xy的结论正确的是_.(填序号)无最小值且无最大值；无最小值但有最大值；有最小值但无最大值；有最小值且有最大值.答案解析由题意知，直线AB的方程为1，得yx4，xyxx24x23,0x3.当x时，(xy)max3，当x0或3时，(xy)min0.9.一束光线经过点A(2,1)，由直线l：x3y20反射后，经过点B(3,5)射出，则反射光线所在直线的方程为_.答案29x22y230解析设点A(2,1)
5、关于直线l：x3y20的对称点为A(x0，y0)，则解得 点A在反射光线所在的直线上，且反射光线经过点B(3，5)，由两点式得 ，即29x22y230.10.在平面直角坐标系中，到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，1)的距离之和最小的点的坐标是_.答案(2,4)解析设平面上任一点M，MAMCAC，当且仅当A，M，C共线时取等号，同理MBMDBD，当且仅当B，M，D共线时取等号，连结AC，BD交于一点M，若MAMCMBMD最小，则点M即为所求.又kAC2，直线AC的方程为y22(x1)，即2xy0.又kBD1，直线BD的方程为y5(x1)，即xy60.由得M(2,4).三、解答
6、题11.已知直线l：y3x3，求：(1)点P(4,5)关于l的对称点的坐标；(2)直线l1：yx2关于l的对称直线的方程；(3)直线l关于点A(3,2)的对称直线的方程.解(1)设点P关于直线l的对称点为P(x，y)，则线段PP的中点M在直线l上，且直线PP垂直于直线l，由解得P的坐标为(2,7).(2)由得即直线l1与l相交于点M.在直线l1上取点N(1，1)，易求得N关于直线l的对称点Q的坐标为，则直线MQ的方程为7xy220，即所求直线方程为7xy220.(3)设直线l关于点A(3,2)的对称直线为l，易知ll，可设l：y3xb(b3).由点到直线的距离公式得，即|b7|10，解得b17
7、或b3(舍去)，直线l的方程为y3x17，即所求对称直线的方程为3xy170.12.已知直线l平行于直线xy40，且实数x，y满足直线l的方程，又知(x1)2(y1)2的最小值为2，求直线l的方程.解由题意，设l的方程为xyC0(C4)，又(x1)2(y1)2可看作点(1,1)到点(x，y)的距离的平方，最小值为2，故点(1,1)到直线l的距离为，由，得C0或4(舍去).直线l的方程为xy0.13.光线从A(4，2)点射出，到直线yx上的B点后被直线yx反射到y轴上C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(1,6)，求BC所在的直线方程.解作出草图，如图所示，设A关于直线yx的对称点为A，D
8、关于y轴的对称点为D，则易得A(2，4)，D(1,6).由入射角等于反射角可得AD所在直线经过点B与C.故BC所在的直线方程为，即10x3y80.14.如图所示，在等腰直角三角形ABC中，ABAC4，点P为边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经直线BC，CA反射后又回到点P.若光线QR经过ABC的重心，则AP_.答案解析以点A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(0,0)，B(4,0)，C(0,4).设ABC的重心为D，则D点坐标为.设P点坐标为(m,0)(0m4)，则P点关于y轴的对称点为P1(m,0)，易求得直线BC的方程为xy40，所以P点关于BC的对称点为P2(4,4m)，根据光线反射原理，P1，P2均在直线QR上，即，解得m或m0.当m0时，P点与A点重合，故舍去.当m时，符合题意.m.即AP.15.如图，已知点A(2,3)，B(4,1)，ABC是以AB为底边的等腰三角形，点C在直线l：x2y20上.(1)求AB边上的高CE所在直线的方程；(2)求ABC的面积.解(1)由题意可知，E为AB的中点，E(3,2)，且kCE1，CE所在直线方程为y2x3，即xy10.(2)由得C(4,3)，ACBC2，ACBC，SABCACBC2.
