1、习题课圆的方程的应用学习目标1.体会数形结合思想在求解与圆有关的最值问题中的应用.2.掌握直线与圆的方程的实际应用.3.了解圆系的方程.知识点一与圆有关的最值问题1.与圆上的点(x，y)有关的最值常见的有以下几种类型：(1)形如u形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题.(2)形如laxby(b0)形式的最值问题，可转化为动直线yx截距的最值问题.(3)形如m(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题.2.与圆的几何性质有关的最值(1)记O为圆心，圆的半径为r，圆外一点A到圆上距离的最小值为AOr，最大值为A
2、Or.(2)过圆内一点的最长的弦为圆的直径，最短的弦为以该点为中点的弦.(3)记圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，若直线与圆相离，则圆上的点到直线的最大距离为dr，最小距离为dr.(4)过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆.知识点二直线与圆的方程的实际应用直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用，要善于利用其解决一些实际问题，关键是把实际问题转化为数学问题；要有意识用坐标法解决几何问题，用坐标法解决平面几何问题的思维过程知识点三圆系方程两圆相交(相切)有两个(一个)交点，经过这些交点可作无穷多个圆，这无穷多个圆具有某些共同的性质，我们把这些圆的集合称为圆系
3、.常见的圆系方程有以下几种：(1)以(a，b)为圆心的同心圆系方程为(xa)2(yb)2k2 (k0).(2)与圆x2y2DxEyF0同圆心的圆系方程为x2y2DxEyK0.(3)过定点(a，b)的圆系方程为(xa)2(yb)21(xa)2(yb)0.(4)过直线AxByC0与圆x2y2DxEyF0的交点的圆系方程为x2y2DxEyF(AxByC)0.(5)过两圆C1：x2y2D1xE1yF10和C2：x2y2D2xE2yF20的交点的圆系方程为x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0(1，其中不含圆C2).当1时，l：(D1D2)x(E1E2)yF1F20，当两圆相交时，l为两
4、圆的公共弦所在直线的方程；当两圆相切时，l为过两圆切点的公切线的方程.一、与圆有关的最值问题命题角度1求目标函数的最值例1已知实数x，y满足方程(x2)2y23.(1)求的最大值和最小值；(2)求yx的最大值和最小值；(3)求x2y2的最大值和最小值.解原方程表示以点(2,0)为圆心，为半径的圆.(1)设k，即ykx.当直线ykx与圆相切时，斜率k取得最大值和最小值，此时，解得k.故的最大值为，最小值为.(2)设yxb，即yxb.当yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时，即b2.故yx的最大值为2，最小值为2.(3)x2y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与
5、圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为2，故(x2y2)max(2)274，(x2y2)min(2)274.反思感悟与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)求圆O上一点到圆外一点P的最大距离、最小距离：dmaxOPr，dminOPr.(2)求圆上的点到某条与圆相离的直线的最大、最小距离：设圆心到直线的距离为m，则dmaxmr，dminmr.(3)已知点的运动轨迹是(xa)2(yb)2r2，求；x2y2等式子的最值，一般是运用几何法求解.跟踪训练1已知圆C：(x2)2y21，P(x，y)为圆C上任意一点.(1)求的最大值与最小值；(2)求x2y的最大值与最小值.
6、解(1)显然可以看作是点P(x，y)与点Q(1,2)连线的斜率，令k，如图所示，则其最大值、最小值分别是过点Q(1,2)的圆C的两条切线的斜率.将上式整理得kxyk20，1，k.故的最大值是，最小值是.(2)令ux2y，则u可视为一组平行线，当直线和圆C有公共点时，u的范围即可确定，且最值在直线与圆相切时取得.依题意，得1，解得u2，故x2y的最大值是2，最小值是2.命题角度2与面积有关的最值例2已知圆M过点C(1，1)，D(1,1)，且圆心M在xy20上.(1)求圆M的方程；(2)设P是直线3x4y80上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB的面积S的最小值.解(
7、1)设圆M的方程为(xa)2(yb)2r2，由题意，得解得故圆M的方程为(x1)2(y1)24.(2)由题意，SSPAMSPBMAMPABMPB.又AMBM2，PAPB.所以S2PA.而PA，即S2.因此，要求S的最小值，只需求PM的最小值.又PMmin3，所以Smin222.反思感悟求面积的最值问题往往转化为距离的最值问题.跟踪训练2已知点P(x，y)是直线kxy40(k0)上一动点，PA，PB是圆C：x2y22y0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为_.答案2解析圆C：x2y22y0的圆心为(0,1)，半径r1.由圆的性质知，S四边形PACB2SPBC.四边
8、形PACB的最小面积是2，SPBC的最小值为1，则rdmin1(d为切线长)，dmin2，PCmin.圆心到直线的距离就是PCmin，PCmin.又k0，k2.二、直线与圆的方程的实际应用例3设有半径长为3 km的圆形村落，甲、乙两人同时从村落中心出发，甲向东前进而乙向北前进，甲离开村后不久，改变前进方向，斜着沿切于村落边界的方向前进，后来恰好与乙相遇.设甲、乙两人的速度都一定，且其速度比为31，问：甲、乙两人在何处相遇？解如图所示，以村落中心为坐标原点，以东西方向为x轴，南北方向为y轴建立平面直角坐标系.设甲向东走到点D转向到点C恰好与乙相遇，设CD所在直线的方程为1(a3，b3)，乙的速度
9、为v，则甲的速度为3v.依题意，有解得所以当乙向北前进3.75 km时，甲、乙两人相遇.反思感悟坐标法是研究与平面图形有关的实际问题的有效手段，因此要建立适当的平面直角坐标系，用直线与圆的方程解决问题.建立平面直角坐标系时要尽可能有利于简化运算.跟踪训练3为适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O向正东走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B，从基地中心O向正北走8 km到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，求DE的最短距离.解以O为坐标原点，以OB，OC所在直线
10、分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系(图略)，则圆O的方程为x2y21.因为点B(8,0)，C(0,8)，所以直线BC的方程为1，即xy8.当O，D，E三点共线且OEBC时，DE最短，DE的最短距离为1(41)km.三、过交点的圆系方程例4求过直线x3y70与圆x2y22x2y30的交点且在两坐标轴上的四个截距之和为8的圆的方程.解设过直线与圆的交点的圆的方程为(x2y22x2y3)(x3y7)0，即x2y2(2)x(32)y370.令y0，得x2(2)x370，圆在x轴上的两个截距之和为2.令x0，得y2(32)y370，圆在y轴上的两个截距之和为23.由题意得2238，解得2.故所求圆的方
11、程为x2y24x4y170.反思感悟利用圆系方程求解有关圆的问题的基本思路：设所求圆的方程为圆系方程，根据已知条件建立关于参数的方程f()0，根据题意解出并代回圆系方程即可(从实质上讲这是待定系数法).利用圆系方程的优点是避免解方程组求交点的麻烦，能简化运算，但要注意不要多解或漏解.跟踪训练4对于任意实数，曲线(1)x2(1)y2(64)x1660恒过定点_.答案(1，3)解析将(1)x2(1)y2(64)x1660变形为(x2y24x6)(x2y26x16)0，解得所以定点为(1，3).1.与圆有关的最值问题(1)求目标函数的最值比如u，laxby，m(xa)2(yb)2的最值，应分别转化为
12、直线的斜率，截距与两点距离平方的最值.(2)与圆的几何性质有关的最值.2.求直线与圆的方程的实际应用问题的解题步骤(1)认真审题，明确题意；(2)建立平面直角坐标系，用坐标表示点，用方程表示曲线，从而在实际问题中建立直线与曲线的方程；(3)利用直线与圆的方程的有关知识求解问题；(4)把代数结果还原为实际问题的解.1.直线l：axby0和圆C：x2y2axby0在同一坐标系的图形只能是()答案D解析圆C：x2y2axby0的标准方程为22，则圆心坐标为，半径为，则圆心到直线axby0的距离为d，故直线与圆相切.2.如图，一座圆形拱桥，当水面距拱顶2 m时，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面
13、宽度是()A.2 m B.24 mC.8 m D.10 m答案A解析方法一如图，以拱顶为坐标原点，以过拱顶的竖直直线为y轴建立平面直角坐标系，设圆拱所在圆的圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则A(6，2).设圆的方程为x2(yr)2r2(r0)，将A(6，2)代入方程得r10，所以圆的方程为x2(y10)2100，当水面下降1米后，可设点A(x0，3)(x00).将A(x0，3)代入圆的方程，求得x0.所以水面下降1 m，水面宽为2x02 m.方法二设圆的半径为r，则由已知得r2(r2)262，解得r10，水面下降1 m，设水面宽度为2x m，则有r2(r3)2x2，解得x，则水面宽为2 m
14、.3.已知实数x，y满足x2y24x2y40，则x2y2的最大值为_.答案146解析由题意知，圆(x2)2(y1)29的圆心为(2，1)，半径r3.圆心(2,1)到坐标原点(0,0)的距离为，故x2y2的最大值为(3)2146.4.圆x2y24x4y70上的动点P到直线yx的最小距离为_.答案21解析由题意得圆心为(2,2)，半径r1，圆心到直线的距离d2，所以圆上的动点到直线的最小距离为21.5.已知圆C的方程为(x3)2(y4)21，过直线l：3xay50(a0)上任意一点作圆C的切线，若切线长的最小值为，则直线l的斜率为_.答案解析因为圆C的半径为1，切线长的最小值为，则圆心到直线l：3xay50(a0)的距离d4，所以4，解得a4，所以直线l的斜率为.
