1、2.1函数的概念2.1.1函数的概念和图象(一)学习目标1.理解函数、定义域的概念.2.了解构成函数的三要素.3.正确使用函数符号，会求简单函数的定义域、函数值知识点一函数的定义设A，B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为yf(x)，xA.提示(1)集合的特殊性：集合A和B不能为空集，并且必须为数集(2)对应的方向性：其方向性是指对A中的任何一个数x，在集合B中都有数f(x)与之对应，先是集合A，其次是集合B.(3)对应的唯一性：是指与集合A中的数x对应的集合B中的数f(x)是唯
2、一确定的知识点二函数的定义域在函数yf(x)，xA中，所有的输入值x组成的集合A叫做函数yf(x)的定义域提示(1)函数的定义域必须用集合或区间来表示，它是一个数集(2)对于用解析式表示的函数，如果没有指明定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的自变量的集合(3)如果函数涉及实际问题，定义域必须考虑自变量的实际意义.题型一函数关系的判断例11判断下列对应是否为集合A到集合B的函数(1)AR，Bx|x0，f：xy|x|；(2)AZ，BZ，f：xyx2；(3)AZ，BZ，f：xy；(4)Ax|1x1，B0，f：xy0.解(1)输入值0在B中没有输出值与之对应，故不是集合A到集合B的函
3、数(2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应法则f：xyx2在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数(3)集合A中的负整数没有平方根，在集合B中没有对应的输出值，故不是集合A到集合B的函数(4)对于集合A中任意一个输入值x，按照对应法则f：xy0在集合B中都有唯一一个确定的输出值0和它对应，故是集合A到集合B的函数反思感悟判断对应法则是否为函数，主要从以下三个方面去判断(1)A，B必须是非空数集(2)A中任何一个输入值在B中必须有输出值与其对应(3)A中任何一个输入值在B中必须有唯一一个输出值与其对应例12下列图形中可以作为函数图象的是_(填序号)答案解析中至少
4、存在一处如x0，一个横坐标对应两个纵坐标，这相当于A中至少有一个输入值在B中对应的输出值不唯一，故不是函数图象，其余均符合函数定义反思感悟在图形中，横坐标相当于输入值，纵坐标相当于输出值判断图形是否为函数图象，就是看横坐标与纵坐标是否单值对应题型二求函数值例2(1)已知函数f(x)，若f(a)4，则实数a_.答案14解析f(a)4，a216，a14.(2)已知f(x)(xR且x1)，g(x)x22(xR)求f(2)，g(2)的值；求f(g(2)的值；求f(a1)，g(a1)解因为f(x)，所以f(2).又因为g(x)x22，所以g(2)2226.f(g(2)f(6).f(a1)(a2)g(a1
5、)(a1)22a22a3.反思感悟函数求值的方法(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值(2)求f(g(a)的值应遵循由里往外的原则跟踪训练1已知f(x)(x1)(1)求f(0)及f的值；(2)求f(1x)及f(f(x)解(1)f(0)1.f，ff.(2)f(1x)(x2)f(f(x)fx(x1)题型三求函数的定义域例3求下列函数的定义域(1)f(x)2；(2)f(x)(x1)0 ；(3)f(x)；(4)f(x).解(1)当且仅当x20，即x2时，函数f(x)2有意义，所以这个函数的定义域为x|x2(2)要使函数有意义，当且仅当解得x1且x1，所以这个函数的定义域
6、为x|x1且x1(3)要使函数有意义，当且仅当解得1x3，所以这个函数的定义域为x|1x3(4)要使函数有意义，当且仅当解得x1且x1，所以这个函数的定义域为x|x1且x1引申探究1(变结论)在本例(3)条件不变的前提下，求函数yf(x1)的定义域解由1x13得0x2.所以函数yf(x1)的定义域为0,22(变结论)在本例(3)条件不变的前提下，求函数yf(x1)的定义域解由得1x2.所以函数的定义域为1,2反思感悟求函数定义域的常用技巧(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零(3)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义
7、域的交集(4)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义跟踪训练2求下列函数的定义域(1)y3x；(2)y2；(3)y.解(1)函数y3x的定义域为R.(2)由得0x，所以函数y2的定义域为.(3)要使函数有意义，需解得x2，且x0，所以函数y的定义域为.题型四相同函数例4下列各组函数是同一函数的是()f(x)与g(x)x；f(x)x与g(x)；f(x)x0与g(x)；f(x)x22x1与g(t)t22t1.A B C D答案C解析f(x)x与yx的对应法则和值域不同，故不是同一函数g(x)|x|与f(x)x的对应法则和值域不同，故不是同一函数f(x)x0与g(x)都可化
8、为y1且定义域是x|x0，故是同一函数f(x)x22x1与g(t)t22t1的定义域都是R，对应法则也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一函数由上可知是同一函数的是.故选C.反思感悟如果两个函数定义域相同，并且对应法则完全一致，那么这两个函数就是同一函数，故判断两个函数是否相同时，一看定义域，二看对应法则跟踪训练3下列各组函数表示同一函数的序号是_f(x)2x1与g(x)；f(x)|x21|与g(t)；f(x)2x1，g(x)2x1.答案解析对于，f(x)的定义域是R，g(x)的定义域是x|x0，定义域不同，不是同一函数对于，f(x)|x21|，g(t)|t21|，虽然表示自变量的字母不同，
9、但定义域与对应法则都相同，是同一函数；对于，f(x)，g(x)的定义域是R，但对应法则不同，不是同一函数1函数的本质：两个非空数集间的一种单值对应由于函数的定义域和对应法则一经确定，值域也随之确定，所以判断两个函数是否相等只需两个函数的定义域和对应法则一样即可2定义域是一个集合，所以需要写成集合或区间的形式，在已知函数解析式又对x没有其他限制时，定义域就是使函数式有意义的输入值x的集合3在yf(x)中，x是自变量，f代表对应法则，不要因为函数的定义而认为自变量只能用x表示，其实用什么字母表示自变量都可以，关键是符合定义，x只是一个较为常用的习惯性符号，也可以用t等表示自变量关于对应法则f，它是
10、函数的本质特征，好比是计算机中的某个“程序”，当在f()中的括号内输入一个值时，在此“程序”作用下便可输出某个数据，即函数值如f(x)3x5，f表示“自变量的3倍加上5”，如f(4)34517.我们也可以将“f”比喻为一个“数值加工器”(如图)，当投入x的一个值后，经过“数值加工器f”的“加工”就得到一个对应值1下列从集合A到集合B的对应法则f是函数的是()AA1,0,1，B0,1，f：A中的数平方BA0,1，B1,0,1，f：A中的数开方CAZ，BQ，f：A中的数取倒数DA平行四边形，BR，f：求A中平行四边形的面积答案A解析对B，集合A中的元素1对应集合B中的元素1，不符合函数的定义；对C
11、，集合A中的元素0取倒数没有意义，在集合B中没有元素与之对应，不符合函数的定义；对D，A集合不是数集，不符合函数的定义，故选A.2下列函数中，与函数yx相等的是()Ay()2 ByCy|x| Dy答案D解析函数yx的定义域为R；y()2的定义域为0，)；y|x|，对应法则不同；y|x|，对应法则不同；yx，且定义域为R.故选D.3将函数y的定义域用区间表示为_答案(，0)(0,1解析由解得x1且x0，用区间表示为(，0)(0,14已知函数f(x)x，(1)求f(x)的定义域；(2)求f(1)，f(2)的值；(3)当a1时，求f(a1)的值解(1)要使函数f(x)有意义，必须使x0，f(x)的定义域是(，0)(0，)(2)f(1)12，f(2)2.(3)当a1时，a10，f(a1)a1.
