1、3 31 1 函数的概念及其表示函数的概念及其表示 3 31.11.1 函数的概念函数的概念 学习目标 1.理解函数的概念，了解构成函数的三要素.2.能正确使用区间表示数集.3.会求一 些简单函数的定义域、函数值 知识点一 函数的有关概念 函数的定义 设 A，B 是非空的实数集，如果对于集合 A 中任意一个数 x，按照某种确 定的对应关系 f， 在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应， 那么就称 f： AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数 函数的记法 yf(x)，xA 定义域 x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域 值域 函数值的集合fx|xA 叫做函数的值域 知识点
2、二 同一个函数 一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域如果两个函数的定义域相同，并且对 应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数 特别提醒：两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相同 思考 定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗？ 答案 不一定，如果对应关系不同，这两个函数一定不是同一个函数 知识点三 区间 1区间概念(a，b 为实数，且 ab) 定义 名称 符号 数轴表示 x|axb 闭区间 a，b x|axb 开区间 (a，b) x|axb 半开半闭区间 a，b) x|aa x|xa x|x0，即 x2， 所以 x2 且 x1. 所以函数 yx1 0
3、x2的定义域为 x| x2且x1. (3)由 4x20， x0 解得2x0 或 0x2， 所以函数 y 4x21 x的定义域为2,0)(0,2 反思感悟 求函数定义域的常用依据 (1)若 f(x)是分式，则应考虑使分母不为零； (2)若 f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零； (3)若 f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义； (4)若 f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义 跟踪训练 2 求下列函数的定义域 (1)yx1 2 x1 1x； (2)y 2x23x2 1 4x. 解 (1)由 x10， 1x0， 得 x1， x1. 所以定义域
4、为x|x1 且 x1 (2)由 2x23x20， 4x0， 4x0， 得 x1 2或 2x4， 所以定义域为 ，1 2 2,4) 命题角度 2 求函数值 例 3 已知 f(x) 1 1x(xR 且 x1)，g(x)x 22 (xR) (1)求 f(2)，g(2)的值； (2)求 f(g(2)的值 解 (1)因为 f(x) 1 1x，所以 f(2) 1 12 1 3. 又因为 g(x)x22，所以 g(2)2226. (2)f(g(2)f(6) 1 16 1 7. 反思感悟 求函数值的方法 (1)已知 f(x)的解析式时，只需用 a 替换解析式中的 x 即得 f(a)的值 (2)已知 f(x)与
5、 g(x)，求 f(g(a)的值应遵循由里往外的原则 跟踪训练 3 已知 f(x) x21，x0， 1 x1，x0， 则 f(f(2)_. 答案 1 4 解析 f(2)2213， f(f(2)f(3)1 4. 三、同一个函数的判定 例 4 下列选项中能表示同一个函数的是( ) Ayx1 与 yx 21 x1 Byx21 与 st21 Cy2x 与 y2x(x0) Dy(x1)2与 yx2 答案 B 解析 对于选项 A，前者定义域为 R，后者定义域为x|x1，不是同一个函数； 对于选项 B，虽然变量不同，但定义域和对应关系均相同，是同一个函数； 对于选项 C，虽然对应关系相同，但定义域不同，不是
6、同一个函数； 对于选项 D，虽然定义域相同，但对应关系不同，不是同一个函数 反思感悟 在两个函数中，只有当定义域、对应关系都相同时，两函数才是同一个函数值 域相等，只是前两个要素相等的必然结果 跟踪训练 4 下列各组式子是否表示同一函数？为什么？ (1)f(x)|x|，(t) t2； (2)y 1x 1x，y 1x2； (3)y 3x2，yx3. 解 (1)f(x)与 (t)的定义域相同， 又 (t) t2|t|， 即 f(x)与 (t)的对应关系也相同， f(x)与 (t)是同一函数 (2)y 1x 1x的定义域为x|1x1， y 1x2的定义域为x|1x1， 即两者定义域相同 又y 1x
7、1x 1x2， 两函数的对应关系也相同 故 y 1x 1x与 y 1x2是同一函数 (3)y 3x2|x3|与 yx3 的定义域相同，但对应关系不同， y 3x2与 yx3 不是同一函数 1下列四种说法中，不正确的一个是( ) A在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应 B函数的定义域和值域一定是无限集合 C定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了 D若函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素 答案 B 解析 由函数定义知，A，C，D 正确，B 不正确 2若 f(x) x1，则 f(3)等于( ) A2 B4 C2 2 D10 答案 A 解析 f(3) 312.
8、 3函数 f(x) x x1的定义域为( ) A(1，) B0，) C(，1)(1，) D0,1)(1，) 答案 D 解析 由 x0， x10， 得 x0， x1， 定义域为0,1)(1，) 4设 f：xx2是集合 A 到集合 B 的函数，若集合 B1，则集合 A 不可能是( ) A1 B1 C1,1 D1,0 答案 D 解析 因为当 x0 时，在集合 B 中没有值与之对应 5下列各组函数是同一函数的是_(填序号) f(x) 2x3与 g(x)x 2x；f(x)x0与 g(x) 1 x0；f(x)x 22x1 与 g(t)t22t1. 答案 解析 f(x)x 2x，g(x)x 2x，对应关系不同，故 f(x)与 g(x)不是同一函数；f(x) x01(x0)，g(x) 1 x01(x0)，对应关系与定义域均相同，故是同一函数；f(x)x 2 2x1 与 g(t)t22t1，对应关系和定义域均相同，故是同一函数 1知识清单： (1)函数的概念 (2)求函数的定义域、函数值 2方法归纳：数学抽象 3常见误区：化简函数的对应关系时要注意定义域的变化.
