中考培优竞赛专题经典讲义

1、第第 1 1 讲讲 角平分线角平分线 1.角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 定理的数学表示：如图，已知 OE 是AOB的平分线，F是 OE 上一点，若 CFOA于 点 C，DFOB 于点 D，则 CF =DF. 逆定理逆定理：到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上. 角平分线除了简单的平分角以外，结合其它的条件，一般可产生以下三种常见模型！角平分线除了简单的平分角以外，结合其它的条件，一般可产生以下三种常见模型！ 模型讲解模型讲解 模型 1-BD平分ABC，且 DCBC 理由：角平分线的性质 结论：DCB2DEB 模。

2、第第 3 讲讲 几何模型之双子型几何模型之双子型 模型讲解模型讲解 【双等边类型】【双等边类型】 BCDACE ABDACE BOECOF 【双等腰直角类型】 BCDACE BCEDCF ABDACE 【一般情况】 基本条件:ABCEDC，连接 AE、BD 后,有AECBDC，相似比为 AC 边与 BC 边之比。 可见,上面几种有图形中有全等情况出现，只因图形中有边长相等。 【例题讲解】【例题讲解】 例题例题 1、 (直接用双子)如图， 直角坐标系中， 点 A 的坐标为(1,0),以线段 OA 为边在第四象限内作等边AOB, 点 C 为 x 正半轴上一动点(OC1),连接 BC，以线段 BC 为边在第四象限内作等边CBD,。

3、第第 2 2 讲讲 垂直平分线垂直平分线 1.垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. PD 为线段 AB 的垂直平分线，必然需要连接 PA、PB，构造出等腰PAB，进而求解. 逆定理：若 PA=PB，则点 P在 AB的垂直平分线上. 【例题讲解】【例题讲解】 例例题题 1 1、如图，在ABC中，点 D、E、F 分别在 BC、AB、AC 上.BD=CF，BE=CD，DGEF 于点 G，且 EG=FG.求证：AB=AC. 【分析】可知 GD为 EF的垂直平分线，遇见垂直平分线，必然要将垂直平分线上的点与线段两端点连接 【解答】解：连接 DE、DF 如右图所示 ,DGEF EGFG DED。

4、第第 5 5 讲讲 几何模型之母子型几何模型之母子型 模型讲解模型讲解 D CB A A DB C ACDABC ACDBCABAD AC2ADAB 射影定理：射影定理：AD2DBDC BA2BDBC CA2CDCB 【圆中母子型圆中母子型】 O C B A P P A B C 过圆外一点 P 作引圆的两条切线 PA 为圆的切线， PB 交圆于点 C 连接 OP、AB 则有PACPBA 则 OP 是 AB 的垂直平分线 【例题【例题讲解讲解】 例题例题 1、如图，P 为线段 AB 上一点，AD 与 BC 交于 E，CPDAB，BC 交 PD 于 F，AD 交 PC 于 G，则图中相似三角形有（ ） A.1 对 B.2 对 C.3 对 D.4 对 P G F E D C B A 解：CPDB，CC， PCFB。

5、第第 4 4 讲讲 几何模型之“几何模型之“K”字型”字型 模型讲解模型讲解 直角型 锐角型 钝角型 【例题讲解】【例题讲解】 ( (直接“直接“K”字型”字型) ) 例题例题 1、 (1)问题：如图 1，在四边形 ABCD 中，点 P 为 AB 上一点,DPCAB90,求证：AD BCAPBP; （2）探究：如图 2，在四边形 ABCD 中，点 P 为 AB 上一点，当DPCAB时，上述结论是 否依然成立？说明理由 （3）应用：请利用(1)(2)获得的经验解决问题： 如图 3，在ABD 中，AB6,ADBD5，点 P 以每秒 1 个单位长度的速度，由点 A 出发，沿边 AB 向 点 B 运动，且满足CPDA，设点 P 的运。

6、第第 7 7 讲讲 双直角三角形模型双直角三角形模型 双直角三角形模型是在解三角形中最常见的模型，模型的特点为：有一条直角边为公共边，另外一 条直角边共线。但在不同的背景下会有不同的变化，需要从中看出模型的本质 模型讲解模型讲解 10530 30 45 30 135 30 45 15 45 60 45 60 45 4560 一般类型：将两个直角三角形组合，一条直角边为公共边，其中a 和的三角函数值为已知 【例题讲解例题讲解】 例题例题 1、如图，在一笔直的海岸线 l 上有 AB 两个观测站，A 在 B 的正东方向，AB2(单位：km)有一 艘小船在点 P 处，从 A 测得小船在北偏西。

7、第第 6 6 讲讲 巧用旋转解题巧用旋转解题 【例题讲解】【例题讲解】 一、当条件中出现一、当条件中出现“邻边相等对角互补半角邻边相等对角互补半角” 例题例题 1、 如图， 将 RtABC 沿斜边 AC 翻折得到 RtADC， E、 F 分别是 BC、 CD 边上的点， EAF 1 2 BAD， 连结 EF，试猜想 BE、EF、DF 三条线段之间的数量关系，并证明你的结论. F E D CB A 【解析】如图，延长 CB 到 Q，使 BQDF，连接 AQ， Q A BC D E F ABC 与ADC 关于 AC 对称， ABCADC，ABAD，ABCD. ABC90，ABQD90. 易证ADFABQ（SAS） ， AQAF，QABDAF， EAF 1 2 BAD，DAFBAEEAF。

8、第第 1010 讲讲 最值问题之将军饮马问题最值问题之将军饮马问题 最值问题是老师们最爱考的热门题型之一，综合性较强，需要一定的基本功，一般考察时一般放在 压轴位置。 模型讲解模型讲解 【基本模型基本模型】 问题：在直线 l 上找一点 P，使得 PAPB 的值最小 解析：连接 AB，与直线 l 交点即为点 P(两点之间线段最短) 【拓展模型拓展模型 1 1】 问题：在直线/上找一点 P，使得 PAPB 的值最小 解析：点 A 作关于 l 的对称点 A，连接 BA，与直线 l 的交点即为点 P，此时 PAPB 的最小值即为线段 BA的长度 【练习练习】 1、尺规作图：在直线。

9、第第 1010 讲讲 最值问题之三角形三边关系最值问题之三角形三边关系 模型讲解模型讲解 问题：在直线 l 上找一点 P，使得PAPB的值最大 解析：连接 AB，并延长与 1 交点即为点 P. 证明：如图，根据ABP三边关系，BP-AP0Q+QP QPQP 所以连接 OP，与圆的交点即为所求点 Q，此时 PQ 最短. 【另外三种情况】 点 P 在圆外，PQ 最长 点 P 在圆内，PQ 最长 点 P 在圆内，PQ 最短 【总结】可见，点与圆的最值问题在本质上仍然是利用了三角形三边关系。 【例题讲解】【例题讲解】 例题例题 1、如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，AD=6，E 是 AB 边的中点，F 。

10、第第 8 8 讲讲 最值问题之垂线段最短最值问题之垂线段最短 模型讲解模型讲解 如图，直线 l 外一点 P 与直线上的点的所有连线段中，PB 线段长度最短 【例题讲解例题讲解】 例题例题 1 1、如图，在 RtABC 中，BAC90，AB5，AC12，P 为边 BC 上一动点，PEAB 于 E， PFAC 于 F，M 为 EF 中点，则 AM 的取值范围是 解：连接 AP，PEAB，PFAC，AEPAFP90， BAC90，四边形 AEPF 是矩形，APEF， BAC90，M 为 EF 中点，AM 1 2 EF 1 2 AP， 在 RtABC 中，BAC90，AB3，AC4，BC 22 ABAC5， 当 APBC 时，AP 值最小，此时 SBAC 1 2 34 1 2 5AP， AP 12 5 ，。

11、第第 1111 讲讲 最值问题之构造与转化最值问题之构造与转化 转化是数学解题中的常用方法，一般可分为两类，一类是具体的转化，即通过定理或者性 质将条件转化和结论转化；另一类是思维转化，这类一般对学生思维要求较高！ 【例题讲解】【例题讲解】 例题例题 1、求 22 4(4)1xx的最小值为_. 【解析】 将代数问题转化为几何问题 如图 1，线段 AB=4，ACAB，BDAB，AC=2，BD=1 22 4(4)1xx转化为求 CP+PD 的最小值 当 C、P、D 共线时最小，即为线段 CD 的长度 例题例题 2、如图，在边长为 8 的正方形 CDEF 中，A、B 分别在边 EF 和 CF 上，点 A 。

12、第第 1 13 3 讲讲 反比例与面积反比例与面积 模型讲解模型讲解 SPOQ=S梯形PABQ SPBO=SPBA= 1 2 k SPAB=SPAB= 1 2 k S矩形ABCD=k Q y xO P BA y xO P B AA B P Ox y PA=BQ AB/PQ PA=BQ Q P B A Ox y Q P B A Ox y Q A B P Ox y 【例题讲解】【例题讲解】 例题例题 1、如图，直线 x=k（k0）与反比例函数 y= 2 x 和 y=- 1 x 一的图像分别交于 A、B两点，若点 P是 y轴 上任意一点，连接 PA、PB，则PAB 的面积是 . x=k y x B A O P 答案： 3 2 例题例题 2、如图，经过原点的两条直线 l1、l2，分别与双曲线 y= k x （k0）相交于 A、B、P、Q四点。

13、第第 1414 讲讲 四边形与面积四边形与面积 模拟讲解模拟讲解 A D G F E CB AD GF ECB GF EB AD C O B AD C B A D C B AD C P D CB A AD BC D CB A SABC=S ADE SBDF= 1 2 S正方形ABCDSAGE= 1 2 S正方形CEFG S= 1 2 SBDC= 1 4 S正方形ABCD S四边形ABCD= 1 2 ACBDS1=S2 SADP+SBPC=S ABPSDPC= 1 2 SABCDS1+S3=S2+S4= 1 2 SABCDS1+S3=S2= 1 2 SABCD S S1 S2 S1 S2 S3 S4S3 S2 S1 【例题讲解】【例题讲解】 例题例题 1、如图，平行四边形 ABCD 中，点 E、F 分别在 AD、AB 上，依次连接 EB、EC、FC、 FD，图中阴影部分的面积分别为 S1、S2、S3、S。

14、第第 1 14 4 讲讲 数学基本方法之等积法数学基本方法之等积法 在解决几何问题时，通常可采用等积法来解决一些问题，即同一个图形采用不同的面积表示方法来建立等 式.等积法也常在证明某些定理时被用到. 【例题讲解】【例题讲解】 例题例题 1 已知：如图，在 RtABC中，BAC90，AB4，AC3，ADBC，求 AD 的长为 DCB A 答案： AD2.4. 例题例题 2、如图，E是边长为 1 的正方形 ABCD 的对角线上一点，且 BEBC，P为 CE上任意一点，PQBC 于点 Q，PRBE 于点 R，则 PQPR 的值为 . R Q P E D CB A 答案： 2 2 . 【解析】连接 BP，易知 BEC S BEP S BCP 。

15、第第 1717 讲讲 函数过定点函数过定点 常指的是一次函数和二次函数，即一个看似普通的函数，其实隐藏着经过某些特殊点的情况. 【例题讲解】【例题讲解】 例题例题 1 直线 ykx1一定经过点 ； 一次函数 ykx3k1经过定点 ； 一次函数 y（k3）x（2k1）的图像经过定点 P 的坐标是 ； 二次函数 yx2mxm1经过的定点是 ； 当 p 取任意实数时，抛物线 y2x2px4p1都经过一个定点，则该点的坐标为 ； 答案： （0,1） 答案： （3,1） 答案： （-2，-7）. 答案： （-1,0）. 答案： （4,33）. 例题例题 2 二次函数 ymx2（m2）x2与 x轴交于 AB 两点，与 y轴。

16、第第 1 17 7 讲讲 二次函数与面积二次函数与面积 解这类问题一般用到以下与面积相关的知识：图形割补、等积转换、等比转化. 【例题讲解】【例题讲解】 例题例题 1 如图 1， 过ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线， 外侧两条直线之间的距离叫ABC 的“水平宽” （a） ，中间的这条直线在ABC内部线段的长度叫ABC的“铅垂高（h） ” 我们可得出一种 计算三角形面积的新方法： ABC S 1 2 ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半 解答问题： 如图 2，顶点为 C（1,4）的抛物线 yax2bxc 交x轴于点 A（3,0） ，交 y轴于点 B （1。

17、第第 1 16 6 讲讲 代数型坐标转化代数型坐标转化 【例题讲解】【例题讲解】 例题例题 1 点 A（a，a2）无论 a取何值，都在直线 l上，则 l的直线解析式为_. 答案：yx2. 无论 a取什么实数，点 P（a1,2a3）都在直线 l上，若点 Q（m，n）是直线 l上的点，则 2mn3 的值是 答案：4. 若点P坐标为 （2m， m2m4） ， 点P随着m的变化在某一个函数上运动， 则该函数解析式为_. 答案：y 2 4 x 2 x 4. 例题例题 2、已知，在平面直角坐标系中，点 A（4,0） ，点 B（m， 3 3 m） ，点 C 为线段 OA 上一点（点 O为原 点） ，则 ABBC的最小值为 答案：2 3 【。

18、第第 1818 讲讲 圆与相似圆与相似 模型讲解 圆与直角母子型（1） 圆与直角母子型（2） ABEAD C PACPBAPABPCD ABED CE O O O A B C D A B C D A B C P E A B C D A B C P E P D C B A 【例题讲解】【例题讲解】 例题例题 1 如图，AB为O的直径， C为O上一点，弦 AD 平分BAC，交 BC 于点 E，AB6，AD5， 则 AE的长. O E D C BA 【解析】如图，连接 BD、CD， O E D C BA AB 为O的直径， ADB90 BD 22 ABAD 22 6511， 弦 AD 平分BAC， CDBD11， CBDDAB， 在ABD和BED中， BADEBD ADBBDE ABDBED， DE DB DB AD ，即 11 DE 11 5 解得 DE 11 5 AEADDE。

19、第第 19 讲讲 圆内接多边形圆内接多边形 解题关键：抓住点在圆上，即圆上的点到圆心距离为半径这一本质. 【例【例题讲解题讲解】 例题例题 1 1、如图，三个全等的正方形内接于圆，正方形的边长为 16，求圆的半径. 答案：由题意可知，圆心应该在下面两个正方形的相交边上面，且设定圆心与上面正方形的距离为x，则 BO16x，BC16，AD8，4016x，故BC 2BO2AD2AO2，则可以得到方程： 16（16x） 2（16x）282，解之得x3，所以能将其完全覆盖的圆的最下半径为R2162(16 x） 25 17即为所求。 例题例题 2 2、如图，在半径为 2，圆心角为 60的扇形内接一。

20、第第 2 20 0 讲讲 多边形内切圆多边形内切圆 【例【例题讲解题讲解】 例题例题 1、已知 RtABC，AB4，BC3，求内切圆O 的半径. CB A O F E DO A BC 方法一：利用切线长定理 方法二：面积法 如图，ODOEBEBDr SAOBSAOCSBOCSABC ADAF4r，CECF3r 2 1 4r 2 1 5r 2 1 3r 2 1 34 4r3r5 解得 r1 解得 r1 利用切线长定理，可推导出直角三角形内切圆半径 r 2 cba （a、b 为直角边，C 为斜边）利用面 积法，可推导出直角三角形内切圆半径 r C S2 （S 为面积，C 为周长） 例题例题 2 2、如图，ABC 中，ABAC5，BC6，点 P 在边 AB 上，以 P 为圆心的P 分别。