中考培优竞赛专题经典讲义 第17讲 二次函数与面积

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1、第第 1 17 7 讲讲 二次函数与面积二次函数与面积 解这类问题一般用到以下与面积相关的知识:图形割补、等积转换、等比转化. 【例题讲解】【例题讲解】 例题例题 1 如图 1, 过ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线, 外侧两条直线之间的距离叫ABC 的“水平宽” (a) ,中间的这条直线在ABC内部线段的长度叫ABC的“铅垂高(h) ” 我们可得出一种 计算三角形面积的新方法: ABC S 1 2 ah,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半 解答问题: 如图 2,顶点为 C(1,4)的抛物线 yax2bxc 交x轴于点 A(3,0) ,交 y轴于点 B (1)求抛物线和直线

2、 AB的解析式; (2)点 P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,连接 PA,PB,当 P 点运动到顶点 C时,求CAB 的铅垂高 CD 及 CAB S; 是否存在抛物线上一点 P,使 PAB S CAB S?若存在,求出 P点的坐标;若不存在,请说明理由 h a C B A 水平宽 铅 直 高 x y D C B A O x y A B O 【解析】 (1)设抛物线的解析式为: 1 ya(x1)4 把 A(3,0)代入解析式求得 a1, 所以 1 y(x1)4x2x3, 设直线 AB的解析式为: 2 ykxb 由 1 yx2x3 求得 B点的坐标为(0,3) 把 A(3,0) ,B(0,

3、3)代入 2 ykxb 中 解得:k1,b3 所以 2 yx3; (2)因为 C 点坐标为(1,4) 所以当 x1 时, 1 y4, 2 y2 所以 CD422 CAB S 1 2 323(平方单位) ; 图 1 图 2 备用图 假设存在符合条件的点 P,设 P 点的横坐标为 x,PAB 的铅垂高为 h,则 h 1 y 2 y(x2x3) (x3)x3x 由 PAB S CAB S 得: 1 2 3(x3x)3 化简得:x3x20, 解得: 1 x1, 2 x2, 将 1 x1 代入 1 yx2x3中, 解得 P点坐标为(1,4) 将 2 x2 代入 1 yx2x3中, 解得 P点坐标为(2,

4、3) 点 P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点, 综上所述,P点的坐标为(1,4) , (2,3) 模型讲解 竖切竖切 面积公式均为 1 = 2 Sdh h d D C B A d D h C B A h d D C B A 横切横切 面积公式均为 1 = 2 Sdh C B A D d h C B A D d h h d D C B A 【总结】【总结】 这种“铅垂高铅垂高水平宽的一半水平宽的一半”的求解方法可过三角形的任意一点,并且“横竖横竖”均可.而在选择时,如 何选用,取决于点 D的坐标哪种更易求得. 例题例题 2 已知一次函数 y(k3)x(k1)的图像与 x 轴、y轴分别相交于点

5、 A、B,P(1,4). (1)若OBP 的面积为 3,求 k 的值; (2)若AOB 的面积为 1,求 k 的值. 【解析】 (1)y(k3)x(k1)的图像与 x轴、y 轴分别相交于点 A、B, A( 1k k 3 ,0) ,B(0,k1) P(1,4) 1 2 1k13 1k6 1 k7,或 2 k5. (2) 1 2 1k k 3 1k1 2 1k k 3 2 (k1)23k 当 k30,即 k3时,k4k50 1 k5,或 2 k1; 当 k30,即 k3时,k7(舍去) ; 综上所述: 1 k5,或 2 k1. 例题例题 3 如图,二次函数 y 1 2 ax2axc 的图像的顶点为

6、 C,一次函数 yx3的图像与这个二次函数 的图像交于 A、B 两点(其中点 A在点 B的左侧) ,与它的对称轴交于点 D. (1)求点 D的坐标; (2)若点 C与点 D 关于 x轴对称,且BCD的面积为 4,求此二次函数的关系式. x y O 【解析】 (1)y 1 2 ax2axc x a a 1, yx3 y2 D(1,2); (2)设 B 点坐标为(m,n). 点 C与点 D关于 x轴对称, C(1,2) CD4. BCD S4, 1 2 4(m1)4 m3 yx3 n330 B(3,0) y 1 2 ax2axc 1 2 2 9 03 2 aac aac 1 3 c 2 a y 1

7、 2 x2x 3 2 . x y D C B A O 例题例题 4 已知抛物线 yax2bxc与 x轴交于 A、B两点,与 y 轴交于点 C,其中点 B 在 x 轴的正半轴上, 点 C 在 y 轴正半轴上,线段 OB、OC的长(OBOC)是方程 x10x160 的两个根,且抛物线的对称 轴是直线 x2. (1)求抛物线解析式; (2)若点 E时线段 AB上的一个动点(与点 A、B不重合) ,过点 E 作 EFAC交 BC于点 F,连接 CE, 设 AE的长为 m,CEF的面积为 S,求 S与 m 之间的函数关系式,并写出自变量 m 的取值范围. x y 2 8 -6 F E C B A O 【

8、解析】 (1)x10x160, 解得 1 x2, 2 x8 点 B在 x轴的正半轴上,点 C在 y轴的正半轴上,线段 OB、OC的长(OBOC) , 点 B的坐标为(2,0) ,点 C 的坐标为(0,8) 又由抛物线的对称轴是直线 x2,得 A点坐标为(6,0) ,把 A,B,C点坐标代入表达式 yaxbx c,得 3660 420 8 abc abc c , 解得 2 3 8 3 8 a b c 所求抛物线的表达式为 y 2 3 x 8 3 8 (2)依题意,AEm,则 BE8m, OA6,OC8, AC10. EFAC, BEFBAC, EF AC BE AB ,即 10 EF 8 8 m

9、 , EF 405 4 m 过点 F作 FGAB,垂足为 G, 则 sinFEGsinCAB 4 5 , FG EF 4 5 ,FG 4 5 405 4 m 8m, S BCE S BFE S 1 2 (8m)8 1 2 (8m) (8m) 1 2 m4m(0m8). x y G2 8 -6 F E C B A O 【巩固练习】【巩固练习】 1.已知直线 y2x4 与 x轴、y 轴分别交于 A,D两点,抛物线 y 1 2 xbxc 经过点 A,D,点 B是 抛物线与 x 轴的另一个交点 (1)求这条抛物线的解析式及点 B 的坐标; (2)设点 M 是直线 AD上一点,且 AOM S: OMD

10、S1:3,求点 M的坐标; 2如图,已知抛物线 yxbxc 与一直线相交于 A(1,0) ,C(2,3)两点,与 y轴交于点 N,其顶 点为 D (1)抛物线及直线 AC 的函数关系式; (2)若 P 是抛物线上位于直线 AC 上方的一个动点,直接写出APC的面积的最大值及此时点 P的坐标 x y D P NC B A O 3如图,在平面直角坐标系 xOy中,抛物线 yax2ax3a(a0)与 x轴交于 A,B两点(点 A在点 B 的左侧) ,经过点 A 的直线 l:ykxb与 y轴交于点 C,与抛物线的另一个交点为 D,且 CD4AC (1)直接写出点 A 的坐标,并求直线 l的函数表达式(

11、其中 k,b用含 a的式子表示) ; (2)点 E 是直线 l上方的抛物线上的一点,若ACE 的面积的最大值为 5 4 ,求 a 的值; x y l E D C B A 4. 已知:二次函数 yaxbx6(a0)的图象与 x 轴交于 A、B两点(点 A在点 B的左侧) ,点 A、点 B 的横坐标是方程 x4x120的两个根 (1)求出该二次函数的表达式及顶点坐标; (2)如图,连接 AC、BC,点 P是线段 OB上一个动点(点 P不与点 O、B重合) ,过点 P 作 PQAC交 BC 于点 Q,当CPQ 的面积最大时,求点 P 的坐标 x y Q P C BA 5一次函数 y 3 4 x 的图

12、象如图所示,它与二次函数 yax4axc的图象交于 A、B两点(其中点 A 在点 B的右侧) ,与这个二次函数图象的对称轴交于点 C (1)求点 C的坐标 (2)设二次函数图象的顶点为 D 若点 D 与点 C 关于现在 x 轴对称,且ACD 的面积等于 3,求此二次函数的关系式 若 CDAC,且ACD的面积等于 10,求此二次函数的关系式 x y C y=- 3 4 x O 6.已知:在直角坐标系中,点 C的坐标为(0,2) ,点 A与点 B在 x轴上,且点 A与点 B的横坐标是方 程 x3x40 的两个根,点 A在点 B的左侧. (1)求经过 A、B、C 三点的抛物线的关系式. (2)点 D

13、的坐标为(2,0) ,点 P(m,n)是该抛物线上的一个动点(其中 m0,n0)连接 CD、CP, 设CDP的面积为 S,当 S 取某一个值时,有两个点 P 与之对应,求此时 S的取值范围? x y P D C BA O 7、如图,在平面直角坐标系中,点 O为坐标原点,直线 l与抛物线 ymxnx 相交于 A(1,3) ,B(4, 0)两点. (1)求出抛物线的解析式; (2)点 P 是线段 AB 上一动点, (点 P不与点 A、B重合) ,过点 P 作 PMOA,交第一象限内的抛物线于 点 M,过点 M 作 MCx轴于点 C,交 AB 于点 N,若BCN、PMN的面积 BCN S、 PMN

14、S满足 BCN S 2 PMN S,求出 MN NC 的值,并求出此时点 M的坐标. x y N M P CB A O 参考答案 1.【解析】 (1)令 y0,则 2x40, 解得 x2, 令 x0,则 y4, 所以,点 A(2,0) 、D(0,4) ; 代入抛物线 y 1 2 xbxc中,得: 1 420 2 4 bc c ,解得 1 4 b c 抛物线的解析式:y 1 2 xx4; 令 y0,得:0 1 2 xx4,解得 1 x2、 2 x4 点 B(4,0) (2) AOM S: OMD S1:3,AM:MD1:3; 过点 M 作 MNx轴于 N,如图; 当点 M在线段 AD上时,AM:

15、AD1:4; MNOD,AMNADO MN 1 4 OD1、AN 1 4 OA 1 2 、ONOAAN2 1 2 3 2 ; M( 3 2 ,1) ; 当点 M在线段 DA 的延长线上时,AM:AD1:2; MNOD,AMNADO, MN 1 2 OD2、AN 1 2 OA1、ONOAAN3; M(3,2) ; 综上,符合条件的点 M有两个,坐标为: ( 3 2 ,1) 、 (3,2) x y D B AN N M M O 2.【解析】 (1)yx1; (2)点 P的坐标为( 1 2 , 15 4 ). (1)将 A(1,0) ,C(2,3)代入 yxbxc,得: 10 423 bc bc ,

16、解得: 3 b c 2 , 抛物线的函数关系式为 yx2x3 设直线 AC的函数关系式为 ykxa(k0) , 将 A(1,0) ,C(2,3)代入 ykxa,得: 0 23 ka ka ,解得: 1 1 k a , 直线 AC的函数关系式为 yx1 (2)过点 P作 PMx 轴,垂足为点 M,过点 C作 CNx轴,垂足为 N,如图所示 设点 P的坐标为(x,x2x3) (1x2) ,则点 M 的坐标为(x,0) 点 A的坐标为(1,0) ,点 C的坐标为(2,3) , AMx1,MN2x,PMx2x3,CN3,AN3, APC S APM S PMNC S梯形 ACN S, 1 2 AMPM

17、 1 2 (PMCN) MN 1 2 ANCN, 1 2 (x1) (x2x3) 1 2 (x2x33) (2x) 1 2 33, 3 2 x 3 2 x3 APC S 3 2 x 3 2 x3 3 2 (x 1 2 ) 27 8 , 3 2 0, 当 x 1 2 时, APC S取得最大值,最大值为 27 8 ,此时点 P的坐标为( 1 2 ,15 4 ) x y NM D P NC B A O 3.【解析】 (1)令 y0,则 ax2ax3a0, 解得 1 x1, 2 x3 点 A在点 B的左侧, A(1,0) 如图 1,作 DFx 轴于 F, DFOC, OF OA CD AC , CD

18、4AC, OF OA CD AC 4, OA1, OF4, D 点的横坐标为 4, 代入 yax2ax3a 得,y5a, D(4,5a) 把 A、D 坐标代入 ykxb 得 0 45a kb kb , 解得 a ka b , 直线 l的函数表达式为 yaxa (2)如图 1,过点 E作 ENy 轴于点 N 设点 E(m,a(m1) (m3) ) , 11AE yk xb, 则 11 11 13a mmmkb kb 0 , 解得: 1 3 3 ka m ba m , AE ya(m3)xa(m3) ,M(0,a(m3) ) , MCa(m3)a,NEm, ACE S ACM S CEM S 1

19、2 a(m3) 1 2 a(m3)am 1 2 (m1)a(m3)a 2 a (m 3 2 ) 25 8 a, 有最大值 25 8 a 5 4 , a 2 5 . x y M N F l E D C B A 4.【解析】 (1)由 x4x120, 解得: 1 x2, 2 x6, 点 A、点 B的横坐标是方程 x4x120的两个根, 故 A(2,0) 、B(6,0) , 则 426 0 3666 0 ab ab , 解得 1 2 2 a b 故二次函数 y 1 2 x2x6,顶点坐标(2,8) ; (2)设点 P的横坐标为 m,则 0m6, 连接 AQ, 直线 BC 的解析式为 yx6,直线 A

20、C的解析式为 y3x6, 设 Q 点坐标为(a,6a) , 由 PQAC, 可知 6a am 3, 解得 a 63 4 m , 6a 3 4 (6m) , CPQ S APQ S 1 2 (m2) 3 4 (6m) 3 8 (m4m12) 3 8 (m2)6, 当 m2 时,S最大6, 所以,当CPQ 的面积最大时,点 P的坐标是(2,0) x y Q P C BA 5.【解析】 (1)抛物线的对称轴方程为 x 2 b a , 抛物线的对称轴为 x 4 2 a a 2 将 x2 代入 y 3 4 x得:y 3 4 (2) 3 2 , 点 C的坐标为(2, 3 2 ) (2)点 D与点 C关于

21、x轴对称, 点 D的坐标为(2, 3 2 ) CD3 设点 A的横坐标为 x,则点 A 到 CD的距离(x2) ACD的面积等于 3, 1 2 CD(x2)3 解得:x0 将 x0 代入 y 3 4 x 得:y0 点 A的坐标为(0,0) 设抛物线的解析式为 ya(x2) 3 2 ,将(0,0)代入得;4a 3 2 0,解得:a 3 8 抛物线的解析式为 y 3 8 (x2) 3 2 x y C D C B A y=- 3 4 x O 如图所示,过点 A作 AEDC,垂足为 E x yD C F E A y=- 3 4 x O 设点 D的坐标为(2,m) ,则 CD 3 2 m DCAC, A

22、C 3 2 m, EAx 轴, COFCAE. AE 4 5 AC 43 52 m ACD的面积为 10, 1 2 CDAE10,即 1 2 (m 3 2 ) 4 5 (m 3 2 )10. 解得:m6.5 或 m3.5 当 m6.5 时,点 D 的坐标为(2,6.5) AE 4 5 (6.51.5) 点 A的横坐标为242 将 x2 代入 y 3 4 x 得;y 3 4 2 3 2 点 A的坐标为(2, 3 2 ) 设抛物线的解析式为 ya(x2)6.5,将点 A的坐标代入得:16a6.51.5 解得:a 1 2 抛物线的解析式为 y 1 2 (x2)6.5 当 m3.5时,点 D的坐标为(

23、2,3.5) AE 4 5 1.5(3.5)4 点 A的坐标为(2, 3 2 ) 设抛物线的解析式为 ya(x2)3.5,将点 A的坐标代入得:16a3.51.5 解得:a 1 8 抛物线的解析式为 y 1 8 (x2)3.5 6.【解析】 (1)解方程 x3x40,得: 1 x1、 2 x4,则 A(1,0) 、B(4,0) ; 依题意,设抛物线的解析式:ya(x1) (x4) ,代入 C(0,2) ,得: a(01) (04)2, 解得:a 1 2 故抛物线的解析式:y 1 2 (x1) (x4) 1 2 x 3 2 x2 (2)由 C(0,2) 、D(2,0)得,直线 CD:yx2; 作

24、直线 lCD,且直线 l与抛物线有且只有一个交点 P,设直线 l:yxb,联立抛物线的解析式: xb 1 2 x 3 2 x2,即: 1 2 x 5 2 x2b0 25 4 4 1 2 (2b)0,解得 b 41 8 即,直线 l:yx 41 8 ; 联立直线 l和抛物线的解析式,得: 2 41 8 13 2 22 yx yxx , 解得 5 2 21 8 x y 则 P( 5 2 , 21 8 ) ; 过 P 作 PMx 轴于 M,如图(2) CDP 的最大面积: max S 12151152125 (2)22(2) 28222288 ; 当 P( 5 2 , 21 8 )时,CDP的面积有

25、最大值,且最大面积为 25 8 连接 BC 则 BCD S 1 2 BDOC 1 2 (42)22 S的取值范围是 2S 25 8 . 7.【解析】 (1)A(1,3) ,B(4,0)在抛物线 ymxnx 的图象上, 3 1640 mn mn ,解得 4 m n 1 , 抛物线解析式为 yx4x; (3)如图,过 P作 PFCM于点 F, x y N M P F DCB A O PMOA, RtADCRtMFP, MF PF AD OD 3, MF3PF, 在 RtABD 中,BD3,AD3, tanABD1, ABD45,设 BCa,则 CNa, 在 RtSPFN 中,PNFBNC45, tanPNF PF FN 1, FNPF, MNMFFN4PF, BCN S2 PMN S, 1 2 a2 1 2 4PF, a2 2PF, NCa2 2PF, MN NC 4 2 2 PE PF 2, MN2NC2a, MCMNNC(21)a, M点坐标为(4a, (21)a) , 又 M点在抛物线上,代入可得(4a)4(4a)(21)a, 解得 a32或 a0(舍去) , OC4a21,MC322, 点 M 的坐标为(21,322)

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