1、第第 28 讲讲 存在性问题之平行四边形存在性问题之平行四边形 此类问题一般从平行四边形的性质着手 对边平行且相等构造全等； 对角线互相平分利用中点公式. 【例【例题讲解题讲解】 例题例题 1.如图,一次函数 y= 1 2 x+2 分别交 y 轴、x 轴于 A、B 两点,抛物线 y=x2+bx+c 过 A、B 两地， (1)求这个抛物线的解析式； (2)作垂直 x 轴的直线 x=t,在第一象限交直线 AB 于 M， 交这个抛物线于 N， 求当 t 取何值时， MN 有最大值？ 最大值是多少？ (3)在(2)的情况下,以 A、M、N、D 为顶点作平行四边形,求第四个顶点 D 的坐标. 解:(1)
2、y= 1 2 x+2 分别交 y 轴、x 轴于 A、B 两点, A、B 点的坐标为:A(0,2),B(4,0), 将 x=0,y=2 代 y=x2+bx+c 得 c=2. 将 x=4,y=0 代 y=x2+bx+c 得 0=16+4b+2,解得 b 7 2 . 抛物线解析式为:y=x2+ 7 2 x+2; (2)如答图 1,设 MN 交 x 轴于点 E, 则 E(t,0),BE=4t,tanABO= 21 42 OA OB , ME=BE tanABO=(4t) 1 2 =2 1 2 t 又 N 点在抛物线上,且 xN=t,yN=t2+ 7 2 t+2 MN=yNME=t2+ 7 2 t+2(
3、2 1 2 t)=t2+4t 当 t=2 时,MN 有最大值 4. (3)由(2)可知,A(0,2),M(2,1),N(2,5) 以 A、M、N、D 为顶点作平行四边形,D 点的可能位置有三种情形,如答图 2 所示： (i)当 D 在 y 轴上时,设 D 的坐标为(0,a) 由 AD=MN,得|a1| =4,解得 a1=6,a2=2, 从而 D 为(0,6)或 D(0,2), A O B M N x y (i i)当 D 不在 y 轴上时,由图可知 D3为 D1N 与 D2M 的交点, 易得 D1N 的方程为 y= 1 2 x+6,D2M 的方程为 y= 3 2 x2 由两方程联立解得 D 为
4、(4,4) 故所求的 D 点坐标为(0,6),(0,2)或(4,4). 【单动点】 例题例题 2.在直角坐标系中，已知 A(2,4),B(2,2),C(1,1),当 A、B、C、D 四点组成的四边形为平行四边形时, 求点 D 的坐标. 【分析】我们知道,平行四边形的对角线互相平分,所以我们可以利用这个性质几何中点公式来解决这类问 题. 中点公式:若 A(x1,y1),B(x2,y2),则 AB 的中点坐标为( 12 2 xx , 12 2 yy ). 【解析】 如下图,当 BD 与 AC 为对角线时,BD 与 AC 互相平分,所以 AB 的中点即为 BD 的中点,根据 A、 C 坐 标可计算出
5、 M 点的坐标为( 1 2 , 3 2 ),再根据 BD 的中点也为 M( 1 2 , 3 2 )，即可算出 D1(3,1)，同理可计算出 D2(1,7),D3(5,3). 【总结】我们可以把过程再简单化一点,我们发现,在算 D1 时,利用中点公式均需要除 2,所以为了方便快捷, 直接省略这一步,所以就是 A 点、C 点的横坐标相加=B 点、D1点的横坐标相加(即 xA+xC=xB+xD1),记住这个 方法，连图都不用画了！ C y Ox A B D1 M B A xO y C D3 D2 D1 M C y Ox A B 【双动点】 例题例题 3.在直角坐标系中,已知有一条直线 y= 3 4
6、x+3,A(0,1),B(1,0),在直线上 y= 3 4 x+3找一点 C,x轴上有一点 D,当以 A、B、C、D 为顶点的四边形为平行四边形时,求点 D 的坐标. 【分析】 本题中有两个不确定的点,点 C 和点 D,根据上一例题,我们只需将双动点转化为单动点,这个问题就 可以解决了. 【解析】 设 C(m,m+3),根据上一例题讲述的中点法,即可把三个点 D 都用 m 表示出来,分别为 D1(1m, 3 4 m 2） ，D2(m1, 3 4 m+4),D3(m+l, 3 4 m+2),因为点 D 在 x 轴上，所以纵坐标为 0，即可算出 m. 【巩固训练巩固训练】 1.如图,已知ABC 的
7、三个顶点坐标为 A(2,3)、B(6,0)、C(1,0). (1)将ABC 绕坐标原点 O 逆时针旋转 90 ，直接写出点 A 的对应点 A的坐标 ； (2)请直接写出:以 A、B、C 为顶点的平行四边形的第四个顶点 D 的坐标 . y xB A O y x OC B A 2.如图,已知抛物线 y=x24x+3 与 x 轴交于 A、B,顶点为 C. (1)对于任意实数 m,点 M(m,2)是否在该抛物线上？请说明理由； (2)求证:ABC 是等腰直角三角形； (3)已知点 D 在 x 轴上,那么抛物线上是否存在点 P,使得以 B、C、D、P 为顶点的四边形是平行四边形？若 存在,求出点 P 的
8、坐标;若不存在,请说明理由. 3.如图,二次函数 y=x2+bx+c 的图像与 x 轴交于 A、 B 两点,且 A 点坐标为(3,0),经过 B 点的直线交抛物线于 点 D(2,3). (1)求抛物线的函数关系式和直线 BD 的函数关系式； (2) 过x轴上的点E(a,0)(E点在B点的右侧)作直线EFBD,交抛物线于点F,是否存在实数a使四边形BDEF 是平行四边形？如果存在,求出满足条件的 a;如果不存在,请说明理由。 y x OBA AB D O x y 4.如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、 B两点,且B点的坐标为(3,0),经过A点的直线交抛物线于点D(2,3). (1)求
9、抛物线的解析式和直线 AD 的解析式； (2)过 x 轴上的点 E(a,0)作直线 EFAD,交抛物线于点 F,是否存在实数 a,使得以 A、D、E、F 为顶点的四边 形是平行四边形？如果存在,求出满足条件的 a;如果不存在,请说明理由. O A B D x y 参考答案 1.解:D(5,3)或(7,3)或(3,3). 2.解: (1)假设存在,则将 M 点的坐标代入抛物线得:2=m24m+3,化简得方程:m24m+5=0,因为=(4)2 45=40,所以该方程无解,故对于任意实数 m,点 M(m,2)不在抛物线上. (2)如图所示,过点 C 作 CHx 轴,交 x 轴与点 H,连接 CA、C
10、B. 抛物线的表达式为 y=(x2)21, 所以抛物线与 x 轴的交点的坐标为 A(1,0)和 B(3,0), 抛物线的顶点坐标为 C(2,1),以 H 点的坐标为(2,0). 因为 tanHAC= HC AH =1,tanHBC= HC BH =1, 所以BAC=ABC=45,AC=BC,那么ACB=180CABCBA=90, 故ACB 为等腰直角三角形. (3)存在.若 BD 为平行四边形的边,则 BDCP,因为 C 为抛物线上的顶点,所以抛物线上不存在点 P 使得 CP x 轴,即 BD 不能作为该平行四边形的边。 若 BD 为平行四边形的对角线,因为平行四边形对角线互相平分, 所以 C
11、P 被 x 轴平分,因为 C(2,1),所以 P 的纵坐标为 1,代入抛物线解析式得:1=x24x+3,解得:x1=2+2或 x2=22. 故 P 点的坐标为:(2+2,1)或(22,1) 3.解:(1)将点 A 和点 O 的坐标代入二次函数表达式得: 930 423 bc bc ,得:b=2, 将 b=2 代入得:c=3,故抛物线解析式为 y=x2+2x3,故当 y=0 时,即(x+3)(x1)=0, 根据题意知,xB=1,即点 B 的坐标为(1,0). 设直线 BD 的解析式为 y=kx+m,将点 B 和点 D 的坐标代入得: 0 23 km km 得:3k=3,解得:k=1,将 k=1
12、代入得:m=1,故直线 BD 的解析式为 y=x1. (2)因为 EFBD,所以直线 EF 的解析式为 y=xa,因为四边形 BDFE 为平行四边形, 所以 DFx,故点 F 的纵坐标为3。当 y=3 时,x=a3,故点 F 的坐标为(a3,3)。 因为点 F 在抛物线上,所以(a3)2+2(a3)3=3,整理得:a24a+3=0,即(a1)(a3)=0, 解得:a1=1。此时点 E 与点 B 重合,舍去;a2=3,此时点 E 的坐标为(3.0),符合题意, 故存在 a=3 使四边形 BDFE 为平行四边形. 4.解:(1)把点 B 和 D 的坐标代入 y=x2+bx+c,得 930 423 bc bc 解得 b=2,c=3. 拋物线的解析式为 y=x2+2x+3,当 y=0 时x2+2x+3=0.解得 x=3 或 x=1. B(3,0),A(1,0). 设直线 AD 的解析式为 y=kx+m(k0). 把 A 和 D 的坐标代入得 0 23 km km 解得 k=1,m=1. 直线 AD 的解析式为 y=x+1. (2)分两种情况当 a1 时,显然 F 应在 x 轴下方,EFAD 且 EF=AD. 设 F(a3,3),(a3)2+2(a3)+3=3,解得 a=47 综上所述满足条件的 a 的值为3 或 47.
