1、第第 5 5 讲讲 几何模型之母子型几何模型之母子型 模型讲解模型讲解 D CB A A DB C ACDABC ACDBCABAD AC2ADAB 射影定理：射影定理：AD2DBDC BA2BDBC CA2CDCB 【圆中母子型圆中母子型】 O C B A P P A B C 过圆外一点 P 作引圆的两条切线 PA 为圆的切线， PB 交圆于点 C 连接 OP、AB 则有PACPBA 则 OP 是 AB 的垂直平分线 【例题【例题讲解讲解】 例题例题 1、如图，P 为线段 AB 上一点，AD 与 BC 交于 E，CPDAB，BC 交 PD 于 F，AD 交 PC 于 G，则图中相似三角形有（
2、 ） A.1 对 B.2 对 C.3 对 D.4 对 P G F E D C B A 解：CPDB，CC， PCFBCP CPDA，DD， APDPGD CPDAB，APGBC，BFPCPDC APGBFP， APGBFP 则图中相似三角形有 3 对， 故答案为：C 例题例题 2、在 RtABC 中，ACB90，过 C 作 CDAB，垂足为 D. （1）若 AD1，BD4，求 CD 的长； （2）若 AC3，BD 16 5 ，求 AB 的长. D CB A 【总结总结】在直角母子型中，6 条线段，已知其中任意 2 条，即可求出其它所有线段长！ 答案： （1）ADCCDB AD CD CD BD
3、 CD2ADBDCD2； （2）ADCBCA AD AC AC AB AC2ADAB，设 ADx，ABx 16 5 ， 整理得：5x216x450，解得 x 9 5 ，AB5. 例题例题 3、如图，在ABC 中，以 AC 边为直径的O 交 BC 于点 D，过点 B 作 BGAC 交O 于点 E、H， 连 AD、ED、EC，若 BD8，DC6，则 CE 的长为 . H O G E D C B A 解：AC 为O 的直径， ADC90， BGAC， BGCADC90， BCGACD， ADCBGC， DG CG AC BC ， CGACDCBC61484， 连接 AE， A B C D E G O
4、 H AC 为O 的直径， AEC90， AECEGC90， ACEECG， CEGCAE， CG CE CE AC ， CE2CGAC84， CE221. 例例题题 4、如图，已知O 的半径为 2，AB 为直径，CD 为弦，AB 与 CD 交于点 M，将弧 CD 沿着 CD 翻折 后，点 A 与圆心 O 重合，延长 OA 至 P，使 APOA，连接 PC. （1）求证：PC 是O 的切线； （2）点 G 为弧 ADB 的中点，在 PC 延长线上有一动点 Q，连接 QG 交 AB 于点 E，交弧 BC 于点 F（F 与 B、C 不重合） 。问 GEGF 是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是
5、，请说明理由. O P Q G F E D C B A （1）证明：PAOA2，AMOM1，CM 1 2 CD3，CMPOMC90， PC 22 MCPM+ () 2 2 33+23. OC2，PO224， PC2OC2（23）22216PO2， PCO90， PC 是O 的切线； （2）解：GEGF 是定值，证明如下， 连接 GO 并延长，交O 于点 H，连接 HF， O H A B C D E F G Q P 点 G 为ADB的中点 GOE90， HFG90，且OGEFGH， OGEFGH， OG GF GE GH ， GEGFOGGH248 例题例题 5、二次函数 yax22axc 的图
6、象与 x 轴分别交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C，顶点为 P，以 AB 为直径的圆经过点 C，问直线 CP 与该圆的位置关系并说明理由. 答案：设 A（x1，0） ，B（x2，0） ，AB 的中点为 M（即为圆心） 则有 x1x22，x1x2 c a ,P（1，c） ，C（0，c） ， 由 MAMBMC 1 2 ABac1， 设圆的半径为 R， 则 R2 1 4 AB2 1 4 (x1x2)24x1x21 c a 1 2 1 a ， 易求直线 CP：yaxc，即 axyc0，设圆心 M 到直线 CP 的距离为 d， 则 d2( ) 2 2 1 ac a -
7、 + 22 2 2 1 acac a +- + 22 2 2 1 ac a + + 1 2 2 1 1 c a + + 1 2 1 a . d2r2,dr，又 C 在圆上，故相切. 例题例题 6、如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y 1 4 （xm）2 1 4 m2m 的顶点为 A，与 y 轴的交点 为 B，连结 AB，ACAB，交 y 轴于点 C，延长 CA 到点 D，使 ADAC，连结 BD.作 AEx 轴，DEy 轴. （1）当 m2 时，则点 B 的坐标为 ； （2）DE 的长是否为定值，若是，请求出该值；若不是，请说明理由. x y E D C B A O 解：（1）当 m2 时，y 1 4 （x2）21， 把 x0 代入 y 1 4 （x2）21，得：y2， 点 B 的坐标为（0，2）. （2）延长 EA，交 y 轴于点 F， ADAC，AFCAED90，CAFDAE， AFCAED， AFAE， 点 A（m， 1 4 m2m），点 B（0，m）， AFAE|m|，BFm（ 1 4 m2m） 1 4 m2， ABF90BAFDAE，AFBDEA90， ABFDAE， BF AF AE DE ，即： 2 1 4 m m m DE ， DE4 注：本节内容本身是没有配巩固练习的，是完整的一节内容。
