1、第第 1414 讲讲 四边形与面积四边形与面积 模拟讲解模拟讲解 A D G F E CB AD GF ECB GF EB AD C O B AD C B A D C B AD C P D CB A AD BC D CB A SABC=S ADE SBDF= 1 2 S正方形ABCDSAGE= 1 2 S正方形CEFG S= 1 2 SBDC= 1 4 S正方形ABCD S四边形ABCD= 1 2 ACBDS1=S2 SADP+SBPC=S ABPSDPC= 1 2 SABCDS1+S3=S2+S4= 1 2 SABCDS1+S3=S2= 1 2 SABCD S S1 S2 S1 S2 S3
2、S4S3 S2 S1 【例题讲解】【例题讲解】 例题例题 1、如图，平行四边形 ABCD 中，点 E、F 分别在 AD、AB 上，依次连接 EB、EC、FC、 FD，图中阴影部分的面积分别为 S1、S2、S3、S4，已知 S1=2、S2=12、S3=3，则 S4的值是（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 S4 S3 S2 S1 【解析】 可知 SBEC=SDFC= 1 2 S平行四边形ABCDSAFD+SBFC= 1 2 S平行四边形=SEBCS3+S4+S1+=+S2+ S4=S2-S1-S3=12-2-3=7 故选 D S4 S3 S2 S1 【巩固练习】【巩固练习】 1、已知ABC，面
3、积为 12，点 D 在边 BC 上，满足 CD:BD=1：2，点 E 为 AC 的中点，连接 BE、AD 相交于点 P，设APE 的面积为 S1，BPD 的面积为 S，求 S2-S1= . E S2 S1 P DCB A 2、如图，RtABC 中，C=90 ，AC=12，BC=5，分别以 AB、AC、BC 为边在 AB 的同侧作 正方形 ABDE、ACFG、BCIH，四块阴影部分的面积分别为 S1、S2、S3、S4，则 S1+S2+S3+S4等 于（） A.60 B.90 C.144 D.169 S4 S3 S2 S1 I H G F ED C BA 例题例题 2、如图，在面积为 24 的平行
4、四边形 ABCD 中，E、F 分别是边 AD、BC 的中点，点 G、 H 在 DC 边上，连接 FH、EG，且 GH= 1 2 DC.则图中阴影部分面积为 . H G F ED CB A 【解析】如右图，连接 EF、EH、GF，则四边形 EFCD 为平行四边形，且 SEFCD=12 由题意得， 1 2 HOGOHG OFOEEF ,设HOG 的底 HG=a，高为 h，则OEF 的底 EF 为 2a，高为 2h，平 行四边形 DEFC 的底 EF 为 2a，高为 3h，则 2a 3h=12，即 ah=2 A BC DE F G H 所以 SHOG= 1 2 ah=1，SOEF= 1 2 2a 2
5、h=4，所以 S阴影=SEFCD-SHOG-SEOF=12-1-4=7 例题例题 3、如图，已知四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，E 是 AB 的中点，F 是 BC 的中点，AF 与 DE 相交于 G，BD 和 AF 相交于 H，那么四边形 BEGH 的面积是 . H G F E D CB A 【解析】 BC/AD，BFHDAH，且相似比为 1：2，SADH= 1 2 24 3 = 4 3 ，SFBH= 1 2 22 3 = 1 3 ， 易证ABFDAE， BAF=ADF， BAF+AEG=90 AEG=90 ， AEGEDA EGAE AGAD ， AGAE ADDE ，解得 AG=
6、 2 5 5 ，EG= 5 5 ，SAEG= 1 5 ， S四边形BEGH=2- 1 5 - 4 3 = 7 15 【巩固练习】【巩固练习】 1、如图，边长为 1 的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点 A 顺时针旋 转 45 ，则这两个正方形重叠部分的面积是 第1题 第2题 第3题 O Q P N MD CB A F E D CB A C D AB CD 2、如图，正方形 ABCD 的边长为 2，E、F 分别是 BC、CD 的中点，连接 BF、DE，则图中阴 影部分的面积为 3、 如图， 在矩形 ABCD 中， M、 N 分别是边 AD、 BC 的中点， 点 P、 Q 在 D
7、C 边上， 且 PQ= 1 4 DC. 若 AB=16，BC=20，则图中阴影部分的面积是 4、如图，在 RtABC 中，A=90 ，AB=3，AC=4，以斜边 BC 上的点 P 为中心，把这个三角 形按逆时针方向旋转 90 成图中的DEF 位置，当 BP=3 时，求旋转前后两个直角三角形重叠 部分的面积是 第4题 第5题 H G F E D CB A S R QP F E D CB A 5、 如图， E、 F、 G、 H分别为正方形ABCD的边AB、 BC、 CD、 DA上的点， 且AE=BF=CG=DH= 1 3 AB， 则图中阴影部分的面积与正方形 ABCD 的面积之比为 例题例题 4、
8、如图，以ABC 的两条边 AB、AC 为一边向上作正方形 ABED 和正方形 ACGF，连接 FD。 （1）求证：SABC=SAFD. （2）过点 A 作 ANBC，反向延长 NA 交 DF 于点 M，求证：DM=MF. (1) (2) N M G F E D CB A G F E D CB A 【解析】 （1）如图 3，过点 F 作 FPAD，点 C 作 CQAB，FPA=AQC=90 四边形 ACGF 为正方形，AC=AF，FAC=90 PAF+QAF=QAC+QAF=90 PAF=QACQACPAF （AAS） QC=PF SADF= 1 2 AD PF，SABC= 1 2 AB CQ
9、AD=AB，SADF=SABC QP A BC D E F G (3) （2）如图 4，过点 D 和点 F 作 NM 垂线，垂足分别为点 H 和点 K，利用三次全等，先证 DHABNA，得 GH=NA，再证FKACNA，得 FK=NA，所以 GH=FK，最后再证 DHMFKM，所以 DM=MF K H A BC D E F G M N (4) 【巩固练习】【巩固练习】 1、如图，A 在线段 BG 上，ABCD 和 DEFG 都是正方形，面积分别为 7 和 11，则CDE 的面 积等于 . 第1题 第2题 L K J IH G F E D CB A G F E D C BA 2、 以ABCD 的
10、四条边为边， 在其形外分别作正方形， 如图， 连结 EF、 GH、 IJ、 KL.若ABCD 的面积为 5，则图中阴影部分四个三角形的面积和为 . 例题例题 5、 如图， 四边形的两条对角线 AC、 BD 所成的锐角为 45 ， 当 AC+BD=18 时， 四边形 ABCD 的面积最大值是 . D C B A 【分析】以前我们做的都是求对角线成直角的四边形面积，面积公式为对角线乘积的一半，那 么我们回忆一下，你知道公式是怎么推倒出来的吗？当角度为 45 时，是否可以用同样的方法 去解决呢？ 【解答】如图，过点 B 作 BFAC，过点 D 作 DEAC，过点 D 作 DGBG，交 BF 延长线于
11、 点 G. S四边形ABCD=SACB+SACD S四边形ABCD= 1 2 AC BF+ 1 2 AC DE= 1 2 AC (BF+DE)= 1 2 AC BG 根据题意，易得 BG= 2 2 BD G F E A B C D 【巩固练习】【巩固练习】 1、 如图， 四边形的两条对角线 AC、 BD 所成的角为 ， AC+BD=10， 当 AC、 BD 的长等于 时， 则四边形 ABCD 的面积最大是 . D C B A 2、已知四边形 ABCD 中，AD+BD+BC=16，则四边形 ABCD 的面积最大值是（ ） A.16 B.32 C. 16 3 D. 256 9 【巩固练习】【巩固练
12、习】 1、 如图， 在一个平行四边形中， 两对平行于边的直线将这个平行四边形分为九个小平行四边形， 如果原来这个平行四边形的面积为 100cm2，而中间那个小平行四边形（阴影部分）的面积为 20 平方厘米，则四边形 ABDC 的面积是（ ） A.40 cm2 B.60 cm2 C.70 cm2 D.80 cm2 第1题 第2题 P D C B A D C B A 2、如图，已知点 P 为平行四边形 ABCD 内任意一点，PAB 的面积为 3，PBC 的面积为 7， 则PBD 的面积为 。 3、如图，在ABCD 中，AB=3，AD=4，ABC=60 ，过 BC 的中点 E 作 EFAB，垂足为点
13、 F，与 DC 的延长线相交于点 H，则DEF 的面积是 . P H G F E D CB A O2 O1 GF E D C BA H F E DC B A 第3题 第4题 第5题 4、如图，边长为 6 的正方形 ABCD 和边长为 8 的正方形 BEFG 排放在一起，O1和 O2分别是两 个正方形的对称中心，则阴影部分的面积为 . 5、如图，在矩形 ABCD 中，AD=6，AB=4，点 E、G、H、F 分别在 AB、BC、CD、AD 上，且 AF=CG=2，BE=DH=1，点 P 是直线 EF、GH 之间任意一点，连结 PE、PF、PG、PH，则PEF 和PGH 的面积和等于 . 6、如图，
14、矩形 ABCD 长为 a，宽为 b，若 S1=S= 1 2 (S3+S4)，则 S4= （用含 a、b 字母 的代数表示） 第6题 第7题 F E DC BA S4 S3 S2 S1 D CB A 7、 如图， 设 F 为正方形 ABCD 的边 AD 上一点， CECF， 交 AB 的延长线于 E， 若正方形 ABCD 的面积为 64，CEF 的面积为 50，则CBE 的面积为 。 8、如图，已知矩形 ABCD，AB=6，BC=8，E、F 分别是 AB、BC 的中点，AF 与 DE 相交于 I， 与 BD 相交于 H，则四边形 BEIH 的面积为 。 H I E D CB A 9、如图，在直角
15、坐标系中，矩形 OABC 的顶点 A、B 在双曲线 y= k x （x0）上，BC 与 x 轴交 于点 D.若点 A 的坐标为（1，2），则四边形 OABD 的面积为 . 第9题 第10题 S2S1 A y xO y x OD C B A 10、如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在 函数 y=x 的图象上，从左向右第 3 个正方形中的一个顶点 A 的坐标为（8，4），阴影三角形部 分的面积从左向右依次记为 S1、S2、S3、Sn，则 Sn的值为 .（用含 n 的代数式表示， n 为正整数） 11、如图，四边形 ABCD 中，E、F、G、H 依次是各边中
16、点，O 是形内一点，若四边形 AEOH、 四边形 BFOE、四边形 CGOF、四边形 DHOG 的面积分别为 S1、S2、S3、S4，求证：S1+S2=S3+S4. H G F E D C BA 12、已知平行四边形 ABCD，点 F 为线段 BC 上一点（端点 B、C 除外），连接 AF、AC，连接 DF，并延长 DF 交 AB 的延长线于点 E，连接 CE. （1）当 F 为 BC 的中点时，求证EFC 与ABF 的面积相等； （2）当 F 为 BC 上任意一点时，EFC 与ABF 的面积还相等吗？说明理由. F E D C B A 13、如图，正方形 ABCD 被两条与边平行的线段 EF
17、、GH 分割成 4 个小矩形，P 是 EF 与 GH 的交点，若矩形 PFCH 的面积恰是矩形 AGPE 面积的 2 倍，试确定HAF 的大小，并证明你的 结论. P HG F ED CB A 14、如图 1，小红将一张直角梯形纸片沿虚线剪开，得到矩形和三角形两张纸片，测得 AB=15， AD=12，在进行如下操作时遇到了下面的几个问题，请你帮助解决。 （1）将EFG 的顶点 G 移到矩形的顶点 B 处，再将三角形绕点 B 顺时针旋转使 E 点落在 CD 边上，此时，EF 恰好经过点 A（如图 2）求 FB 的长度； （2）在（1）的条件下，小红想用EFG 包裹矩形 ABCD，她想了两种包裹的
18、方法如图 3、图 4，请问哪种包裹纸片的方法使得未包裹住的面积大？（纸片厚度忽略不计）请你通过计算说服 小红. 图 2 图 3 图 4 图 1 F E D C(G)B A F D CB(G) A(E) F E D CB(G) A GF ED CB A 参考答案 1.答案：4 2.答案：90 参考答案 1. 答案：2 2 2. 答案： 8 3 3. 答案：92 4. 答案：1.44 5. 答案：2：5 参考答案 1. 答案：7 2. 答案：10 参考答案 1. 答案：5， 25 2 2. 答案：B 参考答案 1. 答案：B 2. 答案：4 3. 答案：2 3 4. 答案：12 5. 答案：7 6
19、. 答案： 3 8 ab 7. 答案：24 8. 答案： 28 5 9. 答案： 75 16 10. 答案： 45 2 n 11. 答案：连接 OC，OB，OA，OD，E、F. G、H 依次是各边中点，AOE 和BOE 等底 等高,所以 SOAE=SOBE，同理可证,SOBF=SOCF,SODG=SOCG,SODH=SOAH，S四边形AEOH+S 四边形CGOF=S四边形DHOG+S四边形BFOE，：S1+S2=S3+S4 12. 答案：(1)证明：点 F 为 BC 的中点，BF=CF= 1 2 BC= 2 a ，又BFAD，BE=AB=b， A,E 两点到 BC 的距离相等,都为 bsin,
20、则 SABF= 1 2 2 a bsin= 1 4 absin， SEFC= 2 1 2 absin= 1 4 absin，SABF=SEFC; (2)法一： 当 F 为 BC 上任意一点时， 设 BF=x， 则 FC=ax， 四边形 ABCD 是平行四边形， BF： AD=BE：(BE+AB),x:a=BE(BE+b)，BE= bx ax x,在EFC 中,FC 边上的高 h1=BEsin， h1=bx:sin:(ax)， SEFC=12FCh1= 1 2 (ax)bxsinax= 1 2 bxsin,又在ABF 中,BF 边上的高 h2=bsin，SABF=12bxsin，SABF=SEF
21、C; 法二：ABCD 为平行四边形，SABC=SCDE= 1 2 absin，又SAFC=SCDF， SABCSAFC=SCDESCDF，即 SABF=SEFC 13. 答案：如图，连结 FH，延长 CB 到 M，使 BM=DH，连结 AM，RtABMRtADH， AM=AH，MAB=HAD，MAH=MAB+BAH=BAH+HAD=90，如图，设正 方形 ABCD 边长为 a，AG=m，GP=n，则 FC=an，CH=am，矩形 PFCH 的面积恰好是 矩形 AGPE 面积的 2 倍，a2(m+n)a+mn=2mn，在 RtFCH 中,FH2=(an) 2+(am) 2， 联立,得 FH2=M
22、F2=(m+n) 2，FH=MF.AF=AF,AH=AM,AMFHAF， HAF=MAF=45. M A BC DE F GH P 14. 答案： (1)BE=AB=15， 在直角BCE 中, CE= =9DE=6， EAD+BAE=90， BAE=BEF， EAD+BEF=90，BEF+F=90， EAD=FADE=FBEADEFBE， AD：BF=DE：BE，12：BF=6： 15，BF=30； (2)如图 1，将矩形 ABCD 和直角FBE 以 CD 为轴翻折，则AMH 即为未包裹住的 面积，RtFHNRtFEG，FN：FG=HN：EG,即 6：30=HN：15, 解得：HN=3，SAMH= 1 2 AMMH= 1 2 12 24=144； 如图 2，将矩形 ABCD 和 RtECF 以 AD 为轴翻折，RtGBERtGBC，GB： GB=EB：BC,即（30GB）：GB=3：12,解得：GB=24， SBCG= 1 2 BCBG= 1 2 12 24=144， 按照两种包裹方法的未包裹面积相等。
