1、第第 6 6 讲讲 巧用旋转解题巧用旋转解题 【例题讲解】【例题讲解】 一、当条件中出现一、当条件中出现“邻边相等对角互补半角邻边相等对角互补半角” 例题例题 1、 如图， 将 RtABC 沿斜边 AC 翻折得到 RtADC， E、 F 分别是 BC、 CD 边上的点， EAF 1 2 BAD， 连结 EF，试猜想 BE、EF、DF 三条线段之间的数量关系，并证明你的结论. F E D CB A 【解析】如图，延长 CB 到 Q，使 BQDF，连接 AQ， Q A BC D E F ABC 与ADC 关于 AC 对称， ABCADC，ABAD，ABCD. ABC90，ABQD90. 易证ADF
2、ABQ（SAS） ， AQAF，QABDAF， EAF 1 2 BAD，DAFBAEEAF，BAQBAEEAF， 即EAQEAF， 易证EAQEAF（SAS） ， EFEQBEBQBEDF. 二、当条件中出现二、当条件中出现“邻边相等半角邻边相等半角” 例题例题 2、如图，等边ABC 中，点 P，Q 在边 BC 上，且PAQ30.若 BP2，QC3，则ABC 的边 长为 . A BCPQ 【解析解析】将ABP 绕点 A 逆时针旋转 60，得到ACP ，连接 QP， P DQPCB A 易证AQPAQP ， PCD60， 过 PD 作 PDBC，交 BC 延长线于点 D， 在 RtPCD 中，可
3、得 CD1，PD2， 在 RtPQD 中，可计算出 QP19， PQ19，边长为 519. 三、当条件中出现三、当条件中出现“邻边相等对角互补邻边相等对角互补” 例题例题 3、如图，在O 的内接四边形 ABCD 中，AB3，AD5，BAD60，点 C 为弧 BD 的中点，则 AC 的长是 . O D C B A 【解析解析】由点 C 为弧 BD 中点，可得 BCCD，BACCAD，即出现“邻边相等”，所以将ABC 绕 点 C 旋转至 BC 与 CD 重合，如图可得ACE 为等腰三角形，顶角ACEBCD120，底边长 AE ADDEADAB358，所以在底角为 30的等腰ACE 中即可求出 AC
4、 8 3 3 . 四、仅有四、仅有“邻边相等邻边相等” 例题例题 4、如图，在等边ABC 中有一点 P，PA23，PB4，PC27. （1）求APB 的度数； （2）求ABP 的面积； （3）求APC 的面积； （4）求ABC 的面积. C P B A 【解析解析】 （1）如图，ABC 为等边三角形， ABAC，BAC60； 将ABP 绕点 A 逆时针旋转 60，到ACQ 的位置，连接 PQ； Q A B P C 则 AQAP23，CQBP4； PAQ60， APQ 为等边三角形， PQPA23，AQP60； 在PQC 中，满足 PC2PQ2CQ2， PQC90，AQC150， APBAQC1
5、50， 故答案为 150. （2）由（1）可知APB150，如图，延长 BP，过点 A 作 ADBD，交 BP 延长线于点 D. D C P B A Q APD30，AD 1 2 AP3， SAPB 1 2 BPAD 1 2 4323. （3）可知 SABPSAPCS四边形APCQ. S四边形APCQSAPQSPQC， SABPSAPCSAPQSPQC， 23SAPC 3 4 （23）2 1 2 42373. SAPC53， （4）在 RtABD 中，AD3，BD437， AB () 2 2 37+213. 由等边三角形面积公式可得 SABC 3 4 （213）2133. 【巩固练习巩固练习】
6、 1、如图ABC 是边长为 3 的等边三角形，BDC 是等腰三角形，BDCD，BDC120，以 D 为顶点 作一个 60角，使其角的两边分别交 AB、AC 边于 M、N，连接 MN，则AMN 的周长为 . N M D CB A 2、如图，在四边形 ABCD 中，ABCADC180，ABAD，AEBC 于点 E.若 AE18，BC10， CD6，则四边形 ABCD 的面积为 . C E D B A 3、已知点 P 为等边ABC 内一点，APB112，APC122，若以 AP、BP、CP 为边长可以构成 一个三角形，那么所构成三角形的各内角的度数是 . A BC P 4、 如图， P 为正方形 A
7、BCD 内一点， 且 PC3， APB135， 将APB 绕点 B 顺时针旋转 90得到CP B，连接 PP.若 BP 的长为整数，则 AP . P P D C B A 5、如图，E 是正方形 ABCD 内一点，E 到点 A、D、B 的距离 EA、ED、EB 分别为 1、32、25，延长 AE 交 CD 于点 F，则四边形 BCFE 的面积为 . A BC D E F 6、如图，在菱形 ABCD 中，A60，点 E、F 分别是 AB、AD 上任意的点（不与端点重合） ，且 AE DF，连接 BF 与 DE 相交于点 G，连接 CG 与 BD 相交于点 H.给出如下几个结论：AEDDFB；S 四
8、边形BCDG 3 2 CG2；若 AF2DF，则 BG6GF；CG 与 BD 一定不垂直；BGE 的大小为定值.其中 正确的结论是 . H G F E D C B A 7、五边形 ABCDE 中，ABAE，BCDECD，ABCAED180，求证：AD 平分CDE. E DC B A 8.如图，AB 为O 的直径，点 C 在O 上，连接 AC 和 BC，ACB 的平分线交O 于点 D，求证：AC BC2CD. O D C B A 9、正方形 ABCD 的四个顶点都在O 上，E 是O 上的一点. （1）如图 1，若点 E 在弧 AB 上，F 是 DE 上的一点，DFBE.求证：ADFABE； （2
9、）在（1）的条件下，小明还发现线段 DE、BE、AE 之间满足等量关系：DEBE2AE. 请你说明理由； （3）如图 2，若点 E 在弧 AD 上.写出线段 DE、BE、AE 之间的等量关系.（不必证明）. A BC D E O 图2 图1 F E D CB A 10、问题背景：问题背景： 如图 1：在四边形 ABCD 中，ABAD，BAD120，BADC90.E，F 分别是 BC，CD 上的 点.且EAF60.探究图中线段 BE，EF，FD 之间的数量关系. 小王同学探究此问题的方法是，延长 FD 到点 G.使 DGBE.连结 AG，先证明ABEADG，再证明 AEFAGF，可得出结论，他的
10、结论应是 ； 探索延伸：探索延伸： 如图 2，若在四边形 ABCD 中，ABAD，BD180.E，F 分别是 BC，CD 上的点，且EAF 1 2 BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 实际应用：实际应用： 如图 3， 在某次军事演习中， 舰艇甲在指挥中心 （O 处） 北偏西 30的 A 处， 舰艇乙在指挥中心南偏东 70 的 B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以 60 海里/小时的速度 前进，舰艇乙沿北偏东 50的方向以 80 海里/小时的速度前进 1.5 小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇 分别到达 E，F 处，且两舰艇之间的夹角为 70，试求此
11、时两舰艇之间的距离. N E F A B 图3 A BC D E F 图2 图1 G F E D CB A 11、如图，己知直线 l1l2，一个 45角的顶点 A 在 l1上，过 A 作 ADl2，垂足为 D，AD6.将这个角 绕顶点 A 旋转（角的两边足够长）. （1）如下图，旋转过程中，若角的两边与 l2分别交于 B、C，且 ABAC，求 BD 的长.为了解决这个问题， 下面提供一种解题思路：如图，作DAP45，AP 与 l2相交于点 P，过点 C 作 CQAP 于点 Q.DAP BAC45，BADCAQ，请你接下去完成解答. （2）旋转过程中，若角的两边与 l2，分别交于 E、F（E 在
12、 F 左面） ，且 AEAF，DF2，求 DE 的长. 请你借鉴（1）的做法在备用图中画图并解答这个问题. 备用图 A l1 l2 l2 l1 P Q DC B A 参考答案参考答案 1.解：BDC 是等腰三角形，且BDC120 BCDDBC30 ABC 是边长为 3 的等边三角形 ABCBACBCA60 DBADCA90 延长 AB 至 F，使 BFCN，连接 DF， F A B C D M N 在 RtBDF 和 RtCND 中，BFCN，DBDC BDFCDN， BDFCDN，DFDN MDN60 BDMCDN60 BDMBDF60，FDM60MDN，DM 为公共边 DMNDMF， MN
13、MF AMN 的周长是：AMANMNAMMBBFANABAC6 2.解：如图，过点 A 作 AFCD 交 CD 的延长线于 F，连接 AC， F A B D E C 则ADFADC180， ABCADC180， ABCADF， 易证ABEADF（AAS）， AFAE19， S四边形ABCDS ABC SACD 1 2 BCAE 1 2 CDAF 1 2 1019 1 2 6199557152. 故答案为：152 3.解：如图，将APC 绕点 A 顺时针旋转 60得到ABE，连接 PE P E CB A AEAP，EAPBAC60， EAP 是等边三角形，EABPAC， AEPAPE60，PAP
14、E， 易证EAPPAC， EBPC， PA、PB、PC 组成的三角形就是PEB， APB112，APE60， EPB52， AEBAPC122，AEP62， PEB66， EBP180BEPEPB66 故答案为 52、62、66 4.解：BPC 是由BPA 旋转得到， APBCPB135，ABPCBP，BPBP，APCP， ABPPBC90， CBPPBC90，即PBP90， BPP是等腰直角三角形， BPP45， APBCPB135， PPC90， 设 BPBPa，APCPb， 则 PP2a， 在 RtPPC 中，PP2PC2PC2，且 PC3， CP 22 PCPP - 2 92a-， B
15、P 的长 a 为整数， 满足上式的 a 为 1 或 2， 当 a1 时，APCP7， 当 a2 时，APCP1， 故答案为：7或 1. 5.解：如图，将ADE 绕点 A 顺时针旋转 90得到ABM，作 DNAF 垂足为 N， N M F E D CB A AMAE1，MAE90， ME 22 AMAE+ 22 11+2， BM2ME2（32）2（2）220，BE2（25）220， BM2ME2BE2， BME90，AMEAEM45， AMBAED135 在 RTDEN 中，DE32，DEN45， DNEN3，AN4， AD 22 ANDN+ 22 345， DANDAF，ANDADF90， A
16、DNAFD， AD AF AN AD ， 5 AF 4 5 ， AF 25 4 ，NF 9 4 ， S ABE S ADE SABMS ABE SAMESBME 1 2 11 1 2 232 7 4 ， S EDF 1 2 （3 9 4 ）3 63 8 ， S四边形BCFES正方形ABCD（S ABE S AED ）S EFD 25 7 2 63 8 109 8 . 故答案为 109 8 . 6.解：ABCD 为菱形，ABAD， ABBD，ABD 为等边三角形， ABDF60， 又AEDF，ADBD， AEDDFB，故本选项正确； BGEBDGDBFBDGGDF60BCD， 即BGDBCD18
17、0， 点 B、C、D、G 四点共圆， BGCBDC60，DGCDBC60， BGCDGC60， 过点 C 作 CMGB 于 M，CNGD 于 N（如图 1）， 图1 N M A B C D E F G H 则CBMCDN（AAS）， S四边形BCDGS四边形CMGN S四边形CMGN2SCMG， CGM60， GM 1 2 CG，CM 3 2 CG， S四边形CMGN2SCMG2 1 2 1 2 CG 3 2 CG 3 4 CG2，故本选项错误； 过点 F 作 FPAE 交 DE 于 P 点（如图 2）， 图2 P A B C D E F G H AF2FD， FP：AEDF：DA1：3， A
18、EDF，ABAD， BE2AE， FP：BEFP：2AE1：6， FPAE， PFBE， FG：BGFP：BE1：6， 即 BG6GF，故本选项正确， 当点 E，F 分别是 AB，AD 中点时（如图 3）， 图3 A B C D E F G H 由（1）知，ABD，BDC 为等边三角形， 点 E， F 分别是 AB，AD 中点， BDEDBG30， DGBG， 易证GDCBGC， DCGBCG， CHBD，即 CGBD，故本选项错误； BGEBDGDBFBDGGDF60，为定值， 故本选项正确； 综上所述，正确的结论有，共 3 个， 故选：B 证明：如图，连接 AC，将ABC 绕 A 点旋转
19、120到AEF， F A B CD E ABAE，BAE120， AB 与 AE 重合，并且 ACAF， 又ABCAED180， 而ABCAEF， AEFAED180， D，E，F 在一条直线上， 而 BCEF，BCDECD， CDDF， 又ACAF， ACDAFD， ADCADF， 即 AD 平分CDE 8.证明：过点 D 作 DFCA，垂足 F 在 CA 的延长线上，作 DGCB 于点 G，连接 DA，DB G F A B C D O CD 平分ACB， ACDBCD， DFDG，ADBD， DADB. AFDBGD90， 易证 RtAFDRtBGD（HL）， AFBG， 同理：RtCDF
20、RtCDG（HL）， CFCG。 ACBCCFAFAGBGCFCG2CF， AB 是直径， ACB90， ACD45， CDF 是等腰直角三角形， CF 2 2 CD， ACBC2CF2CD； 9.答案：（1）证明：在正方形 ABCD 中，ABAD， 1 和2 都对AE， 12， 易证ADFABE（SAS）； （2）由（1）有ADFABE， AFAE，34. 在正方形 ABCD 中，BAD90. BAF390. BAF490. EAF90. EAF 是等腰直角三角形. EF2AE2AF2. EF22AE2. EF2AE. 即 DEDF2AE. DEBE2AE. （3）BEDE2AE理由如下：
21、在 BE 上取点 F，使 BFDE，连接 AF. F 图2 O E D CB A 易证ADEABF， AFAE，DAEBAF. 在正方形 ABCD 中，BAD90. BAFDAF90. DAEDAF90. EAF90. EAF 是等腰直角三角形 EF2AE2AF2. EF22AE2. EF2AE. 即 BEBF2AE. BEDE2AE. 10.答案： 问题背景：问题背景：EF=BE+FD. 探索眼神：成立，提示，在 CD 的延长线上截取 DG=BE，如图， G 图2 F E D CB A 先证明ABEADG，再证明AEFAGF，可得出结论. 实际应用：实际应用：连接 EF，延长 AE、BF 交
22、于点 C， O 图3 B A F E N AOB=30+90+（90-70）=140，EOF=70， EOF= 1 2 AOB， OA=OB， OAC+OBC=（90-30）+（70+50）=180， 符合探索延伸中的条件 结论 EF=AE+BF 成立， 即 EF=1.5（60+80）=210 海里， 答：此时两舰艇之间的距离是 210 海里 11.解： （1）ADl2，CQAP， ADBAQC90， 又ABAC， 易证ABDACQ（AAS） ， BDCQ，AQAD6， DAPBAC45， ADP、CQP 是等腰直角三角形， AP62， QP626， BDCQQP626. （2）如图 1： 作
23、DAP45，AP 与 l2相交于点 P，过点 F 作 FQAP 于点 Q. 图1 A B FD Q P l1 l2 DAPEAF45， EADFAQ， ADl2，FQAP， ADEAQF90， AEDAFQ， DE FQ AD AQ ADP、FQP 是等腰直角三角形， DPAD6，AP62， DF2， FPDPDF4， FQQP22， AQ622242， 2 2 DE 6 4 2 ， DE3. 如图 2： 作DAP45，AP 与 l2相交于点 P，过点 F 作 FQAP 于点 Q 图2 l2 l1 P Q D FE A DAPEAF45， EADFAQ， ADl2，FQAP， ADEAQF90 AEDAFQ， DE FQ AD AQ . ADP、FQP 是等腰直角三角形， DPAD6，AP62， DF2， FPDPDF8， FQQP42， AQ624222， 4 2 DE 6 2 2 ， DE12
