1、高中数学考点12 三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式1了解角、角度制与弧度制的概念，掌握弧度与角度的换算.2理解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义.3理解同角三角函数的基本关系，掌握正弦、余弦、正切的诱导公式.一、角的有关概念1定义角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形2分类（1）按旋转方向不同分为正角、负角、零角（2）按终边位置不同分为象限角和轴线角（3）终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合3象限角与轴线角第一象限角的集合为；第二象限角的集合为；第三象限角的集合为；第四象限角的集合为终边与轴非负半轴重合的角的集合为；终
2、边与轴非正半轴重合的角的集合为；终边与轴重合的角的集合为；终边与轴非负半轴重合的角的集合为；终边与轴非正半轴重合的角的集合为；终边与轴重合的角的集合为；终边与坐标轴重合的角的集合为二、弧度制11弧度的角把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角规定：是以角作为圆心角时所对圆弧的长，为半径正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零2弧度制用“弧度”做单位来度量角的单位制叫做弧度制比值与所取的的大小无关，仅与角的大小有关3弧度与角度的换算4弧长公式，其中的单位是弧度，与的单位要统一.角度制下的弧长公式为：（其中为扇形圆心角的角度数）.5扇形的面积公式. 角度制下的扇形面积公式为：
3、（其中为扇形圆心角的角度数）.三、任意角的三角函数 1定义设是一个任意角，它的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，点是角的终边上任意一点，到原点的距离，那么角的正弦、余弦、正切分别是 注意：正切函数的定义域是，正弦函数和余弦函数的定义域都是. 2三角函数值在各象限内的符号三角函数值在各象限内的符号口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦3三角函数线设角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点，过作垂直于轴于由三角函数的定义知，点的坐标为，即，其中单位圆与轴的正半轴交于点，单位圆在点的切线与的终边或其反向延长线相交于点，则我们把有向线段分别叫做的余弦线、正弦线、正切线各象限内的
4、三角函数线如下：角所在的象限第一象限第二象限第三象限第四象限图形4特殊角的三角函数值0 0100100101不存在0不存在0补充：四、同角三角函数的基本关系式1平方关系2商的关系3同角三角函数基本关系式的变形（1）平方关系的变形：；（2）商的关系的变形：；（3）五、三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2k+（kZ）+正弦sin sinsinsincoscos余弦cos cos cos cos sinsin 正切tan tantantan口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限考向一 三角函数的定义1利用三角函数的定义求角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标
5、x、纵坐标y、该点到原点的距离r.若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)2利用三角函数线解三角不等式的步骤：确定区域的边界；确定区域；写出解集3已知角的终边所在的直线方程或角的大小，根据三角函数的定义可求角终边上某特定点的坐标4三角函数值的符号及角的位置的判断已知一角的三角函数值(，)中任意两个的符号，可分别确定出角的终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置注意终边在坐标轴上的特殊情况.典例1 已知角的终边上有一点P（，m），且m，求与的值.【解析】由已知有，得m=0，或.当m=0时，； 当时，；当时，.【名师点睛】任意角的三角函数值仅与
6、角的终边位置有关，而与角终边上点P的位置无关若角已经给出，则无论点P选择在终边上的什么位置，角的三角函数值都是确定的1已知角的终边上一点的坐标为，则的值为ABCD2已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点P(-1,-2)，则tan2等于A BC D考向二 象限角和终边相同的角的判断及表示方法1已知所在的象限，求或n（nN*）所在的象限的方法是：将的范围用不等式（含有k）表示，然后两边同除以n或乘以n，再对k进行讨论，得到或n（nN*）所在的象限2象限角的判定有两种方法：一是根据图象，其依据是终边相同的角的思想；二是先将此角化为k360（00,0，所以是第二象限的角，所以.由
7、知,所以,故角是第四象限的角.【名师点睛】角与所在象限的对应关系：若角是第一象限角，则是第一象限角或第三象限角；若角是第二象限角，则是第一象限角或第三象限角；若角是第三象限角，则是第二象限角或第四象限角；若角是第四象限角，则是第二象限角或第四象限角3若角是第二象限角，则是A第一象限角 B第二象限角C第一或第三象限角 D第二或第四象限角考向三 同角三角函数基本关系式的应用1利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化2的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于的齐次式，或含有及的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“”代换后转化为“切”后求解.典例3 已知0，sin(-)+c
8、os(+)=m.（1）当m=1时，求的值；（2）当m=55时，求tan的值.【解析】（1）由已知得sin-cos=1，1-2sincos=1，sincos=0，又0，cos=0，=2.（2）当时，.方法1：，.由可得，.方法2：，或，又，.4已知，且，则ABCD5若，则等于ABC3D7考向四 诱导公式的应用1应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，具体步骤为“负角化正角”“正角化锐角”求值2使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象限的符号，特别是在具体题目中出现类似的形式时，需要对k的取值进行分类讨论，从而
9、确定出三角函数值的正负3利用诱导公式化简三角函数式的思路：（1）分析结构特点，选择恰当公式；（2）利用公式化成单角三角函数；（3）整理得最简形式利用诱导公式化简三角函数式的要求：（1）化简过程是恒等变形；（2）结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值4巧用相关角的关系能简化解题的过程常见的互余关系有与，与，与等；常见的互补关系有与，与等.典例4 已知,且，则A BC D【答案】A【解析】，.，则.，.故选A典例5 （1）化简：；（2）化简：.【解析】（1）=.（2）原式.6若，则ABCD7已知.（1）求的值；（2）若为第二象限角，且角的终边在上，求的值考向五 同角三
10、角函数的基本关系式、诱导公式在三角形中的应用与三角形相结合时，诱导公式在三角形中经常使用，常用的角的变形有：,，等，于是可得，等典例6 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a=23，tanA=34，则sinA=_，b=_.【答案】，4+3【解析】由,得，,由正弦定理.8已知（1）求的值；（2）若为第二象限的角，求的值1已知，则“”是“是第三象限角”的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件2顶点为坐标原点，始边在轴的非负半轴上，终边在轴上的角的集合是A BC D3已知扇形OAB的圆心角为，其面积是4 cm2,则该扇形的周长是A10 cm B4 cm Cc
11、m Dcm4由射线（）逆时针旋转到射线（）的位置所成角为，则A BC D5为第三象限角，则A BC D6若，则A B C D 7若，则 A B C1 D 8在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则A BC D9已知，则A BC D10若(0,)，sin(-)+cos=23，则sin-cos的值为A BC D11在中，分别是角的对边，若，则的值为A1008 B1009C2017 D201812若，且，则 .13若扇形的圆心角，弦长，则弧长_14在平面直角坐标系中,P点的坐标为,Q是第三象限内一点,|OQ|=1,且,则Q点的横坐标为_.15已知的终边与单位圆交于点,点关于直线对称后的点为,点关于轴
12、对称后的点为,设角的终边为射线.（1）与的关系为_;（2）若,则_.16 在中，且cos A cos（B），则C等于 17已知，为锐角，.（1）求的值；（2）求的值.18化简：（1）；（2）已知，试求下列各式的值19已知.（1）求的值；（2）若，是第三象限角，求及的值.1（2019年高考全国卷文数）tan255=A2B2+C2D2+2（2019年高考全国卷文理数）已知a（0，），2sin2=cos2+1，则sin=ABCD3（2018年高考全国卷文数）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，且，则ABCD4（2018年高考北京卷文数）在平面直角坐标系中，是圆上的四段弧（如
13、图），点P在其中一段上，角以O为始边，OP为终边，若，则P所在的圆弧是A BC D5（2017年高考全国卷文数）已知，tan =2，则= .6（2017年高考北京卷文数）在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sin=，则sin=_7（2017年高考北京卷理数）在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，则=_.8（2018年高考全国理数）已知，则_9（2018年高考浙江卷）已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）（1）求sin（+）的值；（2）若角满足sin（+）=，求cos的值变式拓展1【答案】
14、B【解析】角的终边上一点的坐标为， 它到原点的距离为r=1，由任意角的三角函数定义知：，故选B2【答案】D【解析】角的终边经过点P(-1,-2)，x=-1，y=-2，r=|OP|=5，则.故选D.3【答案】C【解析】是第二象限角，2k2k，kZ，当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角【名师点睛】本题考查角所在象限的求法，考查象限角等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题4【答案】A【解析】因为，所以.因为，且，所以，所以.故选A.【名师点睛】本题主要考查二倍角公式和同角三角函数的平方关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5【答案】D【解析】
15、显然，故选D.【名师点睛】本题考查了同角三角函数关系中的商关系，属于基础题.6【答案】B【解析】因为所以,所以，故选B.【名师点睛】本题主要考查了三角函的诱导公式，解决此题的关键在于拼凑出，再利用诱导公式（奇变偶不变、符号看象限）即可.7【解析】（1）=，已知，将式子两边平方可得到 （2）已知为第二象限角，且角的终边在上，则根据三角函数的定义得到，由第一问得到，则.8【答案】（1）；（2）.【解析】（1），平方得，得，得（2）若为第二象限的角，则【名师点睛】本题主要考查三角函数值的化简和求值，利用同角三角函数关系以及三角函数的诱导公式是解决本题的关键考点冲关1【答案】B【解析】因为，所以sin
16、是第三、四象限和y轴负半轴上的角.则是第三、四象限和y轴负半轴上的角不能推出是第三象限角，反之，是第三象限角一定能推出，所以“”是“是第三象限角”的必要非充分条件.故答案为B.【名师点睛】先化简“”，再利用充要条件的定义判断.(1)本题主要考查充要条件的判断和诱导公式，考查三角函数的值的符号，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 判定充要条件常用的方法有定义法、集合法、转化法.2【答案】C【解析】顶点为坐标原点，始边在轴的非负半轴上，终边落在轴上的角的取值集合为，故选C.3【答案】A【解析】由题意得，设扇形的半径为，若扇形的圆心角为，则根据扇形的面积公式可得扇形的周长是，故选
17、A.4【答案】A【解析】设（）的倾斜角为，则，射线（）的倾斜角为，.故选A.【名师点睛】本题主要考查了三角函数的定义及两角差的余弦函数公式，考查了逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题.5【答案】B【解析】由，得，由同角三角函数基本关系式，得，解得.又因为为第三象限角，所以，则故选B.【名师点睛】先由两角和的正切公式求出，再利用同角三角函数基本关系式进行求解（1）利用两角和差公式、二倍角公式进行三角恒等变形时，要优先考虑用已知角表示所求角，如：、；（2）利用同角三角函数基本关系式中的“”求解时，要注意利用角的范围或所在象限进行确定符号6【答案】C【解析】由得是第一、三象限角，若是第三象限角，则
18、A，B错；由知，C正确；取时，D错7【答案】A【解析】方法一：由tan =sincos=34,cos2+sin2=1,得sin=35cos=45或sin=-35cos=-45,则sin 2=2sin cos =2425,则cos2+2sin 2=1625+4825=6425.方法二：cos2+2sin 2=.故选A【方法点拨】三角函数求值：“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系8【答案】B【解析】由诱导公式可得：，即，由三角函数的定义可得：，则.故选B.9【答案】D【解析】，即，则，故选D10【答
19、案】C【解析】由诱导公式得sin(-)+cos=sin+cos=23，两边平方得sin+cos2=1+2sincos=29，则2sincos=-790，所以sin-cos=43，故选C11【答案】C【解析】由得，故选C 12【答案】【解析】由题意得，于是，由于，.【名师点睛】对条件两边平方可得，利用“三姊妹”关系即可得到结果.应用公式时注意方程思想的应用：对于sincos，sincos，sincos这三个式子，利用(sincos)212sincos可以知一求二13【答案】【解析】画出图形，如图所示.设扇形的半径为rcm，由sin60=，得r=4cm，l=4=（cm）.14【答案】【解析】设,则
20、,Q点的横坐标为.15【答案】（1）;（2）【解析】（1）由题意可得点为单位圆上的点，并且以射线为终边的角的大小为，所以 又因为两点关于直线对称，所以 即则.（2） 故 16【答案】【解析】 又，.又即， 故填.17【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为，且为锐角，所以， 因此；（2）由（1）知，又，所以，于是得，因为，为锐角，所以，又，于是得， 因此， 故.【名师点睛】本题主要考查了三角函数的化简、求值问题，其中解答中熟练应用三角函数的基本关系式，以及两角差的正切公式，以及余弦的倍角公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.18【答案】（1）；（2）.【解析】（1）原式=；
21、（2）=.【名师点睛】本题主要考查诱导公式化简求值，考查同角的三角函数关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19【答案】（1）；（2）；.【解析】（1），.（2），得，又，是第三象限角，.【名师点睛】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数间的关系，属于中档题.直通高考1【答案】D【解析】=故选D.【名师点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式计算求解题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查2【答案】B【解析】，又，又，故选B【名师点睛】本题是对三
22、角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案3【答案】B【解析】根据条件，可知三点共线，从而得到，因为，解得，即，所以，故选B.【名师点睛】本题主要考查任意角的三角函数和三角恒等变換，考查考生分析问题、解决问题的能力和运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.4【答案】C【解析】由下图可得：有向线段为余弦线，有向线段为正弦线，有向线段为正切线.对于A选项：当点在上时
23、，故A选项错误；对于B选项：当点在上时，故B选项错误；对于C选项：当点在上时，故C选项正确；对于D选项：当点在上且在第三象限时，故D选项错误.综上，故选C.【名师点睛】此题主要考查三角函数的定义，解题的关键是能够利用数形结合思想，作出图形，找到所对应的三角函数线进行比较.逐个分析A、B、C、D四个选项，利用三角函数的三角函数线可得正确结论.5【答案】【解析】由得，又，所以，因为，所以，因为，所以.【名师点睛】三角函数求值的三种类型：（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异一般可以适当变换已知
24、式，求得另外函数式的值，以备应用；变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角6【答案】 【解析】因为角与角的终边关于轴对称，所以，所以.【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若与的终边关于轴对称，则；若与的终边关于轴对称，则；若与的终边关于原点对称，则.7【答案】【解析】因为和关于轴对称，所以，那么，（或），所以.【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若与的终边关于轴对称，则 ，若与的终边关于轴对称，则，若与的终边关于原点对
25、称，则.8【答案】【解析】因为，所以所以，因此【名师点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查考生分析问题、解决问题的能力，考查的核心素养是数学运算.9【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）由角的终边过点得，所以.（2）由角的终边过点得，由得.由得，所以或.【名师点睛】本题主要考查三角函数的定义、诱导公式、两角差的余弦公式，考查考生分析问题、解决问题的能力，运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.求解三角函数的求值问题时，需综合应用三角函数的定义、诱导公式及三角恒等变换.（1）首先利用三角函数的定义求得，然后利用诱导公式，计算sin（+）的值;（2）根据sin（+）的值，结合同角三角函数的基本关系，计算的值，要注意该值的正负，然后根据，利用两角差的余弦公式，通过分类讨论，求得cos的值.
