1、第八篇 平面解析几何专题8.01直线与方程【考试要求】1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.【知识梳理】1.直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角；(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；(3)范围：直线的倾斜角的取值范围是0，).2.直线的斜率(1)定义：当直线l的倾斜角时，其倾斜角的正切值ta
2、n 叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即ktan；(2)斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式为k.3.直线方程的五种形式名称几何条件方程适用条件斜截式纵截距、斜率ykxb与x轴不垂直的直线点斜式过一点、斜率yy0k(xx0)两点式过两点与两坐标轴均不垂直的直线截距式纵、横截距1不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式AxByC0(A2B20)所有直线【微点提醒】1.直线的斜率k和倾斜角之间的函数关系：2.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率.3.截距为一个实数，既可以为正数，也可以为负
3、数，还可以为0，这是解题时容易忽略的一点.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.()(2)直线的斜率为tan ，则其倾斜角为.()(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.()(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示.()【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】(1)当直线的倾斜角1135，245时，12，但其对应斜率k11，k21，k1k2.(2)当直线斜率为tan(45)时，其倾斜角为135.(3)两直线的斜率相等，则其倾斜角一定相等.【教材衍化
4、】2.(必修2P89B5改编)若过两点A(m，6)，B(1，3m)的直线的斜率为12，则直线的方程为_.【答案】12xy180【解析】由题意得12，解得m2，A(2，6)，直线AB的方程为y612(x2)，整理得12xy180.3.(必修2P100A9改编)过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为_.【答案】3x2y0或xy50【解析】当纵、横截距均为0时，直线方程为3x2y0；当纵、横截距均不为0时，设直线方程为1，则1，解得a5.所以直线方程为xy50.【真题体验】4.(2019济南调研)直线xy10的倾斜角为()A.30 B.45 C.120 D.150【答案】B【解析】由题得
5、，直线yx1的斜率为1，设其倾斜角为，则tan 1，又0180，故45.5.(2019广东七校联考)若过点P(1a，1a)和Q(3，2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是()A.(2，1) B.(1，2)C.(，0) D.(，2)(1，)【答案】A【解析】由题意知0，即0，解得2a0，b0).由题意得解得故直线l的方程为1，即3xy60.【考点聚焦】考点一直线的倾斜角与斜率【例1】 (1)直线2xcos y30的倾斜角的取值范围是()A. B.C. D.(2)(一题多解)(经典母题)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为_
6、.【答案】(1)B(2)(，1，)【解析】(1)直线2xcos y30的斜率k2cos ，因为，所以cos ，因此k2cos 1，.设直线的倾斜角为，则有tan 1，.又0，)，所以，即倾斜角的取值范围是.(2)法一设PA与PB的倾斜角分别为，直线PA的斜率是kAP1，直线PB的斜率是kBP，当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时，它的倾斜角由增至90，斜率的取值范围为1，).当直线l由PC变化到PB的位置时，它的倾斜角由90增至，斜率的变化范围是(，.故斜率的取值范围是(，1，).法二设直线l的斜率为k，则直线l的方程为yk(x1)，即kxyk0.A，B两点在直线l的两侧或其中一点在直线
7、l上，(2k1k)(k)0，即(k1)(k)0，解得k1或k.即直线l的斜率k的取值范围是(，1，).【迁移探究1】 若将例1(2)中P(1，0)改为P(1，0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围.【答案】见解析【解析】设直线l的斜率为k，则直线l的方程为yk(x1)，即kxyk0.A，B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上，(2k1k)(k)0，即(3k1)(k)0，解得k.即直线l的斜率的取值范围是.【迁移探究2】 若将例1(2)中的B点坐标改为B(2，1)，其他条件不变，求直线l倾斜角的取值范围.【答案】见解析【解析】由例1(2)知直线l的方程kxyk0，A，B两点在直线l的两侧或
8、其中一点在直线l上，(2k1k)(2k1k)0，即(k1)(k1)0，解得1k1.即直线l倾斜角的取值范围是.【规律方法】1.由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围时，常借助正切函数ytan x在0，)上的单调性求解，这里特别要注意，正切函数在0，)上并不是单调的.2.过一定点作直线与已知线段相交，求直线斜率范围时，应注意倾斜角为时，直线斜率不存在.【训练1】 若直线l：ykx与直线2x3y60的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是()A. B.C. D.【答案】B【解析】直线ykx恒过点(0，)，可作两直线的图象，如图所示，从图中可以看出，直
9、线l的倾斜角的取值范围为.考点二直线方程的求法【例2】 求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P(4，1)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点A(1，3)，倾斜角等于直线y3x的倾斜角的2倍；(3)经过点B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形.【答案】见解析【解析】(1)设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a0，即l过点(0，0)和(4，1)，所以l的方程为yx，即x4y0.若a0，则设l的方程为1，因为l过点(4，1)，所以1，所以a5，所以l的方程为xy50.综上可知，直线l的方程为x4y0或xy50.(2)由已知设直线y3x的倾斜角为，则所求直线的倾斜角为2.因为tan 3
10、，所以tan 2.又直线经过点A(1，3)，因此所求直线方程为y3(x1)，即3x4y150.(3)由题意可知，所求直线的斜率为1.又过点(3，4)，由点斜式得y4(x3).所求直线的方程为xy10或xy70.【规律方法】1.在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件.2.对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零).【训练2】 (1)求过点A(1，3)，斜率是直线y4x的斜率的的直线方程；(2)求经过点A(5，2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程.【答案】见解析【解析】(1)
11、设所求直线的斜率为k，依题意k4.又直线经过点A(1，3)，因此所求直线方程为y3(x1)，即4x3y130.(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为1，将(5，2)代入所设方程，解得a，所以直线方程为x2y10；当直线过原点时，设直线方程为ykx，则5k2，解得k，所以直线方程为yx，即2x5y0.故所求直线方程为2x5y0或x2y10.考点三直线方程的综合应用角度1与不等式相结合的最值问题【例31】 设mR，过定点A的动直线xmy0和过定点B的动直线mxym30交于点P(x，y)，则|PA|PB|的最大值是_.【答案】5【解析】由直线xmy0求得定点A(0，0)，直线mxym30，即y3m
12、(x1)，所以得定点B(1，3).当m0时，两条动直线垂直，当m0时，因为m1，所以两条动直线也垂直，因为P为直线xmy0与mxym30的交点，所以|PA|2|PB|2|AB|210，所以|PA|PB|5(当且仅当|PA|PB|时，等号成立)，所以|PA|PB|的最大值是5.角度2由直线方程求参数范围【例32】 已知直线l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，当0a2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a_.【答案】【解析】由题意知直线l1，l2恒过定点P(2，2)，直线l1的纵截距为2a，直线l2的横截距为a22，所以四边形的面积S2(2a)2(a2
13、2)a2a4，又0a2，所以当a时，面积最小.【规律方法】与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题.先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.(2)求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解.【训练3】 如图，在两条互相垂直的道路l1，l2的一角，有一个电线杆，电线杆底部到道路l1的垂直距离为4米，到道路l2的垂直距离为3米，现在要过电线杆的底部靠近道路的一侧修建一条人行直道，使得人行道与两条垂直的道路围成的直角三角形的面积最小，则人行道的长度为_米.【答案】10【解析】如图建立平面直角坐标系，设人
14、行道所在直线方程为y4k(x3)(k0)，所以A，B(0，43k)，所以ABO的面积S(43k)，因为k0，所以9k224，当且仅当9k，即k时取等号.此时，A(6，0)，B(0，8)，所以人行道的长度为10米.【反思与感悟】在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件.用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线.故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况.【易错防范】倾斜角和斜率的范围(1)倾斜角是一种特殊规定的角，其范围是0，)，千万
15、不要与其他角混淆，有些时候要依据图形而定.(2)斜率范围与倾斜角范围的转化，此时要结合ytan x在和上的变化规律.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：35分钟)一、选择题1.直线xy10的倾斜角是()A. B. C. D.【答案】D【解析】由直线的方程得直线的斜率为k，设倾斜角为，则tan ，又0，)，所以.2.如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则()A.k1k2k3B.k3k1k2C.k3k2k1D.k1k3k2【答案】D【解析】直线l1的倾斜角1是钝角，故k13，所以0k3k2，因此k1k30，b0时，a0，b0，结合选项知B符合，其他均不符合.5.已知直线l
16、经过A(2，1)，B(1，m2)两点(mR)，那么直线l的倾斜角的取值范围是()A.0，) B.C. D.【答案】B【解析】直线l的斜率k1m2，因为mR，所以k(，1，所以直线的倾斜角的取值范围是.6.已知直线l的斜率为，在y轴上的截距为另一条直线x2y40的斜率的倒数，则直线l的方程为()A.yx2 B.yx2C.yx D.yx2【答案】A【解析】因为直线x2y40的斜率为，所以直线l在y轴上的截距为2，所以直线l的方程为yx2.7.直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(3，3)，则其斜率的取值范围是()A. B.(1，)C.(，1) D.(，1)【答案】D【解析】设直线的斜率为k，则直线方程为y2k(x1)，令y0，得直线l在x轴上的截距为1，则31或k0，cos 0；当k0时，直线为y1，符合题意，故k的取值范围是0，).(3)解由题意可知k0，再由l的方程，得A，B(0，12k).依题意得解得k0.S|OA|OB|12k|(224)4，“”成立的条件是k0且4k，即k，Smin4，此时直线l的方程为x2y40.15
