1、 第一节 直线与直线方程 命题分析预测 学科核心素养 本节内容高考中很少独立考查，通常与切线方程、 圆的方程、圆锥曲线相结合，难度中等 本节主要提升考生的数学运算、直观想 象核心素养 授课提示：对应学生用书第 165 页 知识点一 直线的倾斜角与斜率 1直线的倾斜角 (1)定义：当直线 l 与 x 轴相交时，我们取 x 轴作为基准，x 轴正方向与直线 l 向上方向之间所 成的角 叫做直线 l 的倾斜角； (2)规定：当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0； (3)范围：直线 l 的倾斜角 的取值范围是0，) 2直线的斜率 (1)定义：当直线 l 的倾斜角 2时，其倾斜角 的正
2、切值 tan 叫做这条直线的斜率，斜率通 常用小写字母 k 表示，即 ktan_； (2)斜率公式：经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式为 ky2y1 x2x1 温馨提醒 直线的斜率 k 与倾斜角 之间的关系 0 0 90 90 90 180 k 0 k0 不存在 k0 牢记口诀： “斜率变化分两段，90 是分界线； 遇到斜率要谨记，存在与否要讨论” 1直线 l：xsin 30 ycos 150 10 的斜率是( ) A 3 3 B 3 C 3 D 3 3 解析：直线 l 的斜率 ksin 30 cos 150 tan 30 3 3 答案：A 2若过点
3、M(2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于 1，则 m 的值为_ 解析：由题意得 m4 2m1，解得 m1 答案：1 知识点二 直线方程 名称 几何条件 方程 适用条件 斜截式 纵截距、斜率 ykxb 与 x 轴不垂直的直线 点斜式 过一点、斜率 yy0k(xx0) 两点式 过两点 yy1 y2y1 xx1 x2x1 与两坐标轴均 不垂直的直线 截距式 纵、横截距 x a y b1 不过原点且与两坐标 轴均不垂直的直线 一般式 AxByC0 (A2B20) 所有直线 温馨提醒 1用直线的点斜式求方程时，在斜率 k 不明确的情况下，注意分 k 存在与不存在讨论，否则 会造成失误 2直线的截距式中
4、易忽视截距均不为 0 这一条件，当截距为 0 时可用点斜式 1已知点 A(1，2)，B(3，1)，则线段 AB 的垂直平分线方程为( ) A4x2y50 B4x2y50 Cx2y50 Dx2y50 解析：线段 AB 的中点坐标为 2，3 2 ，直线 AB 的斜率 kAB12 31 1 2，所以所求直线的斜率 为 2，故所求直线方程为 y3 22(x2)，即 4x2y50 答案：B 2直线 3x4yk0 在两坐标轴上的截距之和为 2，则实数 k( ) A24 B12 C12 D24 解析：令 x0，得 yk 4；令 y0，得 x k 3，则有 k 4 k 32，所以 k24 答案：A 3(易错题
5、)过点 P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为_ 解析：当截距为 0 时，直线方程为 3x2y0； 当截距不为 0 时，设直线方程为x a y a1， 则2 a 3 a1，解得 a5，所以直线方程为 xy50 答案：3x2y0 或 xy50 授课提示：对应学生用书第 166 页 题型一 直线的倾斜角与斜率 1已知直线 2xy30 的倾斜角为 ，则 sin 2 的值是（ ） A1 4 B3 4 C4 5 D2 5 解析：直线 2xy30 的斜率 k2，所以 tan 2， 所以 sin 2 2sin cos sin2cos2 2tan tan21 22 221 4 5 答案：C 2 （20
6、21 烟台模拟）已知 p：“直线 l 的倾斜角 4”；q：“直线 l 的斜率 k1”，则 p 是 q 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析：直线 l 的倾斜角 4，则直线 l 的斜率 ktan 1 或 k0；又直线 l 的斜率 k1，则 tan 1， 4， 2 ，p 是 q 的必要不充分条件 答案：B 3直线 l 过点 P（1，0） ，且与以 A（2，1） ，B（0， 3）为端点的线段有公共点，则直线 l 斜率的取值范围为_ 解析：如图，过 A（2，1） ，P（1，0）的直线的斜率为 k1 10 2（1） 1 3，过 B（0， 3） ， P（1
7、，0）的直线的斜率为 k2 30 0（1） 3由图可知，过 P 的直线 l 与线段 AB 有公 共点的斜率的取值范围是 1 3， 3 答案： 1 3， 3 求倾斜角 的取值范围的一般步骤 （1）求出 tan 的取值范围 （2）利用正切函数的单调性，借助图像，确定倾斜角 的取值范围 题型二 直线方程的求法 根据所给条件求直线的方程： （1）直线过点（4，0） ，倾斜角的正弦值为 10 10 ； （2）直线过点（3，4） ，且在两坐标轴上的截距之和为 12； （3）直线过点（5，10） ，且与原点的距离为 5 解析： （1）由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式 设倾斜角为 ，则 sin 10
8、 10 （0） ， 从而 cos 3 10 10 ，则 ktan 1 3 故所求直线方程为 y 1 3（x4） ， 即 x3y40 或 x3y40 （2）由题设知纵横截距不为 0，设直线方程为x a y 12a1， 又直线过点（3，4） ， 从而3 a 4 12a1，解得 a4 或 a9 故所求直线方程为 4xy160 或 x3y90 （3）当斜率不存在时，所求直线方程为 x50 满足题意； 当斜率存在时，设其为 k，则所求直线方程为 y10k（x5） ，即 kxy105k0 由点线距离公式，得|105k| k21 5，解得 k3 4 故所求直线方程为 3x4y250 综上，所求直线方程为 x
9、50 或 3x4y250 求直线方程的注意事项 （1）在求直线方程时，根据题目的条件选择适当的形式 （2）对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类与整合思想的运用（若采用点斜式，应先考 虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应先判断截距是否为零） （3）重视直线方程一般形式的应用，因为它具有广泛的适用性 题型三 直线方程的应用 例 （1）设 mR，过定点 A 的动直线 xmy0 和过定点 B 的动直线 mxym30 交 于点 P（x，y） ，则|PA| |PB|的最大值是 ； （2）已知直线 l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，当 0a2 时，直线 l1，l2与两坐 标轴围成一个四边形，
10、当四边形的面积最小时，实数 a_ 解析 （1）由直线 xmy0 求得定点 A（0，0） ，直线 mxym30，即 y3m（x 1） ，所以得定点 B（1，3） 当 m0 时，两条动直线垂直，当 m0 时，因为 1 m m1， 所以两条动直线也垂直， 因为 P 为直线 xmy0 与 mxym30 的交点， 所以|PA|2|PB|2 |AB|210，所以|PA| |PB|PA| 2|PB|2 2 5（当且仅当|PA|PB| 5时，等号成立） ，所以 |PA| |PB|的最大值是 5 （2）由题意知直线 l1，l2恒过定点 P（2，2） ，直线 l1的纵截距为 2a，因为 0a2，所以 2a0，直线
11、 l2的横截距为 a22，所以四边形的面积 S1 22（2a） 1 22（a 22） a2a4 a1 2 2 15 4 ，又 0a2，所以当 a1 2时，面积最小 答案 （1）5 （2）1 2 求解与直线方程有关的最值问题时，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基 本不等式或二次函数求解最值 对点训练 已知直线 xa2ya0（a 是正常数） ，当此直线在 x 轴，y 轴上的截距和最小时，正数 a 的值 是（ ） A0 B2 C 2 D1 解析：直线 xa2ya0（a 是正常数）在 x 轴，y 轴上的截距分别为 a 和1 a，此直线在 x 轴， y 轴上的截距和为 a1 a2，当且仅当
12、 a1 时，等号成立故当直线 xa 2ya0 在 x 轴，y 轴上的截距和最小时，正数 a 的值是 1 答案：D 直线方程应用的核心素养 数学运算直线方程的交汇应用 例 （2021 重庆巴蜀中学模拟）已知曲线 y 2x x1在点 P（2，4）处的切线与直线 l 平行且 距离为 2 5，则直线 l 的方程为（ ） A2xy20 B2xy20 或 2xy180 C2xy180 D2xy20 或 2xy180 解析 y2（x1）2x （x1）2 2 （x1）2，当 x2 时，y 2 （21）22，因此 kl2， 设直线 l 方程为 y2xb，即 2xyb0，由题意知|224b| 5 2 5，解得 b
13、18 或 b 2，所以直线 l 的方程为 2xy180 或 2xy20 答案 B 抓住导数的几何意义及直线方程的求法是解决此类问题的关键 对点训练 已知不全为零的实数 a，b，c 成等差数列，过点 A（1，2）作直线 l：axbyc0 的垂线与 直线 l 交于点 P，点 Q 在直线 3x4y120 上，则|PQ|的最小值是_ 解析：不全为零的实数 a，b，c 成等差数列，bac 2 ，代入动直线 l：axbyc0，得 axac 2 yc0，即 a（2xy）c（y2）0a，c 不全为零， 2xy0， y20， 解得 x 1，y2，动直线 l 过定点 N（1，2） 设点 P（x，y） ，当点 P 与 N 不重合时，APNP， AP NP（x1，y2） （x1，y2）0，整理，得 x2y22x30，即（x1）2 y24点 P 在以（1，0）为圆心，2 为半径的圆上，点 Q 在直线 3x4y120 上，圆心 （1，0）到直线 3x4y120 的距离 d |312| 324232，|PQ|的最小值等于圆心（1，0） 到直线 3x4y120 的距离 d 减去圆的半径 2，|PQ|的最小值为 321 答案：1
