1、第八章 平面解析几何 考点要求考点要求 1直线与方程 (1)在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素 (2)理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式 (3)能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直 (4)掌握确定直线位置的几何要素， 掌握直线方程的几种形式(点斜式、 两点式及 一般式)，了解斜截式与一次函数的关系 (5)能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标 (6)掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间 的距离 2圆与方程 (1)掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程 (2)能根据给定直线、圆的方程，判断直线
2、与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程， 判断两圆的位置关系 (3)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题 (4)初步了解用代数方法处理几何问题的思想 3圆锥曲线 (1)了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 (2)掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质 (3)了解抛物线、双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质 (4)了解圆锥曲线的简单应用 (5)理解数形结合的思想. 81 直线与方程直线与方程 【教材梳理】 1平面直角坐标系中的基本公式 (1)数轴上 A，B 两点的距离 数轴上点 A 的坐标为 x1，点 B 的坐标为 x2，则 A，B
3、两点间的距离|AB|_ (2)平面直角坐标系中的基本公式 两点间的距离公式：在平面直角坐标系中，两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)之间的距离公式为 d(A，B)|AB|_ 线段的中点坐标公式：若点 P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段 P1P2的中点 M 的坐标 为(x，y)，则 x ， y 2直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 当直线 l 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准，x 轴_与直线 l 向上方向之间所成的角 叫做 直线 l 的倾斜角当直线 l 与 x 轴_或_时，我们规定它的倾斜角为 0因此，直线 的倾斜角 的取值范围为_ (2)斜率 一条直线的倾斜
4、角 的_叫做这条直线的斜率，常用小写字母 k 表示，即 k _(_)当直线平行于 x 轴或者与 x 轴重合时，k_0；当直线的倾斜角为锐角时， k_0；当直线的倾斜角为钝角时，k_0；倾斜角为_的直线没有斜率倾斜角不同， 直线的斜率也不同因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度 (3)经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式为 k 3直线方程的几种形式 (1)截距 直线 l 与 x 轴交点(a，0)的_叫做直线 l 在 x 轴上的截距，直线 l 与 y 轴交点 (0，b)的_叫做直线 l 在 y 轴上的截距 注：截距_距离(填“是”或“不是”) (2)直线方程
5、的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 k 存在 斜截式 k 存在 两点式 截距式 a0 且 b0 一般式 平面直角坐标系内的所有 直线 注：斜截式是_的特例；截距式是_的特例 【常用结论】 4过点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的特殊直线方程 (1)若 x1x2，且 y1y2时，直线垂直于 x 轴，方程为 xx1； (2)若 x1x2，且 y1y2时，直线垂直于 y 轴，方程为 yy1； (3)若 x1x20，且 y1y2时，直线即为 y 轴，方程为 x0； (4)若 x1x2，且 y1y20 时，直线即为 x 轴，方程为 y0 【自查自纠】 1(1)|x2x1| (2)（x2x1
6、）2（y2y1）2 x1x2 2 y1y2 2 2(1)正向 平行 重合 0 90 (3)y2y1 x2x1 3(1)横坐标 a 纵坐标 b 不是 (2)yy0k(xx0) ykxb yy1 y2y1 xx1 x2x1 x1x2 且 y1y2 x a y b1 AxByC0(A，B 不同时为 0) 点斜式 两点式 判断下列命题是否正确， 正确的在括号内画“”， 错误的画“” (1)倾斜角越小，斜率越小 ( ) (2)不是所有的直线都有斜率 ( ) (3)过点 P(x0，y0)的直线都可用方程 yy0k(xx0)表示 ( ) (4)能用斜截式方程表示的直线都能用点斜式方程表示 ( ) (5)直线
7、 2kxy12k0 恒过定点(1，1)( ) 解：(1)； (2)； (3)； (4)； (5) (20192020学年宁波宁诺附中高二上期中)直线 3x3y20 的倾斜角是( ) A 6 B 3 C2 3 D5 6 解：由直线的方程得直线的斜率为 k 3 3 ，设倾斜角为 ，则 tan 3 3 ， 又 0，)，所以 5 6 故选 D 过点 A(2，1)，B(3，3)的直线方程为 ( ) A4x5y130 B4x5y30 C5x4y50 D5x4y80 解：因为直线过点(2，1)和(3，3)，所以 y1 31 x2 32， 所以y1 4 x2 5 ，化简得 4x5y30故选 B 过点(2，3)
8、，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 ( ) Ay3 2x Bxy5 Cy3 2x 或 xy5 Dy 3 2x 或 xy5 解：设直线在两坐标轴上的截距分别为 a，b 当 ab0 时，直线方程为x a y a1，所以 2 a 3 a1，所以 a5， 所以 xy5， 当 ab0 时，直线的斜率 k3 2，所以 y 3 2x 综上所述，直线方程为 y3 2x 和 xy5故选 C 已知直线 l 过点 P(2，1)，且直线 l 的斜率为直线 x4y30 的 斜率的 2 倍，则直线 l 的方程为_ 解：由 x4y30，得 y1 4x 3 4，其斜率为 1 4，故所求直线 l 的斜率为 1 2， 又直
9、线 l 过点 P(2， 1)， 所以直线 l 的点斜式方程为 y11 2(x2)， 即 x2y0 故 填 x2y0 考点一 直线的倾斜角和斜率 (1)【多选题】(20202021学年山东青州一中高二11月考)如图， 直线 l1，l2，l3的斜率分别为 k1，k2，k3，倾斜角分别为 1，2，3，则下 列选项正确的是 ( ) Ak1k3k2 Bk3k2k1 C132 D32k30，k10，则 k1k3230，且 1 为钝角，则 321故选 AD (2)直线 l 过点 P(1，0)，且与以 A(2，1)，B(0， 3)为端点的线段有公 共点，则直线 l 斜率的取值范围为_ 解：如图，因为 kAP1
10、0 211，kBP 30 01 3，所以直线 l 的斜率 k (， 31，) 故填(， 31，) 【点拨】 解答本类题要注意根据斜率和倾斜角的概念及取 值范围解答：任一直线都有倾斜角，但斜率不一定都存在，直线 倾斜角的范围是0，)，斜率的取值范围是 R，同时要知道正切 函数在0，)上不单调；求直线的倾斜角主要根据定义来求， 其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类 讨论 (1)(2019广东七校联考)若过点 P(1a，1a)和 Q(3，2a)的 直线的倾斜角为钝角，则实数 a 的取值范围是 ( ) A(2，1) B(1，2) C(，0) D(，2)(1，) 解： 由题意知2a1
11、a 31a 0， 即a1 2a0， 解得2a1 故 选 A (2)(2020春黄冈期末)已知点 A(2，3)和点 B(1，0)是平面直角坐标系中的定点， 直线 ykx1 与线段 AB 始终相交，则实数 k 的取值范围是 ( ) A1，2 B2，1 C2，1 D 1 2，1 解：易知直线 ykx1 过定点 P(0，1)，如图，kBP1，kAP 2， 因为直线 ykx1 与线段 AB 始终相交， 则 k 的取值范围为 1，2故选 A 考点二考点二 求直线方程求直线方程 (1)求适合下列条件的直线方程 ()过点 P(4，2)，倾斜角为 150； ()过两点 A(1，3)，B(2，5)； ()在 x
12、轴、y 轴上的截距分别为3，1 解：()因为倾斜角 150，所以斜率 ktan150 3 3 ， 所以直线的点斜式方程为 y2 3 3 (x4)， 即 y 3 3 x4 3 3 2 ()因为斜率 k53 212，所以直线的点斜式方程为 y32(x1)，即 y2x 1 ()由题意，得直线的截距式方程为 x 3 y 11， 即 x3y30 【点拨】 用点斜式求直线的方程， 首先要确定直线的斜率和其上一个 点的坐标，注意在斜率存在的条件下，才能用点斜式表示直线的方程；已 知两点坐标求直线的方程，可以先求斜率，再用点斜式求直线的方程；当 已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方
13、程 的适用条件，即两点的连线不平行于坐标轴；选用直线截距式的方程时， 必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直 (2)设直线 l 的方程为(m22m3)x(2m2m1)y62m0 ()已知直线 l 在 x 轴上的截距为3，则 m_； ()已知直线 l 的斜率为 1，则 m_ 解：()由题意知 m22m30，即 m3 且 m1，令 y0，则 x 2m6 m22m3， 所以 2m6 m22m33，得 m 5 3或 m3(舍去) 所以 m5 3 ()由题意知，2m2m10，即 m1 2且 m1 由直线 l 化为斜截式方程得 ym 22m3 2m2m1x 62m 2m2m1，则 m22m3 2
14、m2m11，得 m2 或 m1(舍去) 所以 m2 故填()5 3；( )2 【点拨】 若方程 AxByC0 表示直线，则需满足 A，B 不同 时为 0；令 x0 可得在 y 轴上的截距，令 y0 可得在 x 轴上的截距， 若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式；解分式方程要注意验 根 (1)根据所给条件求直线的方程 ()直线过点(4，0)，倾斜角的正弦值为 10 10 ； ()直线过点(3，4)，且在两坐标轴上的截距相等； ()直线过点(5，10)，且到原点的距离为 5 解：()由题意知，直线的斜率存在， 设倾斜角为 ，则 sin 10 10 (0，)， 从而 cos 3 10 10 ，则
15、 ktan 1 3 故所求直线的方程为 y 1 3(x4)，即 x 3y40 ()若截距不为 0，设直线的方程为x a y a1， 因为直线过点(3，4)，所以3 a 4 a1，解得 a1 此时直线方程为 xy10 若截距为 0，设直线方程为 ykx，代入点(3，4)， 有 43k，解得 k4 3，此时直线方程为 4x3y0 综上，所求直线方程为 xy10 或 4x3y0 ()由题意知，当直线的斜率不存在时符合题意，此时直线方程为 x50 当直线斜率存在时，设其方程为 y10k(x5)， 即 kxy(105k)0 由点到直线的距离公式，得| |105k 1k2 5，解得 k3 4 此时直线方程
16、为 3x4y250 综上知，所求直线方程为 x50 或 3x4y250 (2)一次函数 ym n x1 n的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分 条件是( ) Am1 且 n1 Bmn0 Cm0 且 n0 Dm0 且 n0 解：因为 ym n x1 n的图象经过第一、三、四象限，故 m n 0，且1 n0，即 m0，且 n0 为充要条件，因此 mn0 是它的一个必要不充分条件故选 B 考点三考点三 直线方程的应用直线方程的应用 (1)设 mR，过定点 A 的动直线 xmy0 和过定点 B 的动直线 mxym30 交于点 P(x，y)，则|PA| |PB|的最大值是_ 解：由直线 xmy0
17、求得定点 A(0，0)，直线 mxym30，即 y3m(x 1)，所以得定点 B(1，3)当 m0 时，两条动直线垂直，当 m0 时，因为( 1 m) m 1， 所以两条动直线也垂直， 因为 P 为两直线的交点， 所以|PA|2|PB|2|AB|210， 所以|PA| |PB|PA| 2|PB|2 2 5(当且仅当|PA|PB| 5时，等号成立)，所以|PA| |PB| 的最大值是 5故填 5 (2)直线 l 过点 P(1，4)，分别交 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴于 A， B 两点 ()当|PA| |PB|最小时，求 l 的方程； ()当|OA|OB|最小时，求 l 的方程 解：依题意，
18、l 的斜率存在，且斜率为负 设 l：y4k(x1)(k0) 令 y0，可得 A(14 k，0)； 令 x0，可得 B(0，4k) ()|PA| |PB|（4 k） 216 1k2 4 k(1k 2)4(1 kk)8(注意 k0) 所以当且仅当1 kk 且 k0，即 k1 时，|PA|PB|取最小值此时 l 的方程为 xy50 ()|OA|OB|(14 k)(4k)5(k 4 k)9所以当且仅当 k 4 k且 k0，即 k2 时，|OA| |OB|取最小值此时 l 的方程为 2xy60 【点拨】 求解与直线方程有关的最值问题先设出直线方 程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值；求参数值或 范
19、围，注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函 数的单调性或基本不等式求解 (1)已知直线 l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，当 0a2 时，直 线 l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数 a _ 解：由题意知直线 l1，l2恒过定点 P(2，2)，直线 l1的纵截距为 2a，直线 l2 的横截距为 a22，所以四边形的面积 S1 22(2a) 1 22(a 22)a2a4(a 1 2) 215 4 ，又 0a0，b0)过点(1，1)，则该直线在 x 轴、y 轴上的截距 之和的最小值为 ( ) A1 B4 C2 D8 解： 因为直线 axbyab 过点(1，1)，所以 abab， 1 a 1 b1，因为直线在 x 轴的截距为 b， 在 y 轴上的截距为 a，所以直线在 x 轴、y 轴上的截距之和为 ab，ab(ab) (1 a 1 b)2 b a a b22 b a a b4，所以当 ab2 时取最小值，最小值为 4故选 B
