1、82 两条直线的位置关系两条直线的位置关系 【教材梳理】 1两条直线的位置关系 (1)平行：对于两条不重合的直线 l1，l2，其斜率分别为 k1，k2，有 l1l2_，特别地，当直线 l1，l2 的斜率都不存在时，l1与 l2的关系为_ (2)垂直：如果两条直线 l1，l2的斜率都存在，且分别为 k1，k2，则有 l1l2_，特别地，若直线 l1：x a，直线 l2：yb，则 l1与 l2的关系为_ 2两条直线的交点坐标 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组 A1xB1yC10， A2xB2yC20若方程组有唯一解，则两条直线_，此 解就是_；若方程组无解，则两条直线_，此时两条直线_ 3距
2、离公式 (1)点到直线的距离：点 P0(x0，y0)到直线 l：AxByC0 的距离 d_ (2)两条平行直线间的距离：两条平行直线 l1：AxByC10 与 l2：AxByC20(C1C2)间的距离 d_ 【常用结论】 4两条直线平行、垂直的充要条件 设直线 l1与 l2的方程分别为 A1xB1yC10(A1，B1不同时为 0)，A2xB2yC20(A2，B2 不同时为 0)，则 l1l2 A1B2A2B10， B1C2B2C10或A1C2A2C10 l1l2A1A2B1B20 5常见直线系方程 (1)过定点(x1，y1)的直线系方程：yy1k(xx1)和 xx1 (2)平行于直线 AxBy
3、C0 的直线系方程：AxBy0(C) (3)垂直于直线 AxByC0 的直线系方程：BxAy0 (4)过两条已知直线 A1xB1yC10 与 A2xB2yC20 的交点的直线系方程：A1xB1y C1(A2xB2yC2)0(不包括直线 A2xB2yC20)和 A2xB2yC20 6对称常用结论 (1)点(x，y)关于直线 yx 的对称点为(y，x)，关于直线 yx 的对称点为(y，x) (2)点(x，y)关于直线 xa 的对称点为(2ax，y)，关于直线 yb 的对称点为(x，2by) (3)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2ax，2by) 【自查自纠】 1(1)k1k2 l1l2 (
4、2)k1k21 l1l2 2相交 交点的坐标 无公共点 平行 3(1)| |Ax0By0C A2B2 (2) |C1C2 A2B2 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“”，错误的画“” (1)当直线 l1和 l2斜率都存在时，k1k2l1l2 ( ) (2)已知两条直线 l1：A1xB1yC10 与 l2：A2xB2yC20 不重合，则 A1A2B1B20 是 直线 l1l2的充要条件 ( ) (3)点 P(x0，y0)到直线 ykxb 的距离为|kx0b| 1k2 ( ) (4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离 ( ) (5)若点 A，B 关于直线 l：ykxb(k
5、0)对称，则直线 AB 的斜率等于1 k，且线段 AB 的中 点在直线 l 上 ( ) 解：(1)； (2)； (3)； (4)； (5) 直线 2x(m1)y40 与直线 mx3y20 平行，则 m 等 于 ( ) A2 B3 C2 或3 D2 或3 解：直线 2x(m1)y40 与直线 mx3y20 平行，则有 2 m m1 3 4 2，故 m2 或3故选 C 已知角 (0，)，点(1，1)到直线 l：xcosysin10 的距离为 2 1，则 等于( ) A3 4 B 2 C 4 D 6 解：由题意得|cossin1| 1 21，则 cossin1 21 或 cos sin1 21，可得
6、 cossin 22(舍)或 cossin 2，即 cos 4 1，又 (0，)，则 3 4 故选 A 点 P(a，b)关于直线 yx1 的对称点为 ( ) A(b1，a1) B(b1，a1) C(b1，a1) D(b1，a1) 解：设点 P(a，b)关于直线 yx1 的对称点为 Q(m，n)，则 PQ 的中点 am 2 ，bn 2 在直线 yx1 上， 且直线 PQ 的斜率为 1， 故 bn 2 am 2 1， nb ma1， 解得 mb1， na1 故选 A 两条平行直线 2xmy10 与直线 xy20 之间的 距离是_ 解： 由两条直线平行知 m2， 将 2x2y10 化为 xy1 20
7、， 则两平行线间的距离为 d 21 2 2 3 2 4 故填3 2 4 考点一考点一 两条直线的平行两条直线的平行 (2020天水市第一中学期末)“m4”是“直线 mx(3m4)y30 与直线 2xmy30 平行” 的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 解：当 m4 时，则两直线方程分别为 4x8y30，2x4y30， 满足两直线平行， 由直线 mx(3m4)y30 与直线 2xmy30 平行得， m22(3m 4)0，解得 m2 或 m4 当 m2 时，两直线重合，故“m4”是“直线 mx(3m4)y30 与直线 2xmy30 平行”的充要条件故选
8、 C 【点拨】 当含参数的直线方程为一般式时， 若要表示出直线的斜率， 不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况， 同时还要注意 x， y 的系数不能同时为零这一隐含条件在判断两直线平 行、 垂直时， 也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论A1 A2 B1 B2 C1 C2保证了平行的同时又去掉了重合的情形 已知三条直线 2x3y10，4x3y50，mxy10 不能构成三角 形，则实数 m 的取值集合为( ) A 4 3， 2 3 B 4 3， 2 3， 4 3 C 4 3， 2 3 D 4 3， 2 3， 2 3 解：由题意得直线 mxy10 与另外两条直线中的一条
9、平行，或者过另外 两条直线的交点当直线 mxy10 与 2x3y10，4x3y50 分别平行 时，m2 3或 4 3；当直线 mxy10 过 2x3y10 与 4x3y50 的交点 时，m2 3所以实数 m 的取值集合为 4 3， 2 3， 2 3 故选 D 考点二考点二 两条直线的垂直两条直线的垂直 (1)设 a，b，c 分别是ABC 中内角 A，B，C 所对边的边长，则直 线 xsinAayc0 与 bxysinBsinC0 的位置关系是( ) A平行 B重合 C垂直 D相交但不垂直 解：由正弦定理 a sinA b sinB，得 bsinAasinB0， 所以两直线垂直故选 C (2)已
10、知直线 l1：(a2)x(1a)y30 与直线 l2：(a1)x(2a3)y2 0，则“a1”是“l1l2”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解：l1l2的充要条件是(a2)(a1)(1a)(2a3)0，即 a2 10，解得 a 1 显然“a1”是“a 1”的充分不必要条件，故“a1”是“l1 l2”的充分不必要条件故选 A 【点拨】 判定两直线垂直的方法： 判定两直线的斜率是否 存在，若存在，可先化成斜截式，若 k1k21，则两直线垂直； 若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为 0，则两直线也 垂直直接用以下方法，可避免对斜率是否存在进行讨
11、论设 直线 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，l1l2A1A2 B1B20 (1)(2020江西南昌二中高三)已知 a0，b0，直线 l1：(a1)xy 10，l2：x2by10，且 l1l2，则2 a 1 b的最小值为( ) A2 B4 C8 D9 解：因为 l1l2，所以(a1)112b0，即 a2b1， 因为 a0， b0， 所以2 a 1 b 2 a 1 b (a2b)224b a a b42 4b a a b8， 当且仅当4b a a b，即 a 1 2，b 1 4时等号成立，所以 2 a 1 b的最小值为 8故选 C (2) 【多选题】 (2020黑龙江尖山双鸭山
12、一中期末)已知直线 ax3y7 0 与直线(2a1)xaya0 互相垂直，则 a ( ) A0 B1 C2 D1 2 解：当 a0 时，两直线的方程分别为 3y70 和 x0，故两直线垂直； 当 a0 时，两直线的斜率分别为a 3和 12a a ， 由题意得12a a a 31，解得 a2 综上可得 a0 或 a2故选 AC 考点三考点三 两条直线的相交、距离问题两条直线的相交、距离问题 (1)(2020年内蒙古集宁一中高一期中)直线 2x3yk0 和 xky 120 的交点在 y 轴上，则 k 的值为( ) A24 B6 C6 D6 解：因为两条直线 2x3yk0 和 xky120 的交点在
13、 y 轴上，所以 设交点为(0，b)， 所以 3bk0， kb120，消去 b，可得 k 6故选 C (2)(2019广州模拟)已知点 P(4，a)到直线 4x3y10 的距离不 大于 3，则 a 的取值范围是_ 解：由题意得，点 P 到直线的距离为|443a1| 5 |153a| 5 又|153a| 5 3，即|153a|15，解得 0a10， 所以 a 的取值范围是0，10故填0，10 (3)(2019厦门模拟)若两平行直线 3x2y10，6xayc0 之间的 距离为2 13 13 ，则 c 的值是_ 解：依题意知，6 3 a 2 c 1，解得 a4，c2，即直线 6xayc0 可化为 3
14、x2yc 20， 又两平行线之间的距离为2 13 13 ，所以 c 21 32（2）2 2 13 13 ，解得 c2 或 6故填 2 或6 【点拨】 求两条直线的交点坐标， 一般思路就是解由这两条直线方程组成 的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点距离的求法：点到直线的距 离，可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般 式两平行直线间的距离，利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一 条直线上任意一点到另一条直线的距离；或利用两平行线间的距离公式 d |C1C2| A2B2 (1)(2021届安徽六安一中高二月考)已知直线 mx4y20 与 2x5yn0 互相垂直，垂足
15、为 P(1，p)，则 mnp 的值是( ) A20 B10 C0 D5 解： 因为直线 mx4y20 与 2x5yn0 互相垂直， 所以m 4 2 5 1，解得 m10， 又垂足坐标为(1，p)，代入直线10 x4y20 可得104p20， 解得 p3， 将 P(1，3)代入直线 2x5yn0 可得 215n0，解得 n17， 故 mnp1017310故选 B (2)(2019上海黄浦区监测)已知曲线 yax(a0，且 a1)恒过点 A(m， n)，则点 A 到直线 xy30 的距离为_ 解：由题意，可知曲线 yax(a0 且 a1)恒过点(0，1)，所以 A(0，1)， 点 A(0，1)到直
16、线 xy30 的距离 d|013| 2 2 故填 2 (3)直线 l 过点 P(1，2)且到点 A(2，3)和点 B(4，5)的距离相等， 则直线 l 的方程为_ 解法一：当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y2k(x1)，即 kx yk20 由题意知|2k3k2| k21 |4k5k2| k21 ， 即|3k1|3k3|，所以 k1 3 所以直线 l 的方程为 y21 3(x1)， 即 x3y50 当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x1，也符合题意 解法二：当 ABl 时，直线 l 的斜率 kkAB1 3，直线 l 的方程 为 y21 3(x1)，即 x3y50 当
17、 l 过 AB 的中点(1，4)时，由直线 l 过点 P(1，2)知， 直线 l 的方程为 x1 故所求直线 l 的方程为 x3y50 或 x1 故填 x3y50 或 x1 考点四考点四 对称问题对称问题 (1)(2019桂林模拟)点 P(2，5)关于直线 xy10 对称的点的坐标为 _ 解：设点 P(2，5)关于直线 xy10 的对称点为 Q(a，b)， 则 b5 a2 （1）1， a2 2 b5 2 10， 解得 a6， b3，即 P(2，5)关于直线 xy10 对称的点的坐标为(6，3) 故填(6，3) (2)已知直线 l：2x3y10，点 A(1，2)，则直线 l 关于点 A 对称 的
18、直线 l的方程为_ 解法一：在 l：2x3y10 上任取两点，如 P(1，1)，N(4，3)， 则 P，N 关于点 A 的对称点 P，N均在直线 l上 易知 P(3，5)，N(6，7)，由两点式可得 l的方程为 2x 3y90 解法二：设 Q(x，y)为 l上任意一点，则 Q(x，y)关于点 A(1， 2)的对称点为 Q(2x，4y)， 因为 Q在直线 l 上，所以 2(2x)3(4y)10，即 2x 3y90故填 2x3y90 (3)直线 l1：2xy40 关于直线 l：xy20 对称的直线 l2的方程 为_ 解：解方程组 2xy40， xy20， 得直线 l1与直线 l 的交点 A(2 3
19、， 8 3)在直线 l1 上取一点 B(2，0)，设点 B 关于直线 l 的对称点为 C(x，y)， 则 x2 2 y 220， y x21， 解得 x2， y4， 即 C(2，4) 又直线 l2过 A(2 3， 8 3)和 C(2，4)两点，故由两点式得直线 l2 的方程为y4 8 34 x2 2 32 ，即 x2y60故填 x2y60 【点拨】 关于中心对称问题的处理方法：若点 M(x1，y1)及 N(x，y)关于 P(a，b)对称，则由中 点坐标公式得 x2ax1， y2by1求直线关于点的对称直线的方程，其主要方法是：在已知直线上取两点， 利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐
20、标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对 称点，再利用两直线平行，由点斜式得到所求直线方程，当然，斜率必须存在 关于轴对称问题的处理方法：点关于直线的对称若两点 P1(x1，y1)与 P2(x2，y2)关于直线 l：Ax ByC0 对称，则线段 P1P2的中点在 l 上，且连接 P1P2的直线垂直于 l，由方程组 A x1x2 2 B y1y2 2 C0， y2y1 x2x1 A B 1， 可得到点 P1关于 l 对称的点 P2的坐标(x2，y2)(其中 B0，x1x2) 直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称问题来解决，有两种情况：一是 已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对
21、称轴平行 (1)点 A(2，a)与点 B(b，3)关于直线 l：x2ya0 对称，则 a3b_ 解：由题意知点 A 与点 B 的中点 P 的坐标为(b2 2 ，a3 2 )，因为 P 在直线 l 上，所以b2 2 2 a3 2 a0，得 b8又 ABl，所以 kAB(1 2)1， 即 a3 282，得 a23，所以 a3b23381故填 1 (2)直线 l1：y2x3 关于直线 l：yx1 对称的直线 l2 的方程为_ 解：由 y2x3， yx1， 得直线 l1与 l 的交点坐标为(2，1)， 所以可设直线 l2的方程为 y1k(x2)， 即 kxy2k10 在直线 l 上任取一点(1，2)，
22、由题设知点(1，2)到直线 l1，l2的距离相等，则 |k22k1| k21 |223| 221 ，解得 k1 2(k2 舍去)， 所以直线 l2的方程为 x2y0故填 x2y0 考点五考点五 直线系及其应用直线系及其应用 求证：动直线(m22m3)x(1mm2)y3m210(其中 mR)恒过定 点，并求出定点坐标 证法一：令 m0，则直线方程为 3xy10， 再令 m1 时，直线方程为 6xy40， 联立，得方程组 3xy10， 6xy40，解得 x1， y2 将点 A(1，2)代入动直线(m22m3)x(1mm2)y3m210 中， (m22m3)(1)(1mm2)23m21 (312)m
23、2(22)m2130， 故点 A(1，2)的坐标恒满足动直线方程，所以动直线(m22m3)x(1m m2)y3m210 恒过定点 A 证法二：将动直线方程按 m 降幂排列整理得， m2(xy3)m(2xy)3xy10， 不论 m 为何实数，式恒为零， 所以有 xy30， 2xy0， 3xy10， 解得 x1， y2 故动直线恒过点(1，2) 【点拨】 对证明直线系过定点问题， 常用方法有恒等式法和特殊 直线法，恒等式法就是将直线方程化为关于参数的恒等式形式，利用 参数为 R，则恒等式的系数为 0，列出关于 x，y 的方程组，通过解方 程组，求出定点坐标；特殊直线法就是取两个特殊参数值，得到两条
24、 特殊直线， 通过求出这两条直线的交点坐标并代入原直线系方程检验， 即得定点 若点 P(2，1)到直线 l：(13)x(12)y25 的距离 为 d，则 d 的取值范围是 ( ) A0， 13) B0，) C( 13，) D 13，) 解：把直线 l 的方程化为(xy2)(3x2y5)0， 由方程组 xy20， 3x2y50，解得 x1， y1，得直线 l 恒过定点 A(1，1)，其中直线 l 不包括直线 3x2y50 又|PA|（21）2（11）2 13，且 PA 与直线 3x2y50 垂直， 即点 P 到直线 3x2y50 的距离为 13，所以点 P 到直线 l 的距离 d 满足 0d 13故选 A
