1、25 指数与指数函数指数与指数函数 【教材梳理】 1根式 (1)n 次方根：如果 xna，那么 x 叫做 a 的_，其中 n1，且 nN* 当 n 为奇数时，正数的 n 次方根是一个_数，负数的 n 次方根是一个_数，这时 a 的 n 次方根用符号_表示 当 n 为偶数时，正数的 n 次方根有个，这两个数互为_这时，正数 a 的正的 n 次方根用符号 _表示，负的 n 次方根用符号_表示正的 n 次方根与负的 n 次方根可以合并写成 _ 负数没有偶次方根 0 的 n(nN*)次方根是_，记作_ (2)根式：式子 n a叫做根式，这里 n 叫做_，a 叫做_ (3)根式的性质：n 为奇数时，na
2、n_； n 为偶数时，nan_ 2幂的有关概念及运算 (1)零指数幂：a0_这里 a_0 (2)负整数指数幂：a n_ (a0，nN*) (3)正分数指数幂：a m n_ (a0，m，nN*，且 n1) (4)负分数指数幂：am n _ (a0，m，nN*，且 n1) (5)0 的正分数指数幂等于_，0 的负分数指数幂_ (6)有理指数幂的运算性质 aras_ (a0，r，sQ)； (ar)s_ (a0，r，sQ)； (ab)r_ (a0，b0，rQ) 3指数函数的图象及性质 定义 一般地， 函数 yax(a0， 且 a1)叫做指数 函数 a1 0a1 图象 定义域 _ 值域 _ 过定点 性
3、质 在 R 上是 在 R 上是 【自查自纠】 1(1)n 次方根 正 负 n a 两 相反数 n a n a n a 0 n 00 (2)根指数 被开方数 (3)a |a| 2(1)1 (2) 1 an (3) n am (4) 1 n am (5)0 没有意义 (6)ar s ars arbr 3R (0，) (0，1) 增函数 减函数 判断下列命题是否正确， 正确的在括号内画“”， 错误的画“” (1) n an( n a)na ( ) (2)分数指数幂 a m n可以理解为m n 个 a 相乘 ( ) (3)函数 y2x 1 是指数函数( ) (4)函数 ya x(a0，且 a1)是 R
4、 上的增函数 ( ) (5)函数 ya 2 1x (a1)的值域是(0，) ( ) 解：(1)； (2)； (3)； (4)； (5) (2020 四川省乐至县良安中学高一期中)27 2 3 1 2 16 1 2 2 8 27 2 3 ( ) A11 B15 2 C27 4 D3 解： 原式3 2 3 3 4 1 2 2 (2)2 2 3 2 3 3 91 44 9 43 故 选 D (2017北京卷)已知函数 f(x)3x 1 3 x ，则 f(x)( ) A是奇函数，且在 R 上是增函数 B是偶函数，且在 R 上是增函数 C是奇函数，且在 R 上是减函数 D是偶函数，且在 R 上是减函数
5、解：f(x)3 x 1 3 x 1 3 x 3xf(x)，所以该函数是奇函数，并且 y3x是增函 数，y 1 3 x 是减函数，则 y 1 3 x 是增函数，故该函数是增函数故选 A (20192020学年河南豫南九校高一上一联)函数 f(x)ax b 的图象如图， 其中 a， b 为常数，则下列结论正确的是( ) Aa1，b1，b0 C0a0 D0a1，b0 已知函数 f(x)2|2x m|(m 为常数)，若 f(x)在区间2，)上是增函数， 则 m 的取值范围是_ 解：令 t|2xm|，则 t|2xm|在区间 m 2 ， 上单调递增，在区间 ，m 2 上 单调递减而 y2t为 R 上的增函
6、数，所以要使函数 f(x)2|2x m|在2，)上单调递增， 则有m 2 2，即 m4，所以 m 的取值范围是(，4故填(，4 考点一考点一 指数幂的运算指数幂的运算 (1)计算：() 3 a 9 2 a 3 3 a 73 a13(a0)； ()(0027) 1 3 1 7 2 27 9 1 2( 21)0； ()5 6a 1 3b2(3a 1 2 b 1) (4a 2 3b3) 1 2(a，b0) 解：()原式(a 9 2a 3 2 ) 1 3(a 7 3 a 13 3 ) 1 2(a3) 1 3(a2) 1 2a a1 ()原式 27 1 000 1 372 25 9 1 2110 3 4
7、95 3145 ()原式5 2a 1 6 b 3(4a 2 3b3) 1 25 4a 1 6 b 3(a 1 3b 3 2 )5 4a 1 2 b 3 2 5 4 1 ab3 5 ab 4ab2 (2)已知 a 1 2a 1 2 3，求下列各式的值 ()aa 1； ()a2a 2； ()a 2a21 aa 11 解：()将 a 1 2a 1 2 3 两边平方，得 aa 129，所以 aa17 ()将 aa 17 两边平方，得 a2a2249，所以 a2a247 ()由()()可得a 2a21 aa 11471 71 6 【点拨】 指数幂运算的一般原则：指数幂的运算首先将根式、分 数指数幂统一为
8、分数指数幂，以便利用法则计算先乘除后加减，负 指数幂化成正指数幂的倒数底数是负数，先确定符号；底数是小数， 先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数运算结果不能同时含 有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数 (1)(2020 长沙市明德中学高一月考)15 1 3 7 6 08 1 44 2 3 2 3 6 2 3 2 3_ 解：原式 3 2 1 3 2 3 4 2 1 4 2233 2 3 1 3 2 3 1 3 2427 2 3 1 3 110 故填 110 (2)(2020 河北行唐县三中高一月考)若 2x3， 1 2 y 3 2，则 2 2xy_ 解：22x y（2 x）2 1 2
9、 y 9 3 2 6故填 6 (3)已知 xy12，xy9，且 xy，则x 1 2y 1 2 x 1 2y 1 2_ 解：因为x 1 2y 1 2 x 1 2y 1 2 （x 1 2y 1 2）2 （x 1 2y 1 2）（x 1 2y 1 2） xy2（xy） 1 2 xy ，又 xy12，xy9，且 x0， 所以 x0，(x 1 2x 1 2 )2x2x 15，x 1 2x 1 2 5， x 3 2x 3 2 (x 1 2x 1 2 )(xx 11)2 5， 所以 33 22 22 3 6 xx xx 2 53 76 2 53故填2 53 考点二考点二 指数函数的图象及应用指数函数的图象及
10、应用 (1)(2020 新疆石河子二中高一月考)函数 yaxb(a0， 且 a1)与 yaxb 的图象有可 能是 ( ) A B C D 解：因为 a0，所以 yaxb 为增函数，排除 A，C，由 B，D 可得 0a1， 对于 B 中函数 yaxb 的图象， 可以看出 b2， 若互不相等的实数 a，b，c 满足 f(a)f(b)f(c)，则 2a2b 2c的取值范围是 ( ) A(16，32) B(18，34) C(17，35) D(6，7) 解：画出函数 f(x)的图象如图所示 不妨令 abc， 由图象可知， ab1， 则由 f(a)f(b)得 12a2b1， 则 2a2b2结 合图象可得
11、4c5，故 162c32，所以 182a2b2c0，且 a1)的图象不经过第二象限，则需同时满足 ( ) Aa1 B0a0 Db0 解：由题意，函数 yaxb1 (a0，且 a1)的图象过第 一、三、四象 限，或过第一、三象限及原点，所以其大致图象如图所示 由图象可知函数为增函数，所以 a1， 当 x0 时，y1b1b0故选 AD (2)函数 f(x) 1 8 |x2| 的部分图象大致为 ( ) A B C D 解：由题意得，f(x)的定义域为 R，排除 C，D； 当 x2 时，f(x) 1 8 x2，因为 01 81，所以 f(x) 在2，) 上单调递减，排除 A故选 B (3)(2020
12、河南郑州四中高一期中)若函数 f(x)|2x4|a 存在两个零点，且 一个为正数，另一个为负数，则 a 的取值范围为( ) A(0，4) B(0，) C(3，4) D(3，) 解：如图， 若 f(x)|2x4|a 存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数， 可转化为函数 y|2x4|与 ya 的图象有两个交点， 且一个在 y 轴右侧， 另一个在 y 轴左侧， 作出它们的图象如图所示由图象知， a(3， 4)故 选 C 考点三考点三 指数函数的性质及应用指数函数的性质及应用 命题角度 1 比较指数式的大小 已知 4， 2 ，a(cos)cos，b(sin)cos，c(cos)sin，则( ) A
13、abc Bacb Cbac Dcab 解：因为 4， 2 ，所以 0cos 2 2 ，cos(cos)cos，根据指数函数的性质，可得(cos)cos(cos)sin，所以 bac故选 D 【点拨】 比较两个幂的大小，首先要分清是底数相同还是指数相 同如果底数相同，可利用指数函数的单调性；如果指数相同，可转化 为底数相同，或利用幂函数的单调性，也可借助函数图象；如果指数不 同，底数也不同，则要对原式变形或利用中间量 (2019河北正定中学模拟)已知定义在R上的函数f(x)2|x m|1(m为实数) 为偶函数， 记 af(log053)， bf(log25)， cf(2m)， 则 a， b， c
14、 的大小关系为 ( ) Aabc Bcab Cacb Dcba 解： 由函数 f(x)2|x m|1 为偶函数， 得 m0， 所以 f(x)2|x|1， 当 x0 时， f(x)为增函数， log053log23， 因为 log25|log23|0， 所以 bf(log25) af(log053)cf(2m)f(0)，故 bac故选 B 命题角度 2 解不等式 设函数 f(x) 1 2 x 7，x0， x，x0， 若 f(a)1，则实数 a 的取值范围是_ 解：当 a0 时，不等式 f(a)1 可化为 1 2 a 71，即 1 2 a 8，即 1 2 a 3又 a0，所以3a0当 a0 时，不
15、等式 f(a)1 可化为 a1， 所以 0a1 综上，a 的取值范围为(3，1)故填(3，1) 【点拨】 关于指数的解不等式问题，常利用指数函数的单调性，将 要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小 关系必要时要分析结构，构造函数 (2020全国卷)若 2x2y3 x3y， 则 ( ) Aln(yx1)0 Bln(yx1)0 Cln|xy|0 Dln|xy|0 解：由 2x2y3 x3y 得，2x3 x2y3y，令 f(t)2t3t， 因为 y2x为 R 上的增函数，y3 x 为 R 上的减函数，所以 f(t)为 R 上的增函数，所以 xy，即 yx0，所以 yx11，所
16、以 ln(yx 1)0，则 A 正确，B 错误；因为|xy|与 1 的大小不确定，故 C，D 无法确定故选 A 命题角度 3 判断函数的单调性 (2020 吉林辽源田家炳高中期末)若函数 f(x) a x，x1， 4a 2 x2，x0 成立，则实数 a 的取值范围是 ( ) A4，8) B(4，8) C(1，8 D(1，8) 解：由题意得，函数 f(x)是 R 上的增函数， 则由指数函数与一次函数单调性可知应满足 a1， 4a 20， a4a 22， 解得 4a0， 且 a1， 函数 ya2x2ax1 在1， 1上的最大值是 14，则实数 a 的值为_ 解：令 tax(a0，且 a1)，则原函
17、数化为 yf(t)(t1)22(t0) 当 0a1 时，x1，1，tax 1 a，a ， 此时 f(t)在 1 a，a 上是增函数所以 f(t)maxf(a)(a1) 2214，解得 a3 或 a5(舍去) 综上得 a1 3或 3故填 1 3或 3 (2)(20192020学年江西高一上期中)已知函数 f(x)x2，g(x) 1 2 x m，当 x1，2 时，不等式 f(x)g(x)恒成立，则实数 m 的取值范围是( ) A 15 4 ， B 1 2， C(3，) D(4，) 解：不等式 f(x)g(x)，即 x2 1 2 x m，因此 m 1 2 x x2， 令 h(x) 1 2 x x2，
18、则 h(x)在 x1，2上单调递减， 所以 h(x)的最大值是 h(1) 1 2 1 121 2， 因此实数 m 的取值范围是 1 2， 故选 B 【点拨】 求 yaf(x)或 yf(ax)(a0，且 a1)的值域，均遵循复合 函数“由内向外”的求值域原则，为了清晰起见，常利用换元法解题 (1)若 xlog521，则函数 y4x2x 13 的最小值为( ) A4 B3 C1 D0 解：由 xlog521 得 log52xlog51 5，即 2 x1 5，令 t2 x，则有 yt22t 3(t1)24，因为 t1 5，所以当 t1，即 x0 时，函数取得最小值为 4故选 A (2)当 x(，1时，不等式(m2m) 4x2x0 恒成立，则实数 m 的取 值范围是_ 解：原不等式变形为 m2m 1 2 x ，因为函数 y 1 2 x 在(，1上是减函数，所以 1 2 x 1 2 1 2，当 x(，1时，m2m 1 2 x 恒成立等价于 m2m2，解得 1m2故填(1，2)
