2022高考数学一轮总复习课件:2.8 函数与方程
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1、28 函数与方程函数与方程 【教材梳理】 1函数的零点 (1)定义:对于函数 yf(x),我们把使_的实数 x 叫做函数 yf(x)的零点 函数 yf(x)的零点就是方程 f(x)0 的_,也是函数 yf(x)的图象与 x 轴的_ (2)函数有零点的几个等价关系 方程 f(x)0 有实数根 函数 yf(x)的图象与 x 轴_ 函数 yf(x) _ 由此可知,求方程 f(x)0 的实数根,就是确定函数 yf(x)的_一般地,对于不能用公式求根的方 程 f(x)0 来说,我们可以将它与_联系起来,利用函数的性质找出零点,从而求出方程的根 2函数的零点存在性定理 如果函数 yf(x)在区间a,b上的
2、图象是连续不断的一条曲线,并且有_,那么,函数 yf(x) 在区间_内有零点,即存在 c_,使得_,这个 c 也就是方程 f(x)0 的根 【常用结论】 3对于零点存在性定理,须知满足条件的零点可能不惟一;不满足条件时, 也可能有零点 4确定函数 f(x)零点个数的基本思路 (1)判断二次函数 f(x)在 R 上的零点个数, 一般由对应的二次方程 f(x)0 的判别 式 0,0,0 来完成;对于一些不便用判别式判断零点个数的二次函数, 则要结合二次函数的图象进行判断 (2)对于一般函数零点个数的判断,不仅要用到零点存在性定理,有时还必须结 合函数的图象和性质才能确定,如三次函数的零点个数问题
3、(3)若函数f(x)在a, b上的图象是连续不断的一条曲线, 且是单调函数, 又f(a) f(b) 0,则 yf(x)在区间(a,b)内有唯一零点 【自查自纠】 1(1)f(x)0 实数根 交点的横坐标 (2)有交点 有零点 零点 函数 yf(x) 2f(a) f(b)0 (a,b) (a,b) f(c)0 判断下列命题是否正确,正确的在括号内画“” ,错误的画“” (1)函数的零点就是函数的图象与 x 轴的交点( ) (2)函数 yf(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象连续不断),则 f(a) f(b)0 ( ) (3)只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值 ( ) (4)二
4、次函数 yax2bxc(a0)在 b24ac0 时没有零点 ( ) (5)已知函数 f(x)在a,b内图象连续且单调,若 f(a) f(b)0,则函数 f(x)在a,b上有 且只有一个零点( ) 解:(1); (2); (3); (4); (5) 下列函数的图象均与 x 轴有交点,其中不宜用二分法求交点横坐标的是( ) A B C D 解:利用二分法求函数与 x 轴交点的横坐标,该函数的零点必须是变号零点,所 以根据这个条件可知,不宜用二分法求交点横坐标的是选项 C 的图象故选 C (2020 合肥市第八中学高一月考)若函数 f(x)2xx7 的零点所在的区间 为(k,k1)(kZ),则 k(
5、 ) A3 B4 C1 D2 解:因为 f(2)4270,且 f(x)单调递增,所以 f(x)的零点所在的区间 为(2,3),所以 k2故选 D (2018全国卷)已知函数 f(x) ex,x0, lnx,x0,g(x)f(x)xa若 g(x)存 在 2 个零点,则 a 的取值范围是( ) A1,0) B0,) C1,) D1,) 解:函数 g(x)f(x)xa 存在 2 个零点,即关于 x 的方程 f(x)xa 有 2 个 不同的实根,即函数 f(x)的图象与直线 yxa 有 2 个交点,作出直线 yxa 与函数 yf(x)的图象, 如图所示,由图可知,a1,解得 a1故选 C (2020
6、届湖北“荆、荆、襄、宜”四地七校高三上 10 月联考)函数 f(x) 3x2,x0, xlog36,x0的零点之和为_ 解:令 3x20,解得 xlog32,令 xlog360,解得 xlog36,则函数 f(x)的零点之和为 log32log36log31 31故填1 考点一考点一 判断函数零点所在区间判断函数零点所在区间 (1)函数 f(x)log8x 1 3x的一个零点所在的区间是 ( ) A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4) 解:因为函数 f(x)log8x 1 3x是连续的增函数,f(1)0 1 3 1 30,f(2) log821 6 1 3 1 60, 可得 f
7、(1)f(2)0, 所以函数 f(x)的零点所在的区间是(1, 2) 故 选 B (2)若 abc,则函数 f(x)(xa)(xb)(xb) (xc)(xc)(xa)的两 个零点分别位于区间 ( ) A(a,b)和(b,c)内 B(,a)和(a,b)内 C(b,c)和(c,)内 D(,a)和(c,)内 解: 易知 f(a)(ab)(ac), f(b)(bc)(ba), f(c)(ca)(cb)又 ab0,f(b)0,又该函数是二次函数,且图象开口向上,可知两个零 点分别位于区间(a,b)和(b,c)内故选 A 【点拨】 理解函数零点存在定理要注意三点: “函数 yf(x)在区间a,b上的图象是
8、一条连续不断的曲线”和“f(a)f(b)0),则函数 yf(x)( ) A在区间(0,1),(1,2)内均有零点 B在区间(0,1)内有零点,在区间(1,2)内无零点 C在区间(0,1),(1,2)内均无零点 D在区间(0,1)内无零点,在区间(1,2)内有零点 解:f(x)1 xx 1x2 x ,故 f(x)在(0,1)上递增,在(1,)递减,又 f 1 e ln1 e 1 2 1 e 2 10,f(2)ln210 的零点个数为( ) A0 B1 C2 D3 解:由 x0, x22x30,得 x3由 x0, 2lnx0,得 xe 2所以 f(x)的零点个 数为 2故选 C (2)已知 f(x
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