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2022届高考北师大版数学(理)一轮复习学案:8.1 直线与直线方程

1、 第一节 直线与直线方程 命题分析预测 学科核心素养 本节内容高考中很少独立考查,通常与切线方程、 圆的方程、圆锥曲线相结合,难度中等 本节主要提升考生的数学运算、直观想 象核心素养 授课提示:对应学生用书第 165 页 知识点一 直线的倾斜角与斜率 1直线的倾斜角 (1)定义:当直线 l 与 x 轴相交时,我们取 x 轴作为基准,x 轴正方向与直线 l 向上方向之间所 成的角 叫做直线 l 的倾斜角; (2)规定:当直线 l 与 x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为 0; (3)范围:直线 l 的倾斜角 的取值范围是0,) 2直线的斜率 (1)定义:当直线 l 的倾斜角 2时,其倾斜角 的正

2、切值 tan 叫做这条直线的斜率,斜率通 常用小写字母 k 表示,即 ktan_; (2)斜率公式:经过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1x2)的直线的斜率公式为 ky2y1 x2x1 温馨提醒 直线的斜率 k 与倾斜角 之间的关系 0 0 90 90 90 180 k 0 k0 不存在 k0 牢记口诀: “斜率变化分两段,90 是分界线; 遇到斜率要谨记,存在与否要讨论” 1直线 l:xsin 30 ycos 150 10 的斜率是( ) A 3 3 B 3 C 3 D 3 3 解析:直线 l 的斜率 ksin 30 cos 150 tan 30 3 3 答案:A 2若过点

3、M(2,m),N(m,4)的直线的斜率等于 1,则 m 的值为_ 解析:由题意得 m4 2m1,解得 m1 答案:1 知识点二 直线方程 名称 几何条件 方程 适用条件 斜截式 纵截距、斜率 ykxb 与 x 轴不垂直的直线 点斜式 过一点、斜率 yy0k(xx0) 两点式 过两点 yy1 y2y1 xx1 x2x1 与两坐标轴均 不垂直的直线 截距式 纵、横截距 x a y b1 不过原点且与两坐标 轴均不垂直的直线 一般式 AxByC0 (A2B20) 所有直线 温馨提醒 1用直线的点斜式求方程时,在斜率 k 不明确的情况下,注意分 k 存在与不存在讨论,否则 会造成失误 2直线的截距式中

4、易忽视截距均不为 0 这一条件,当截距为 0 时可用点斜式 1已知点 A(1,2),B(3,1),则线段 AB 的垂直平分线方程为( ) A4x2y50 B4x2y50 Cx2y50 Dx2y50 解析:线段 AB 的中点坐标为 2,3 2 ,直线 AB 的斜率 kAB12 31 1 2,所以所求直线的斜率 为 2,故所求直线方程为 y3 22(x2),即 4x2y50 答案:B 2直线 3x4yk0 在两坐标轴上的截距之和为 2,则实数 k( ) A24 B12 C12 D24 解析:令 x0,得 yk 4;令 y0,得 x k 3,则有 k 4 k 32,所以 k24 答案:A 3(易错题

5、)过点 P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为_ 解析:当截距为 0 时,直线方程为 3x2y0; 当截距不为 0 时,设直线方程为x a y a1, 则2 a 3 a1,解得 a5,所以直线方程为 xy50 答案:3x2y0 或 xy50 授课提示:对应学生用书第 166 页 题型一 直线的倾斜角与斜率 1已知直线 2xy30 的倾斜角为 ,则 sin 2 的值是( ) A1 4 B3 4 C4 5 D2 5 解析:直线 2xy30 的斜率 k2,所以 tan 2, 所以 sin 2 2sin cos sin2cos2 2tan tan21 22 221 4 5 答案:C 2 (20

6、21 烟台模拟)已知 p:“直线 l 的倾斜角 4”;q:“直线 l 的斜率 k1”,则 p 是 q 的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析:直线 l 的倾斜角 4,则直线 l 的斜率 ktan 1 或 k0;又直线 l 的斜率 k1,则 tan 1, 4, 2 ,p 是 q 的必要不充分条件 答案:B 3直线 l 过点 P(1,0) ,且与以 A(2,1) ,B(0, 3)为端点的线段有公共点,则直线 l 斜率的取值范围为_ 解析:如图,过 A(2,1) ,P(1,0)的直线的斜率为 k1 10 2(1) 1 3,过 B(0, 3) , P(1

7、,0)的直线的斜率为 k2 30 0(1) 3由图可知,过 P 的直线 l 与线段 AB 有公 共点的斜率的取值范围是 1 3, 3 答案: 1 3, 3 求倾斜角 的取值范围的一般步骤 (1)求出 tan 的取值范围 (2)利用正切函数的单调性,借助图像,确定倾斜角 的取值范围 题型二 直线方程的求法 根据所给条件求直线的方程: (1)直线过点(4,0) ,倾斜角的正弦值为 10 10 ; (2)直线过点(3,4) ,且在两坐标轴上的截距之和为 12; (3)直线过点(5,10) ,且与原点的距离为 5 解析: (1)由题设知,该直线的斜率存在,故可采用点斜式 设倾斜角为 ,则 sin 10

8、 10 (0) , 从而 cos 3 10 10 ,则 ktan 1 3 故所求直线方程为 y 1 3(x4) , 即 x3y40 或 x3y40 (2)由题设知纵横截距不为 0,设直线方程为x a y 12a1, 又直线过点(3,4) , 从而3 a 4 12a1,解得 a4 或 a9 故所求直线方程为 4xy160 或 x3y90 (3)当斜率不存在时,所求直线方程为 x50 满足题意; 当斜率存在时,设其为 k,则所求直线方程为 y10k(x5) ,即 kxy105k0 由点线距离公式,得|105k| k21 5,解得 k3 4 故所求直线方程为 3x4y250 综上,所求直线方程为 x

9、50 或 3x4y250 求直线方程的注意事项 (1)在求直线方程时,根据题目的条件选择适当的形式 (2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类与整合思想的运用(若采用点斜式,应先考 虑斜率不存在的情况;若采用截距式,应先判断截距是否为零) (3)重视直线方程一般形式的应用,因为它具有广泛的适用性 题型三 直线方程的应用 例 (1)设 mR,过定点 A 的动直线 xmy0 和过定点 B 的动直线 mxym30 交 于点 P(x,y) ,则|PA| |PB|的最大值是 ; (2)已知直线 l1:ax2y2a4,l2:2xa2y2a24,当 0a2 时,直线 l1,l2与两坐 标轴围成一个四边形,

10、当四边形的面积最小时,实数 a_ 解析 (1)由直线 xmy0 求得定点 A(0,0) ,直线 mxym30,即 y3m(x 1) ,所以得定点 B(1,3) 当 m0 时,两条动直线垂直,当 m0 时,因为 1 m m1, 所以两条动直线也垂直, 因为 P 为直线 xmy0 与 mxym30 的交点, 所以|PA|2|PB|2 |AB|210,所以|PA| |PB|PA| 2|PB|2 2 5(当且仅当|PA|PB| 5时,等号成立) ,所以 |PA| |PB|的最大值是 5 (2)由题意知直线 l1,l2恒过定点 P(2,2) ,直线 l1的纵截距为 2a,因为 0a2,所以 2a0,直线

11、 l2的横截距为 a22,所以四边形的面积 S1 22(2a) 1 22(a 22) a2a4 a1 2 2 15 4 ,又 0a2,所以当 a1 2时,面积最小 答案 (1)5 (2)1 2 求解与直线方程有关的最值问题时,先求出斜率或设出直线方程,建立目标函数,再利用基 本不等式或二次函数求解最值 对点训练 已知直线 xa2ya0(a 是正常数) ,当此直线在 x 轴,y 轴上的截距和最小时,正数 a 的值 是( ) A0 B2 C 2 D1 解析:直线 xa2ya0(a 是正常数)在 x 轴,y 轴上的截距分别为 a 和1 a,此直线在 x 轴, y 轴上的截距和为 a1 a2,当且仅当

12、 a1 时,等号成立故当直线 xa 2ya0 在 x 轴,y 轴上的截距和最小时,正数 a 的值是 1 答案:D 直线方程应用的核心素养 数学运算直线方程的交汇应用 例 (2021 重庆巴蜀中学模拟)已知曲线 y 2x x1在点 P(2,4)处的切线与直线 l 平行且 距离为 2 5,则直线 l 的方程为( ) A2xy20 B2xy20 或 2xy180 C2xy180 D2xy20 或 2xy180 解析 y2(x1)2x (x1)2 2 (x1)2,当 x2 时,y 2 (21)22,因此 kl2, 设直线 l 方程为 y2xb,即 2xyb0,由题意知|224b| 5 2 5,解得 b

13、18 或 b 2,所以直线 l 的方程为 2xy180 或 2xy20 答案 B 抓住导数的几何意义及直线方程的求法是解决此类问题的关键 对点训练 已知不全为零的实数 a,b,c 成等差数列,过点 A(1,2)作直线 l:axbyc0 的垂线与 直线 l 交于点 P,点 Q 在直线 3x4y120 上,则|PQ|的最小值是_ 解析:不全为零的实数 a,b,c 成等差数列,bac 2 ,代入动直线 l:axbyc0,得 axac 2 yc0,即 a(2xy)c(y2)0a,c 不全为零, 2xy0, y20, 解得 x 1,y2,动直线 l 过定点 N(1,2) 设点 P(x,y) ,当点 P 与 N 不重合时,APNP, AP NP(x1,y2) (x1,y2)0,整理,得 x2y22x30,即(x1)2 y24点 P 在以(1,0)为圆心,2 为半径的圆上,点 Q 在直线 3x4y120 上,圆心 (1,0)到直线 3x4y120 的距离 d |312| 324232,|PQ|的最小值等于圆心(1,0) 到直线 3x4y120 的距离 d 减去圆的半径 2,|PQ|的最小值为 321 答案:1