1、9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系最新考纲 考情考向分析1.会解决直线与圆的位置关系的问题.2.会判断圆与圆的位置关系.考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的判断；根据位置关系求参数的范围、最值、几何量的大小等.题型以选择、填空题为主，要求相对较低.1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离 d 和圆的半径 r 的大小关系 .dr相离.(2)代数法： Error! 判 别 式 b2 4ac2.圆与圆的位置关系设圆 O1：(xa 1)2(yb 1)2 r (r10)，21圆 O2：(xa 2)2(yb 2)2r (r20).2方法位置关系几何法：圆心距 d 与
2、 r1，r 2 的关系代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况外离 dr1r 2 无解外切 d r1r 2 一组实数解相交 |r1r 2|2，点 A(3，5)在圆外.显然，当切线斜率不存在时，直线与3 12 5 22 13圆相切，即切线方程为 x30，当切 线斜率存在时，可 设 所求切线方程为 y5k (x3)，即kxy 53k0.又圆心为(1， 2)，半径 r2，而 圆心到切线的距离 d 2，|3 2k|k2 1即|3 2 k|2 ，k ，k2 1512故所求切线方程为 5x12y 450 或 x30.题型一 直线与圆的位置关系命题点 1 位置关系的判断例 1 在ABC 中，若 asin A
3、bsin Bc sin C0，则圆 C：x 2y 21 与直线l：axbyc0 的位置关系是( )A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定答案 A解析 因为 asin Absin Bcsin C0，所以由正弦定理得 a2b 2c 20.故圆心 C(0，0)到直线 l：axbyc0 的距离 d 1r，故圆 C：x2y 21 与直线|c|a2 b2l：axbyc0 相切，故选 A.命题点 2 弦长问题例 2 若 a2b 22c 2(c0)，则直线 axbyc0 被圆 x2y 21 所截得的弦长为( )A. B.1 C. D.12 22 2答案 D解析 因为圆心(0，0)到直线 axbyc0 的距离
4、 d ，因此根据直角三|c|a2 b2 |c|2|c| 22角形的关系，弦长的一半就等于 ，所以弦 长为 .12 ( 22)2 22 2命题点 3 切线问题例 3 已知圆 C：(x1) 2(y2) 210，求满足下列条件的圆的切线方程.(1)与直线 l1：xy 40 平行；(2)与直线 l2：x2y 40 垂直；(3)过切点 A(4，1).解 (1)设切线方程为 xyb0，则 ，b12 ，|1 2 b|2 10 5切线方程为 xy 12 0.5(2)设切线方程为 2xym0，则 ，m5 ，|2 2 m|5 10 2切线方程为 2xy 5 0.2(3)k AC ， 2 11 4 13过切点 A(
5、4，1) 的切线斜率为3，过切点 A(4，1) 的切线方程为 y13(x4) ，即 3xy110.思维升华 (1)判断直线与圆的位置关系的常见方法几何法：利用 d 与 r 的关系.代数法：联立方程之后利用 判断.点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于 动直线问题.(2)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形.(3)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题.跟踪训练 1 (1)(2018浙江名校联盟联考) 已知直线 l：yaxb(a0)，圆C：x
6、2 y22x0，且 a2b 212ab，则直线 l 与圆 C 的位置关系是( )A.相离 B.不确定C.相切 D.相交答案 D解析 联立直线 l 的方程与圆 的方程可得Error!(a21)x 2(2ab2)xb 20，48ab4b 2.12aba 2b 2，4a 20.故直线 l 与圆 C 相交.(2)(2018浙江省台州市适应性考试) 在直线 l：ykx1 截圆 C：x 2y 22x30 所得的弦中，最短弦的长度为_.答案 2 2解析 直线 l 是直线系，过定点(0，1)，定点 (0，1)在圆 C 内，要使直线 l：ykx 1 截圆C：(x1) 2y 24 所得的弦最短，必 须使圆心(1
7、，0)和定点 (0，1)的连线与弦所在直线垂直，此时定点和圆心的连线，圆心和弦的一个端点的 连线与弦的一半 围成一个直角三角形，因 为圆心与定点之间的距离为 ，半径为 2，所以最短弦的长度为0 12 1 02 22 2 .22 22 2(3)过点 P(2，4)引圆(x1) 2( y1) 21 的切线，则切线方程为 _.答案 x2 或 4x3y 40解析 当直线的斜率不存在时，直 线方程为 x2，此 时， 圆 心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线 方程为 y4k(x2) ，即 kxy42k0，直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，即 d 1，解得 k ，|
8、k 1 4 2k|k2 12 |3 k|k2 1 43所求切线方程为 xy 42 0，43 43即 4x3y40.综上，切线方程为 x2 或 4x3y40.题型二 圆与圆的位置关系命题点 1 位置关系的判断例 4 分别求当实数 k 为何值时，两圆C1：x 2 y24x6y 120，C 2：x 2y 22x14y k0 相交和相切.解 将两圆的一般方程化为标准方程，得C1：(x2) 2( y3) 21，C 2：(x1) 2( y7) 250k，则圆 C1 的圆心为 C1(2，3)，半径 r11；圆 C2 的圆心为 C2(1，7)，半径 r2 ，k0)截直线 xy 0 所得线段的长度是 2 ，则2
9、圆 M 与圆 N：(x1) 2(y 1) 21 的位置关系是( )A.内切 B.相交 C.外切 D.相离答案 B解析 圆 M：x2(y a) 2a 2(a0)，圆心坐标为 M(0，a)，半径 r1为 a，圆心 M 到直线 xy0 的距离 d ，|a|2由几何知识得 2( )2a 2，解得 a2.(|a|2) 2M(0，2) ，r1 2.又圆 N 的圆心坐标 N(1，1)，半径 r21，|MN | ，1 02 1 22 2r1r 23，r 1r 21.r 1r 211， 两圆外离，故选 A.2 02 2 02 24.(2018金华模拟)过点 P(1，2)作圆 C：(x1) 2y 21 的两条切线
10、，切点分别为 A，B，则 AB 所在直线的方程为( )A.y B.y34 12C.y D.y32 14答案 B解析 圆(x1) 2y 21 的圆心为(1 ，0)，半径为 1，以 |PC| 2 为直径1 12 2 02的圆的方程为(x1) 2(y 1) 21，将两圆的方程相减得 AB 所在直线的方程为 2y10，即y .125.(2019台州调研)若点 A(1，0)和点 B(4，0)到直线 l 的距离依次为 1 和 2，则这样的直线有( )A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条答案 C解析 如图，分别以 A，B 为圆心， 1，2 为半径作圆. 由题意得，直线 l 是圆 A 的切线， A
11、到 l 的距离为 1，直线 l 也是圆 B 的切线， B 到 l 的距离为2，所以直线 l 是两圆的公切线，共 3 条(2 条外公切线， 1 条内公切线).6.直线 x2ym0(m0)与O ：x 2y 25 交于 A，B 两点，若 | |2| |，则 m 的取OA OB AB 值范围是( )A.( ，2 ) B.(2 ，5) C.( ，5) D.(2， )5 5 5 5 5答案 B解析 直线 x2y m0 与O：x 2y 25 交于相异两点 A，B，O 点到直线 x2ym0 的距离 d2| |，2d2| |，OA OB AB AB 即 d| |2 ，解得 d2.又 d0，解得 m(2 ，5).
12、5|m|5 5 57.(2018浙江省杭州市七校联考) 过 F(1，0)作直线 l 与圆(x 4) 2y 24 交于 A，B 两点，若|AB|2 ，则圆心到直线 l 的距离为_，直线 l 的方程为_.3答案 1 y (x1)24解析 易知直线 l 的斜率存在，故可设直线 l：yk(x1) ，得圆心(4，0)到直线 l 的距离 d，又由圆的弦、半径、弦心距三者间的关系得 d 1，得 1，即|k4 1|k2 1 4 32 |k4 1|k2 1k ，故直线 l 的方程为 y (x1).24 248.(2018宁波模拟)已知直线 l：mxy1.若直线 l 与直线 xmy10 平行，则 m 的值为_；动
13、直线 l 被圆 x22xy 2240 截得的弦长的最小值为_.答案 1 2 23解析 由直线 mxy1 与直线 xmy10 平行得 m210，且 ，解得 m1.圆m1 1 1x22xy 224 0 化为标准方程 为( x1) 2y 225，直线 mxy1 过定点(0 ， 1)，因为点(0，1)在圆(x1) 2y 225 内，则当直线 l 垂直于点(0，1)与圆心(1，0)连线所在的直线时，直线被圆截得的弦长最短，此时圆心到直线 mxy1 的距离即为点(0，1)与圆心(1，0)连线的 长度，即为 ，则直线被圆截得的弦 长的最小值为12 12 22 2 .25 22 239.已知圆 E：x 2y
14、22x0，若 A 为直线 l：x ym 0 上的点，过点 A 可作两条直线与圆E 分别切于点 B，C，且ABC 为等边三角形，则实数 m 的取值范围是_.答案 2 1，2 12 2解析 设圆 E 的圆心为 E，半径为 r，圆 E：x2y 22x0，即(x1) 2y 21， 则圆心E(1，0)，半径 r 为 1，由题意知直线 l 上存在点 A，使得 sin 30 ，即 |AE|2r.r|AE| 12又因为|AE|d(d 为圆心到直 线 l 的距离)，故要使点 A 存在，只需 d2r2，可得 2，|1 m|2解得 m2 1，2 1.2 210.已知圆 C1：x 2y 22aya 240 和圆 C2
15、：x 2y 22bx1b 20 外切，若aR，bR 且 ab0，则 的最小值为_.1a2 1b2答案 49解析 x 2y 22ay a 24 0，即 x2(ya) 24，x 2y 22bx1b 20，即(xb )2y 2 1.依题意可得 213，即 a2b 29，故 1.a2 b2a2 b29所以 ，1a2 1b2 (1a2 1b2)a2 b29 19(1 b2a2 a2b2 1) 19(2 2 b2a2a2b2) 49当且仅当 ab 时取等号.11.已知圆 C：x 2y 22x4y10，O 为坐标原点，动点 P 在圆 C 外，过 P 作圆 C 的切线，设切点为 M.(1)若点 P 运动到(1
16、，3)处，求此时切线 l 的方程；(2)求满足条件| PM|PO|的点 P 的轨迹方程.解 把圆 C 的方程化为标准方程 为(x1) 2( y2) 24，圆心为 C(1，2)，半径 r 2.(1)当 l 的斜率不存在时，此时 l 的方程为 x1，C 到 l 的距离 d2r，满足条件.当 l 的斜率存在时，设斜率为 k，得 l 的方程为 y3k(x1)，即 kxy3k0，则 2，解得 k .| k 2 3 k|1 k2 34l 的方程为 y3 (x1)，34即 3x4y150.综上，满足条件的切线 l 的方程为 x1 或 3x4y 150.(2)设 P(x，y)，则|PM| 2| PC|2 |M
17、C|2(x1) 2( y2) 24，|PO|2x 2y 2，|PM| |PO|，(x1) 2(y 2)24x 2y 2，整理，得 2x4 y10，点 P 的轨迹方程为 2x4y10.12.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知以 M 为圆心的圆 M：x 2y 212x14y600 及其上一点 A(2， 4).(1)设圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，且圆心 N 在直线 x6 上，求圆 N 的标准方程；(2)设平行于 OA 的直线 l 与圆 M 相交于 B，C 两点，且|BC| OA|，求直线 l 的方程；(3)设点 T(t， 0)满足：存在圆 M 上的两点 P 和 Q，使得 ，求实数
18、t 的取值范围.TA TP TQ 解 (1)圆 M 的方程化 为标准形式 为(x6) 2( y7) 225，圆心 M(6，7)，半径 r5，由题意，设圆 N 的方程为(x 6) 2(yb) 2b 2(b0).且 b5.6 62 b 72解得 b1，圆 N 的标准方程为( x6) 2(y1) 21.(2)k OA2，可设 l 的方程为 y2xm ，即 2xym 0.又|BC | |OA| 2 .22 42 5由题意，圆 M 的圆心 M(6，7)到直线 l 的距离为 d 2 .52 (|BC|2)2 25 5 5即 2 ，解得 m5 或 m15.|26 7 m|22 12 5直线 l 的方程为 y
19、2x5 或 y2x15.(3)由 ，则四边形 AQPT 为平行四边形，TA TP TQ 又P，Q 为圆 M 上的两点，|PQ|2r10.|TA| | PQ| 10，即 10，t 22 42解得 22 t22 .21 21故所求 t 的取值范围为22 ，22 .21 2113.已知直线 l：(m2)x (m 1)y44m0 上总存在点 M，使得过 M 点作的圆C：x 2 y22x4y 30 的两条切线互相垂直，则实数 m 的取值范围是( )A.m1 或 m2 B.2m8C.2m10 D.m2 或 m8答案 C解析 如图，设切点分别为 A，B.连接 AC，BC，MC，由AMB MACMBC90及|
20、MA| |MB| 知，四边形 MACB 为正方形，故|MC| 2，若直线 l 上总存在点 M 使得过点 M 的两条切线互相垂直，只需 圆心( 1， 2)到2 2直线 l 的距离 d 2，即 m28m200，2m10，故选 C.| m 2 2m 2 4 4m|m 22 m 1214.若O：x 2y 25 与O 1：( xm )2y 220( mR )相交于 A，B 两点，且两圆在点 A 处的切线互相垂直，则线段 AB 的长是_.答案 4解析 O 1 与O 在 A 处的切线互相垂直，如 图，可知两切线分别过另一圆的圆心，O 1AOA .又|OA| ，|O1A|2 ，| OO1|5.5 5又 A，B
21、 关于 OO1 所在直线对 称，AB 长为 RtOAO 1 斜边上的高的 2 倍，|AB| 2 4.525515.已知圆 O：x 2y 29，点 P 为直线 x2y 90 上一动点，过点 P 向圆 O 引两条切线PA，PB，A，B 为切点，则直线 AB 过定点( )A. B.(49，89) (29，49)C.(1，2) D.(9，0)答案 C解析 因为 P 是直线 x2y 90 上的任一点，所以设 P(92m ，m)，因为 PA，PB 为圆x2y 29 的两条切线，切点分别为 A，B，所以 OAPA，OBPB，则点 A，B 在以 OP 为直径的圆(记为圆 C)上，即 AB 是圆 O 和圆 C
22、的公共弦，易知圆 C 的方程是 2 2 ，(x 9 2m2 ) (y m2) 9 2m2 m24又 x2y 29，得，(2m9)x my90，即公共弦 AB 所在直线的方程是(2m9) xmy90，即m(2xy) (9x9)0，由Error!得 x1，y2.所以直线 AB 恒过定点(1 ，2)，故选 C.16.已知抛物线 C：y 24x 的焦点为 F，过点 F 且斜率为 1 的直线与抛物线 C 交于点 A，B，以线段 AB 为直径的圆 E 上存在点 P，Q ，使得以 PQ 为直径的圆过点 D ，求实数 t( 32，t)的取值范围.解 由题意可得直线 AB 的方程为 xy 1，与 y24x 联立
23、消去 x，可得 y24y40，显然16 160，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1y 24，y 1y2 4，设 E(xE，yE)，则yE 2，x Ey E13 ，又 |AB|x 1x 22y 11y 2128，所以圆 E 是以(3，2)y1 y22为圆心，4 为半径的圆，所以点 D 恒在圆 E 外.圆 E 上存在点 P，Q，使得以 PQ 为直径的圆过点 D ，即圆 E 上存在点 P，Q，使得 DPDQ， 设过 D 点的两直线分别切圆 E 于( 32，t)P，Q点，要满足题意，则PDQ ，所以 ，整理得2 |EP |DE|4(3 32)2 (2 t)2 22t24t 0，解得 2 t2 ，故实数 t 的取值范围为 .314 472 472 2 472，2 472
