1、专题 9 二次函数的实际应用问题例题精讲例 1.定义符号 mina，b 的含义为：当 ab 时 mina，b=b；当 ab 时 mina，b=a 如：min1，-3=3，min 4， 2=4，则 minx2+2，x的最大值是（ ）A. 1 B. 2 C. 1 D. 0【答案】 C 【解析】【解答】联立 y= -x2+2y= -x解得 ， x1= -1y1=1 x2=2y2= -2所以 minx2+2， x的最大值是 1故答案为：C例 2.如图，有一块边长为 6cm 的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是
2、（ ）A. cm2 B. cm2 C. cm2 D. cm2332 3 92 3 272 3【答案】 C 【解析】【解答】解：ABC 为等边三角形A=B=C=60，AB=BC=AC筝形 ADOK筝形 BEPF筝形 AGQHAD=BE=BF=CG=CH=AK折叠后是一个三棱柱DO=PE=PF=QG=QH=OK，四边形 ODEP、四边形 PFGQ、四边形 QHKO 都为矩形ADO=AKO=90连结 AO，在 RtAOD 和 RtAOK 中AO=AOOD=OKRtAODRtAOK（HL ）OAD=OAK=30设 OD=x，则 AO=2x，由勾股定理就可以求出 AD= x3DE=62 x3纸盒侧面积=
3、3x （6 2 x）=6 x2+18x3 3=6 （x ） 2+ 332 932当 x= 时，纸盒侧面积最大为 32 932故答案为：C例 3.图 2 是图 1 中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为 O，B ，以点 O 为原点，水平直线 OB 为 轴，x建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线 ，桥拱与桥墩 AC 的交点y= -1400(x-80)2+16C 恰好在水面，有 AC 轴。若 OA=10 米，则桥面离水面的高度 AC 为（ ）xA. 米 B. 米 C. 米 D. 米16140 174 16740 154【答案】 B 【解析】【解答】根据题意，由 ACx 轴，OA=10 米，
4、可知点 C 的横坐标为-10，然后把 x=-10 代入函数的解析式 =- ，即 C 点为（-10，- ），因此可知桥面离水面的高度 AC 为 m.y= -1400(x-80)2+16 174 174 174故答案为：B例 4.一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为 y=- ，当116x2水面离桥拱顶的高度 OC 是 4m 时，水面的宽度 AB 为_m 【答案】 16 【解析】【解答】解：根据题意 B 的纵坐标为-4把 y=-4 代入 y=- x2 116得 x=8A（-8 ， -4），B（8，-4）AB=16m即水面宽度 AB 为 16m故答案为：16例
5、 5.若关于 x 的方程 x2+2mx+m2+3m-2=0 有两个实数根 x1、x 2，则 x1(x1+x2)+x22 的最小值为_【答案】 54【解析】【解答】设关于 的方程 的两根是： x x2+2mx+m2+3m-2=0 x1、 x2 ， x1+x2= -2m x1 x2=m2+3m-2 x1(x1+x2)+x22= x12+x1 x2+x22= (x1+x2)2-x1 x2= (-2m)2-(m2+3m-2)= 3m2-3m+2= 3(m-12)2+54当 时， 有最小值为： m=12 x1(x1+x2)+x22 54习题精炼1.如图为一座抛物线型的拱桥，AB、CD 分别表示两个不同位
6、置的水面宽度，O 为拱桥顶部，水面 AB 宽为10 米，AB 距桥顶 O 的高度为 12.5 米，水面上升 2.5 米到达警戒水位 CD 位置时，水面宽为（ ）米A. 5 B. 2 C. 4 D. 85 52.图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在 l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面 2m，水面宽 4m如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ） A.y=2x2 B.y=2x2 C.y= x2 D.y= x212 123.绍兴是著名的桥乡，如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离 CD 为 8m，桥拱半径 OC 为 5m，则水面宽 AB 为（ ）A. 4m B. 5m C. 6m
7、D. 8m4.如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为 12m 的住房墙，另外三边用 25m 长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个 1m 宽的门，花圃面积为 80m2 ， 设与墙垂直的一边长为xm（已标注在图中），则可以列出关于 x 的方程是（ ）A. x（ 262x）=80 B. x（24 2x）=80 C. （x1 ）（262x） =80 D. x（25 2x）=805.如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园 ABCD (围墙 MN 最长可利用 25m)，现在已备足可以砌 50m 长的墙的材料，若设计一种砌法，使矩形花园的面积为 300
8、m2 则 AB长度为（ ） A. 10 B. 15 C. 10 或 15 D. 12.56.如图所示是由截面为同一种矩形的墙砖粘贴的部分墙面，其中三块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高10cm，两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低 40cm，则每块墙砖的截面面积是（ ）A. 425cm2 B. 525cm2 C. 600cm2 D. 800cm27.如图，从某建筑物 10m 高的窗口 A 处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直）如果抛物线的最高点 M 离墙 1m，离地面 m，则水流落地点 B 离墙的距离 OB 是（ ） 403A. 2m B. 3m C. 4m D. 5m8.某广
9、场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为 x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线 yx 24x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是 ( )A. 4 米 B. 3 米 C. 2 米 D. 1 米9.某幢建筑物，从 10 米高的窗口 A 用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状 (抛物线所在平面与墙面垂直，如图)若抛物线的最高点 P 离墙一米，离地面 米，则水流落地点 B 离墙的距离 OB 是( )403A. 2 米 B. 3 米 C. 4 米 D. 5 米10.某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子 OA，O 恰为水面中心，安置在柱子顶端
10、 A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.在过 OA 的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度 y（m）与水平距离 x（m）之间的关系式是 ，则下列结论：（ 1）柱子 OA 的高度为 3m；（2）喷出的水流距柱子 1m 处达到最y= -x2+2x+3大高度；（3）喷出的水流距水平面的最大高度是 4m；（4）水池的半径至少要 3m 才能使喷出的水流不至于落在池外.其中正确的有（ ）A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 411.某公园草坪的防护栏是由 100 段形状相同的抛物线形组成的为了牢固起见，每段护栏需要间距 0.4m加设一根不锈钢的支柱，
11、防护栏的最高点距底部 0.5m（如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（ ）A. 50m B. 100m C. 160m D. 200m12.如图，庄子大桥有一段抛物线形的拱梁，抛物线的表达式为 y=ax2+bx，小强骑自行车从拱梁一端 O 沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面 OC，当小强骑自行车行驶 10 秒时和 26 秒时拱梁高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面 OC 共需（ ） A. 18 秒 B. 36 秒 C. 38 秒 D. 46 秒13.一种包装盒的设计方法如图所示，四边形 ABCD 是边长为 30cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚
12、线折起，使得 A，B，C，D 四点重合于图中的点 O，形成一个底面为正方形的长方体包装盒设 BE=CF=xcm，要使包装盒的侧面积最大，则 x 应取( ) A. 12.5cm B. 10cm C. 7.5cm D. 5cm14. 如图 1，点 E 为矩形 ABCD 边 AD 上一点，点 P，点 Q 同时从点 B 出发，点 P 沿 BEEDDC 运动到点C 停止，点 Q 沿 BC 运动到点 C 停止，它们运动的速度都是 1cm/s，设 P，Q 出发 t 秒时， BPQ 的面积为ycm2 ， 已知 y 与 t 的函数关系的图形如图 2（曲线 OM 为抛物线的一部分），则下列结论：AD=BE=5cm
13、；当 0t5 时， ；直线 NH 的解析式为 ；若ABE 与QBPy=25t2 y= -52t+27相似，则 t= 秒。其中正确的结论个数为( )294A. 4 B. 3 C. 2 D. 115.已知实数 m，n 满足 mn2=1，则代数式 m2+2n2+4m1 的最小值等于_16.如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于 A、B 两点，拱桥最高点 C 到 AB的距离为 4m，AB=12m，D、 E 为拱桥底部的两点，且 DEAB，点 E 到直线 AB 的距离为 5m，则 DE 的长为_ m 17.某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在
14、如图所示的三处各留 1m 宽的门已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为 27m，则能建成的饲养室面积最大为_m2 18.某服装店购进单价为 15 元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为 25 元时平均每天能售出 8 件，而当销售价每降低 2 元，平均每天能多售出 4 件，当每件的定价为 _元时，该服装店平均每天的销售利润最大 19.一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为 y=- ，当116x2水面离桥拱顶的高度 OC 是 4m 时，水面的宽度 AB 为_m 20.如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分 ACB 和矩形的三边
15、 AE，ED ，DB 组成，已知河底 ED 是水平的，ED=16m，AE=8m，抛物线的顶点 C 到 ED 的距离是 11m试以 ED 所在的直线为 x 轴，抛物线的对称轴为 y 轴建立平面直角坐标系，求题中抛物线的函数表达式_答案解析部分一、单选题1.【答案】 C 【解析】【解答】解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，水面 AB 宽为 10 米，AB 距桥顶 O 的高度为 12.5 米，B（5， 12.5），设抛物线的解析式为：y=ax 2 ， 把 B（5， 12.5）代入 y=ax2 得12.5=25a，a= ， 12抛物线的解析式为：y= x2 ， 12水面上升 2.5 米到达警戒水位
16、 CD 位置，设 D（m，10），代入 y= x2 得：10= x2 ， 12 12x=2 ， 5CD=4 ， 5水面宽为 4 米5故选 C2.【答案】 C 【解析】【解答】解：设此函数解析式为：y=ax 2 ， a0； 那么（2，2）应在此函数解析式上则2=4a即得 a= ，12那么 y= x2 12故答案为：C3.【答案】 D 【解析】【解答】连接 OA，根据垂径定理可得 AB=2AD，根据题意可得：OA=5m，OD=CDOC=85=3m，根据勾股定理可得：AD=4m，则 AB=2AD=24=8m.故答案为：D4.【答案】 A 【解析】【解答】解：设与墙垂直的一边长为 xm，则与墙平行的一
17、边长为（262x）m，根据题意得：x（26 2x）=80故选 A5.【答案】 B 【解析】【解答】设 AB=x 米，则 BC=（50-2x）米 根据题意可得，x（50-2x）=300 ，解得：x 1=10，x 2=15，当 x=10，BC=50-10-10=30 25，故 x1=10（不合题意舍去），故答案为：B6.【答案】 B 【解析】【解答】解：设每块墙砖的长为 xcm，宽为 ycm，根据题意得： ，x+10=3y2x=2y+40解得： ，x=35y=15则每块墙砖的截面面积是 3515=525cm2 ， 故选：B7.【答案】 B 【解析】【解答】解：设抛物线的解析式为 y=a（x1 ）
18、2+ ，由题意，得 40310=a+ ，403a= 103抛物线的解析式为：y= （x1 ） 2+ 103 403当 y=0 时，0= （x1） 2+ ，103 403解得：x 1=1（舍去），x 2=3OB=3m故选：B8.【答案】 A 【解析】 【 分析 】 根据题意可以得到喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线 y=-x2+4x 的顶点坐标的纵坐标，利用配方法或公式法求得其顶点坐标的纵坐标即为本题的答案【解答】水在空中划出的曲线是抛物线 y=-x2+4x，喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线 y=-x2+4x 的顶点坐标的纵坐标，y=-x2+4x=-（x-2) 2+4，顶点坐标为：（2
19、 ，4)，喷水的最大高度为 4 米，故选 A9.【答案】 B 【解析】【解答】设抛物线的解析式为 y=a + ，由题意知点（1， ）和（0，10 ）在图象上，所以(1)2403 403代入可得到 a= ，所以抛物线的解析式为 y=- + ，当 y=0 时可得到 =-1（舍去） =3，故103 103(1)2403 1 2OB=3.10.【 答案】 D 【解析】【解答】当 x=0 时，y=3，故柱子 OA 的高度为 3m；（1）正确；y=-x2+2x+3=-（x-1） 2+4，顶点是（1，4），故喷出的水流距柱子 1m 处达到最大高度，喷出的水流距水平面的最大高度是 4 米；故（2）（3）正确；
20、解方程-x 2+2x+3=0，得 x1=-1，x 2=3，故水池的半径至少要 3 米，才能使喷出的水流不至于落在水池外，（4 ）正确故答案为：C11.【 答案】 C 【解析】【解答】建立如图所示的直角坐标系，则 A 点坐标为（-1 ，0)、B 点坐标为（1，0)，C 点坐标为（0，0.5)，D 点坐标为（0.2，0)，F 点坐标为（0.6 ，0)，设抛物线解析式为 y=a（x-1)（x+1)，把 C（0 ，0.5) 代入得 a=-0.5，所以抛物线解析式为 y=-0.5x2+0.5，当 x=0.2 时，y=-0.50.2 2+0.5=0.48，当 x=0.6 时，y=-0.50.6 2+0.5
21、=0.32，所以 DE=0.48，FP=0.32，所以每段护栏需要不锈钢支柱的长度=2（DE+FP)=2（0.48+0.32)=1.6（m)，所以 100 段护栏需要不锈钢支柱的总长度=1001.6m=160m故选 C12.【 答案】B 【解析】【解答】解：如图所示： 设在 10 秒时到达 A 点，在 26 秒时到达 B，10 秒时和 26 秒时拱梁的高度相同，A，B 关于对称轴对称则从 A 到 B 需要 16 秒，则从 A 到 D 需要 8 秒从 O 到 D 需要 10+8=18 秒从 O 到 C 需要 218=36 秒故选：B13.【 答案】 C 【解析】【解答】 解：如图：在 RtGBE
22、 中，BG=BE=x，GE2=BG2+BE2 ， GE= x，2又 BE=CF=x，BC=30，EF=30-2x，在 RtHEF 中，EH2+FH2=EF2 ， EH= ， 30-2x2S 侧 =4 x，30-2x2 2=4x（30-2x ），=-8x2+120x，=-8（x- ） 2+450，152当 x=7.5 时，包装盒的侧面积最大.故答案为：C.14.【 答案】 B 【解析】【解答】根据图（2）可得，当点 P 到达点 E 时点 Q 到达点 C，点 P、Q 的运动的速度都是 1cm/s，BC=BE=5cm，AD=BE=5（故 正确）；如图 1，过点 P 作 PFBC 于点 F，根据面积不
23、变时BPQ 的面积为 10，可得 AB=4，ADBC，AEB=PBF，sinPBF=sinAEB= ， ABBE=45PF=PBsinPBF= t，45当 0t5 时，y= BQPF= t t= t2（ 故 正确）；12 12 45 25根据 5-7 秒面积不变，可得 ED=2，当点 P 运动到点 C 时，面积变为 0，此时点 P 走过的路程为 BE+ED+DC=11，故点 H 的坐标为（11，0 ），设直线 NH 的解析式为 y=kx+b，将点 H（11， 0），点 N（7，10）代入可得： ， 11k+b=07k+b=10)解得： 故直线 NH 的解析式为：y=- ， （故 错误）；k=
24、-52b=552) 52t+552当ABE 与QBP 相似时，点 P 在 DC 上，如图 2 所示：tanPBQ=tanABE= ， 34 = ， 即 = ， PQBQ34 11-t5 34解得：t= （故正确）；294综上可得正确，共 3 个故选：B15.【 答案】 4【解析】【解答】解：m n2=1，即 n2=m10，m1，原式 =m2+2m2+4m1=m2+6m+912=（m+3 ） 212，则代数式 m2+2n2+4m1 的最小值等于（ 1+3） 212=4故答案为：416.【 答案】 18 【解析】【解答】解：如图所示，建立平面直角坐标系，x 轴在直线 DE 上，y 轴经过最高点 C
25、 设 AB 与 y 轴交于点 H，AB=12，AH=BH=6，由题可知：OH=5，CH=4，OC=5+4=9，B（6， 5），C（0，9）设该抛物线的解析式为：y=ax 2+k，顶点 C（0，9），抛物线 y=ax2+9，代入 B（6 ，5）5=36a+9，解得 a= ，19抛物线：y= x2+9，19当 y=0 时，0= x2+9，解得 x=9，19E（9， 0），D（9 ，0），OE=OD=9，DE=OD+OE=9+9=18，故答案为：1817.【 答案】 75 【解析】【解答】解：设垂直于墙的材料长为 x 米，则平行于墙的材料长为 27+33x=303x，则总面积 S=x（ 303x）=
26、3x 2+30x=3（x 5） 2+75，故饲养室的最大面积为 75 平方米，故答案为：7518.【 答案】22 【解析】【解答】解：设定价为 x 元，根据题意得：y=（x 15）8+2（25x ）=2x2+88x870y=2x2+88x870，=2（x22） 2+98a=20，抛物线开口向下，当 x=22 时，y 最大值 =98故答案为：2219.【 答案】 16 【解析】【解答】解：根据题意 B 的纵坐标为-4， 把 y=-4 代入 y=- x2 ， 116得 x=8，A（-8 ， -4），B（8，-4），AB=16m即水面宽度 AB 为 16m故答案为：1620.【 答案】y= x2+11 364【解析】【解答】解：如图所示由题知抛物线的顶点坐标为（0，11），B（8 ，8），设抛物线的表达式为 y=ax2+11，将点 B 的坐标（8，8 ）代入抛物线的表达式得： ，a= -364所以抛物线的表达式为：y= x2+11364
