1、2019 年高考理科数学考前 30 天- 计算题专训（十七）17 （本小题满分 12 分）ABC中，角 ， B， C的对边分别为 a， b， c，且 2os2Cca（1）求角 的大小；（2）若 4a， 边上的中线 7AD，求 AB 的面积【答案】 （1） 2cos2bCa，由正弦定理，得 2sincosi2inCA，AB， ini()siciB，2sincos2con)，iC，0， sin0， 1cos2B， 3（2）在 ABD 中，由余弦定理得：22sDAB，即2471c，解得 3c，sin422ABCSa18 （本小题满分 12 分）某学校依次进行 A、B 两科考试，当 A 科合格时，才可
2、考 B 科，且两科均有一次补考机会，两科都合格方通过甲同学参加考试，已知他每次考 A 科合格的概率均为 23，每次考 B 科合格的概率均为 12假设他不放弃每次考试机会，且每次考试互不影响（1）求甲恰好 3 次考试通过的概率；（2）记甲参加考试的次数为 X，求 X 的分布列和均值【答案】 （1）甲恰好 3 次通过考试有两种情况，第一种情况是第一次 A 科通过，第二次 B 科不过，第三次 B 科通过；第二种情况是第一次 A 科没通过，第二次A 科通过，第三次 B 科通过，21215()338P（2）由题意得 、 、 4， 214()39P；121(3)()()32P；214 9，则 的分布列为：
3、 2 3 4P4919418()2393E19 （本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 P ABCD 中，PA平面ABCD，AB AD，ADBC ，APABAD1，直线 PB 与 CD 所成角的大小为 3（1）若 Q 是 BC 的中点，求三棱锥 D PQC 的体积；（2）求二面角 B PD A 的余弦值【答案】 （1）以 AB， D， P为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz因为 APABAD1，所以 A（0，0，0） ，B（1，0，0） ，D （0，1，0） ，P（0，0，1） 设 C（1，y ， 0） ，则 P（1，0，1） ，CD（1，1y ，0） 因为直线 PB 与 C
4、D 所成角大小为 3，所以 1cos, 2PBCD，即 212()y，解得 y2 或 y0（舍） ，所以 C（1，2，0） ，所以 BC 的长为 2 -1326DPQCV（2）设平面 PBD 的一个法向量为 n1（x，y ，z） 因为 PB（1，0，1） ， PD（0，1，1） ，则 1Dn，即 xzy，令 x1，则 y1，z1，所以 n1（1，1，1） 因为平面 PAD 的一个法向量为 n2（1，0，0） ，所以 12123cos,n，所以，由图可知二面角 BPDA 的余弦值为 320 （本小题满分 12 分）已知函数 2()(1)xfe（1）当 ,时，求 ()f的最大值与最小值；（2）如果
5、函数 ()1gxfax有三个不同零点，求实数 a的取值范围【答案】 （1）因为 2e()xf，所以 ()21x xf，令 0fx得 1， 2ln， ()f， f的变化如下表：1 (1,lln2ln2（ ， ） 2()fx0 0 ()fx1e2(ln)12e-9()f在 ,2上的最小值是 2(l)，因为 2e90， 1e， 219e，所以 ()fx在 ,上的最大值是 2（2） 21e()(e2)x xfaaa，所以 ()0fx或 0x，设 e2xga，则 ()e1xg， 时， ()0gx， 时，()0，所以 gx在 (,)上是增函数，在 (,0)上是减函数， ()01gxa ，且 ， ， x，
6、gx，当 10a时，即 1a时， ()0没有实根，方程 ()1fxa有 1 个实根；当 10a时，即 1a时， ()0gx有 1 个实根为零，方程 ()1fxa有1 个实根；当 0a时，即 1a时， ()0gx有 2 不等于零的实根，方程()1fx有 3 个实根综上可得， a时，方程 ()1fxa有 3 个实根21（本小题满分 12 分）如图所示， 1F是抛物线 C： 24yx的焦点， iF在 x 轴上（其中i1，2，3，n）， i的坐标为 (,0)i且 1ii， iP在抛物线 C上，且iP在第一象限 1iP 是正三角形（1）证明：数列 iix是等差数列；（2）记 1iF 的面积为 iS，证明
7、： 123138nSS【答案】 （1）由题意知， 1(,0)F，所以 1PF的方程是 tan(1)3()yx，代入抛物线可得 2310x，则 13x， 2（舍），即 1(32)P， ，25,0F， 1， 25，又设 1(,0)nF， (,)nx，n+1P是等边三角形， 13,2nxP代入抛物线得：2113()()4nnxx， 2113()()4nnx两式相减得：1111nnnnx，且 10n，所以 11823nnx， 118()()3nnx，所以数列 1nx是等差数列，其中首项为 214，公差是 83（2）由（1） 184(21)4()33n nx ，2236()()499nS，2113131()()4()82n nn12+()+()8351nSS3()8
