1、2019 年高考理科数学考前 30 天- 计算题专训（十五）17 （本小题满分 12 分）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且ABC BCabcsin2i0ba（1）求角 ；（2）若 ， 的面积为 ，求 的值3aABC 321bc【解析】解：（1）由 得sini0baAC，3 分sin2siibAa又 ，所以 ，得 ，所以 分0s0A2cos136（2）由 的面积为 及 得 ，即 ，BC 3sin2bbc8 分又 ，从而由余弦定理得 ，所以 ，3a2cos9bA3bc10 分所以 12 分132bc18 （本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 为梯形，PABC
2、DPABCD， ， ， ， 为 的中点ABCD 60 24EP（1）证明： 平面 ；/E（2）求直线 与平面 所成角的正弦值PB【解析】 （1）证明：设 为 的中点，连接 ， FPDEFA因为 为 的中位线，所以 ，且 EFPC C 12D又 ， ，所以 ，故四边形 为平行四边形，ABD 2AB B所以 又 平面 ， 平面 ，所以 平面 4 分FPEPDE PAD（2）解：设 为 的中点，因为 ， ，所以GABAB60为等边三角形，故 ；因为 ，所以 ；ABD C GC又 平面 ，所以 ， ， 两两垂直；6 分PCDPGD以 为坐标原点， 为 轴、 为 轴、 为 轴建立空间直角坐xyPz标系
3、，则 ， ， ， ，Dxyz0,23,10B,21E0,21；3,1B设 为平面 的一个法向量，则 ，即 ，(,)xyznDBE0DBn203yzx令 ，则 ，9 分1y3,12n又 ，所以 ，,PB 6cos,4PBn即直线 PB 与平面 BDE 所成角的正弦值为 12 分6419 （本小题满分 12 分）是指大气中空气动力学当量直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物，2.5PM也称为可入肺颗粒物我国 标准采用世界卫生组织设定的最宽限值，即2.5PM日均值在 35 微克/ 立方米以下空气质量为一级；在 35 微克/立方米75.微克/立方米之间空气质量为二级；在 75 微克/立方米以上空气质量为
4、超标某城市环保局从该市市区 2017 年上半年每天的 监测数据中随机抽取 18 天2.5P的数据作为样本，将监测值绘制成茎叶图如下图所示（十位为茎，个位为叶） （1）在这 18 个数据中随机抽取 3 个数据，求其中恰有 2 个数据为空气质量达到一级的概率；（2）在这 18 个数据中随机抽取 3 个数据， 用 表 示 其 中 不 超 标 数 据 的 个数 ， 求 的 分 布 列 及 数 学 期 望 ；（3）以这 18 天的 日均值来估计一年的空气质量情况，则一年2.5PM（按 360 天计算）中约有多少天的空气质量为二级【解析】解：（1）概率 ；3 分21438C76P（2）由题意， 服从超几何
5、分布：其中 ， ， ，8N10M3n的可能取值为 0、1、2、3由 ，得3108CkP，0318C7P， ， ；12083C5P21083C54P3108C54P6 分所以 的分布列为：0 1 2 3P7123502153454得期望 或用公104E式 9 分53MnN（3）由题意，一年中空气质量为二级的概率 ，3186P，1206所以一年（按 天计算）中约有 天的空气质量为二级12 分3612020 （本小题满分 12 分）已知椭圆 ： 经过点 ，且两个焦点 ，C210xyab135,24A1F的坐标依次为 和 2F,0,（1）求椭圆 的标准方程；（2）设 ， 是椭圆 上的两个动点， 为坐标
6、原点，直线 的斜率EFCOOE为 ，直线 的斜率为 ，求当 为何值时，直线 与以原点为圆心的1kO2k12k F定圆相切，并写出此定圆的标准方程【解析】解：（1）由椭圆定义得，2 22 23513520044a即 ，又 ，所以 ，得椭圆 的标准方程2c2bC为 4 分2143xy（2）设直线 的方程为 ， ， ，EFykxb1(,)Ey2(,)Fxy直线 的方程与椭圆方程联立，消去 得，22(34)8410kxb当判别式 时，得 122834kbx，23kb2143bxk，6 分设 12m，因为点 E， F在直线 ykxb上，得112()kxbx，整理得 2121()()0kbkx，即 2 2
7、248()()334mbkk，化简得2134kmb；8 分原点 O到直线 EF的距离 21bdk，221(34)bkmd，由已知有 d是定值，所以有 34m，解得 1，10 分即当 12k时，直线 EF与以原点为圆心的定圆相切，此时 7d，定圆的标准方程为 217xy12 分21 （本小题满分 12 分）已知函数 2ln1afxx（1）若函数 f在区间 ,内单调递增，求 a的取值范围；（2）设 1x， 2120x是函数 gxfx的两个极值点，证明：12lnagx恒成立【解析】 （1）解： fx的定义域为 0,，fxa，1 分若满足题意，只要 10fxa 在 2,恒成立即可，即 1ax 恒成立，又 2,，所以 12a 4 分（2）证明： 2lnagxfxx，则 g的定义域为0,， 211axgx，若 gx有两个极值点 1x，212x，则方程 10ax的判别式 240a， 12x且 ，120x，得 4a， 12x又 ， 21xa， 10xa即 ，7 分所以 221211 111lnlnln2agxxxxaxax，设 l2htatt，其中 10,ta，由 0ht得2ta，9 分又 021a，所以 ht在区间 20,a内单调递增，在区间2,a内单调递减，即 t的最大值为 ln2lna，从而 12lnagx恒成立12 分
