1、2019 年高考理科数学考前 30 天- 计算题专训（十八）17某校随机调查了 80 位学生，以研究学生中爱好羽毛球运动与性别的关系，得到下面的数据表：爱好 不爱好 合计男 20 30 50女 10 20 30合计 30 50 80（1）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查了本校的 3 名学生设这 3人中爱好羽毛球运动的人数为 X，求 的分布列和期望值；（2）根据表中数据，能否有充分证据判定爱好羽毛球运动与性别有关联？若有，有多大把握？附：22()(nadbc2Pk0.100 0.050 0.0102.706 3.841 6.635【答案】 （1） 98EX；（2）没有充分证据判定爱好羽毛
2、球运动与性别有关联【解析】 （1）任一学生爱好羽毛球的概率为 38，故 3(,)8XB，0352()C(81PX， 1235()C()PX，2351()C(8PX， 327()C(851PX，的分布列为： X0 1 2 3P25571 398EX（2）220(130)8.3562.7035，故没有充分证据判定爱好羽毛球运动与性别有关联18已知数列 na为等差数列，首项 1a，公差 0d若123n,bba， ，成等比数列，且 23,5b（1）求数列 n的通项公式 n；（2）设 3log(21)nncb，求和 123452121+n nnTcccc【答案】 （1） n；（2） 2【解析】 （1）
3、2215()1(4)add，240d或 （ 舍 去 ），1ba， 23ba， q， 11()23n nbnnab，3n（2） 3log(21)nncb， 212134356572()()nn nTccc242()=1)nc19在三棱柱 1ABC中，侧面 1AB为矩形， 2AB， 12，D是 1的中点， D与 交于点 O，且 1C平 面 （1）证明： 1；（2）若 OCA，求直线 C与平面 AB所成角的正弦值【答案】 （1）见解析；（2） 15【解析】 （1）由题意 2tanADB， 112tanAB，又 0ABD， 12， 1B， 1112A， 2AOB， 1BD，又 1COAB平 面 ， 1
4、CO， D与 C交于点 ， 1A平 面 ，又 D平 面 ， 1AB（2）如图，分别以 O， 1B， C所在直线为 x， y， z轴，以 O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ,xyz，则 23(0,)A， 26(,0)3B，23(0,)C， 6(,0)D， 26(,)3AB， (,)C，(,)，设平面 ABC的法向量为 (,)xyzn，则 0n，即2630yz，令 1y，则 z， 2x，所以2(,1)n设直线 CD与平面 AB所成角为 ，则：623(,0)(,1)5sin|co,|CDn20已知抛物线 2:0xpy的焦点为 F，过 的直线交抛物线 C于点 A，B，当直线的倾斜角是 45时
5、， AB的中垂线交 y轴于点 0,5Q（1）求 p的值；（2）以 A为直径的圆交 x轴于点 M， N，记劣弧 A的长度为 S，当直线绕 F旋转时，求 SB的最大值【答案】 （1） 2p；（2） 3【解析】 （1） 0,2F，当直线的倾斜角为 45时，直线的方程为 2pyx，设 1,Axy， 2,Bxy， 2pxy得 220xp，12xp， 12123yxp，得 AB中点为 3,2Dp，AB中垂线为 32ypx， 0代入得 52yp， 2（2）设的方程为 1k，代入 24得 40xk，21212AByxk， AB中点为 2,1Dk，令 MDN， S， S，到 x轴的距离 21Ek，221cosD
6、EkkAB，当 20k时， cos取最小值 2， 的最大值为 3，故 S的最大值为 321已知函数 lnuxx， va， wx，三个函数的定义域均为集合 1A（1）若 uxv 恒成立，满足条件的实数组成的集合为 B，试判断集合与 B的关系，并说明理由；（2）记 2wxGxuxv，是否存在 *mN，使得对任意的实数 ,am，函数 有且仅有两个零点？若存在，求出满足条件的最小正整数 ；若不存在，说明理由 （以下数据供参考： e2.7183，ln210.84）【答案】 （1） a， BA；（2） 2m【解析】 （1） lnuxvaxx ， 1lnmx，1,x易知 lnmx在 1,上递减， 1mx存在
7、 01,x，使得 0m，函数 在 0,递增，在递减， ax 由 0mx得 01lnx， 00011xx， 1a，BA（2）令 lnafxuwxx， 2wxagvx，1,2ln0afxx， 1,x，由于 ,1ama，10f， ，fx，由零点存在性定理可知： 1,a，函数 fx在定义域内有且仅有一个零点 210agx， 1,x， 3102ag， x， gx，同理可知 ,，函数 在定义域内有且仅有一个零点假设存在 0x使得 00fgx，200lnlaxx，消得 002ln1x，令 2ln1xhx， 2401xh，x递增， 432lnl5e， 2.81403h，02,1，此时200181,254xax，所以满足条件的最小整数 m
