1、2019 年高考理科数学考前 30 天- 计算题专训(三)17 (本小题满分 12 分)已知等差数列 na的前 项和为 nS,且满足 73a, 9S(1)求数列 n的通项公式;(2)若 ()2nabN,求数列 nb的前 项和 nT【解析】 (1)由题意得:12798ad,解得 231da,故 na的通项公式为 21na, N(2)由(1)得: nb,23457921n nT,234112n n,得: 23412()n nT125n,故 25nn18 (本小题满分 12 分)已知函数 23sincosfxx(1)求函数 fx的单调递增区间;(2)若 035f, 0,2,求 0cosx的值【解析】
2、 (1) sin3fx,函数 f的单调递增区间为:7,2kkZ;(2) 0023sin5fx, 0,2x, 024cos35x,0041cos2351xx19 (本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 PABCD中,底面 AB是菱形, PDAC 交 BD于点O(1)证明:平面 平面 ;(2)若 3DPABP,求二面角 APBC的余弦值【解析】 (1) Q底面 C是菱形, D,又 PDA, BDI, P, B平面 P,C平面 , 又 平面 A, 平面 平面 AC(2)不妨设 3,则 1,作 EB于 ,连结 E,由(1)知 ACBP, 平面 AEC,故 PB,则 E即二面角 的平面角,在 中, 3,
3、 72O, 10, 134AEC,1cosAEC(另解:也可以以 为原点建立空间坐标系,并注意 30DBP,建系过程未说明扣 2 分 )20 (本小题满分 12 分)已知抛物线 2(0)xpy上点 P处的切线方程为 10xy(1)求抛物线的方程;(2)设 1(,)Axy和 2(,)Bxy为抛物线上的两个动点,其中 12y且 12y,线段 的垂直平分线 l与 轴交于点 T,求 AB 面积的最大值【解析】 (1)设点20(,)xPp,由 2py得2x,求导 xyp,因为直线 Q的斜率为 1,所以 01x且201p,解得 4,所以抛物线的方程为 24xy(说明:也可将抛物线方程与直线方程联立,由 0
4、解得)(2)设线段 AB中点 0,Mxy,则 120x, 120y,210211224AB xykxx,直线 l的方程为 021()yx,即 02(3)x, l过定点 (,3)T联立02202:1()44xAByxxx,得 22000()x ,22222001 00016444xAB x,设 ,3T到 的距离 20dx,200142ABTS 2223000161()(8)()9xx,当且仅当 22004xx,即 )2,(30时取等号,ABTS的最大值为 169(另解:可以令 204tx, 21(8)St,构造函数 23()8gxt,求导亦可)21 (本小题满分 12 分)已知函数 1()ln(
5、)1)2mfxx有两个零点 1x, 21()x(1)求实数 m的取值范围;(2)证明: 12x【解析】 (1) ()ln()1)mfx, 22()fxx, ()f在 0,m单调递减,在 ,m单调递增, 21(2)ln()0f, 2em, e12,又 21()ln()04ef m,222211(e)ln(e)ln0fm , 1满足函数有两个零点(2)令 11()lnl.2gxfmx由(1)知 ()在 0,), (,),令 1()()2Gxgxxm, 1(0,)2m,22111()()2()02 44Gxgxxmmmxx ,()x在 0,单调递增,()Gx, 1()()2gxxm,令 1()lnl1gxfx的零点为 1t, 2, 12(0)ttm,1(0,)2tm, 2(0,)tm, 12222111()()()()gtgtgtgtm, 12ttm, 12t,所以 12x