1、2019 年高考理科数学考前 30 天-计算题专训（十二）17 （本小题满分 12 分）设数列 的前 项和 满足 ，na123 ， ， ， nnS12na且 ， ， 成等差数列1a23a（1）求数列 的通项公式；n（2）求数列 的前 n 项和1na【 答 案 】 （1）由已知 ，有 ，12nSa1122nnnSa- 即 ，从而 ， ，12na 213214a又因为 ， ， 成等差数列，即 ，123a132()所以 ，解得 ，114)(a12所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，故 n 2na（2）设 的前 n 项和为 ，则1nanT1122(1)()2nnnT 18 （本小题满分 12 分
2、）已知 23cosicosfxx（1）求 的单调增区间；fx（2）在 中， 为锐角且 ， 边上的中线 ，ABC 32fABC3AD，求 3sinD【 答 案 】 （1）由题可知 ，133sin21cos2sin23fxxx令 ， ，223kxk Z即函数 的单调递增区间为 ， f 5,12kkZ（2）由 ，所以 ，解得 或 （舍） ，32fA3sinA3A2以 、 为邻边作平行四边形 ，因为 ，BCBECD所以 ，在 中， ， ，6E 3120由正弦定理可得 ，解得 且 ，36sin2AEBsin4AEB15cos4AEB因此 31531sisi3428DA19 （本小题满分 12 分）如图，
3、在平面直角坐标系 中，椭圆 C：xOy21xyab的左、右焦点分别为 ， ， 为椭圆上一点（在 轴上方） ，连结0ab 1F2P并延长交椭圆于另一点 ，设 1PFQ1（1）若点 的坐标为 ，且 的周长为 ，求椭圆 的方程；3(,)22 8（2）若 垂直于 轴，且椭圆 的离心率 ，求实数 的取值范2PFxC12,e围【 答 案 】 （1）因为 ， 为椭圆 的两焦点，且 ， 为椭圆上的点，1F2CPQ所以 ，1212PFQFa从而 的周长为 2 4由题意，得 ，解得 8a2因为点 的坐标为 ，P31,所以 ，解得 2194ab2b所以椭圆 的方程为 C2=13xy（2）因为 轴，且 在 轴上方，故
4、设 ， 设 2PF0Pcy（ ， ） 1Qxy（ ， ）因为 在椭圆上，所以 ，解得 ，即 201ycab20ba2(,)ba因为 ，所以 ， 10Fc（ ， ） 1PF2(,)c1FQ1xcy，由 ，得 ， ，1PQ12x（ ） 21ba解得 ， ，1xc21y所以 2(,)bQa因为点 在椭圆上，所以 ，221bea即 ， 221e 2243-因为 ，所以 ，从而 0231e 2214=3e因为 ，所以 ，即 12,e214e 753 所以 的取值范围是 7,5320 （本小题满分 12 分）设函数 ， 2( )0fxa lngxb（1）若函数 图象上的点到直线 距离的最小值为 ，求 yf
5、x3y2的值；a（2）对于函数 与 定义域上的任意实数 ，若存在常数 ， ，使得 fxgxkm和 都成立，则称直线 为函数 与 fxkm k yk fx的“分界线” 设 ， ，试探究 与 是否存在“分界线”？g2a eb fg若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由【 答 案 】 （1）因为 ，所以 ，2fxa2fxa令 ， 得 ，此时 ，2fxa21214y则点 到直线 的距离为 ，21,430xy即 ，解得 （负值舍去） 2a714a（2）设 ，2eln0Fxfgxx则 2exxx所以当 时， ；当 时， 00F e0Fx因此 时， 取得最小值 ，exFx0则 与 的图象在 处有
6、公共点 fgee,2设 与 存在“分界线” ，fx方程为 ，即 ，e2ykxe2ykx由 在 上恒成立，efx R则 在 上恒成立2+0k x所以 成立，因2224e48e4=e0kk此 ek下面证明 恒成立e02gxx设 ， 则 elnGe(e)xGx所以当 时， ；当 时， 0x0x0Gx因此 时， 取得最大值 ，eG则 成立02gxx故所求“分界线”方程为 e2yx21 （本小题满分 12 分）已知函数 ， 21lnfxaR（1）令 ，讨论 的单调区间；1gxfaxg（2）若 ，正实数 ， 满足 ，证明2a1x21210fxfx125x【 答 案 】 （1） ，21ln1gxfaxax所以 ，21ax当 时，因为 ，所以 ，即 在 单调递增，0 00gxgx0,当 时， ，令 ，得 ，a1agxxx1xa所以当 时， ， 单调递增，10,a0g所以当 时， ， 单调递减，1,xa0gxx综上，当 时，函数单调递增区间为 ，无递减区间；0 0,当 时，函数单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；a1,a1,a（2）当 时， ， ，22lnfxx0由 可得1210fxf221112l 0x即 ，2112112lnxx令 ， ，则 ，12txltt1tt则 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，t0, ,所以 ，所以 ，1t 2112xx又 ，故 120x125
