1、2019 年高考理科数学考前 30 天-计算题专训（九）17设数列 的前 项和为 ，且 nanS231na（1）求数列 的通项公式；n（2）设 ，求数列 的前 项和 nbanbnT【答案】 （1）由 ，231nS，123nSa得 ， ，13nna13n又当 时， ，即 ， （符合题意）112S1 是首项为 1，公比为 3 的等比数列， na 13na（2）由（1）得： ， ，1nb0121nnT，12133nnT得： 0121323nnn n 9643nnT18某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动活动规则如下：消费额每满100 元可转动如图所示的转盘一次（指针停在任一位置的可能性相等） ，并获
2、得相应金额的返券若指针停在 区域返券 60 元；停在 区域返券 30 元；停在AB区域不返券例如：消费 218 元，可转动转盘 2 次，所获得的返券金额是两C次金额之和（1）若某位顾客消费 128 元，求返券金额不低于 30 元的概率；（2）若某位顾客恰好消费 280 元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为 （元） 求随机变量 的分布列和数学期望XX【答案】设指针落在 区域分别记为事件 则 ，ABC、 ABC、16PA， ，13PB2（1）消费 128 元的顾客，只能转一次，若返券金额不低于 30 元，则指针落在或 区域，其概率 ，A1632PAB即消费 128 元顾客返券金额不低于 3
3、0 元概率是 （2）该顾客可转动转盘 2 次随机变量 的可能值为 0，30 ，60，90，120X； ；104PX13023P；5628； ；1903912063X所以，随机变量 的分布列为：P0 30 60 90 120X1435189136其数学期望 060E20419在四棱锥 中，底面 为平行四边形，PABCDAB， 点在底面 内的射影 在线段 上，3245ABDABC， ， PABCDEAB且 ， ， 为 的中点， 在线段 上，且 PEFDMMCD（1）当 时，证明：平面 平面 ；23PFMAB（2）当平面 与平面 所成二面角的正弦值为 时，求四棱锥PABCD25的体积BCM【答案】
4、（1）证明：连接 ，作 交 于点 ，则四边形 为EAN CNAECN平行四边形，在 中， ， ， ，由余弦定理得NAEB 22B45AB2C所以 ，从而有 2CEC在 中， 分别是 的中点，则 ， ，AND ,FM,ADNFMAN EC因为 ，所以 BEB由 平面 ， 平面 ，得 ，PCCPE又 ， ，得 平面 ，FAEFAB又 平面 ，所以平面 平面 MM（2）以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立如图E,BCPxyz所示的空间直角坐标系，则 ， ， ， ，10,A,20,C3,20D， 1,02AP 13,20MACD平面 的一个法向量为 设平面 的法向量为 ，BD,mPAM
5、,nxyz由 ， ，得 ，令 ，0APn0n2013xzy2x得 2,31由题意可得， ，215cos,53mn解得 ，所以四棱锥 的体积 13PABCM 83PABCMABCMVSPE、20已知点 在圆 上，而 为 在 轴上的投影，且点 满足P2:4CxyQPxN，设动点 的轨迹为曲线 NQNE（1）求曲线 的方程；E（2）若 ， 是曲线 上两点，且 ， 为坐标原点，求 的面积AB|2ABOAOB的最大值【答案】 （1）设 ， ， 轴，所以 ，,pPxy24pxyPQx(,0)px又设 ，由 有 代入 有 (,)NxyNQpy2y214y即曲线 的方程为 E214xy（2）设 ， ，直线 方
6、程为： ，1(,)A2(,)BAB ykxt联立 得 ，24xykt22(1)84(1)0kxkt故 ， ，12284txk21()4txk由 ，得22222114()()4ABxx，224(1()kt故原点 到直线 的距离 ， ，令 ，OAB2|1tdk21|tSdk214ku则 ，又 ，2221()14Su22431,41ku当 时， max2当斜率不存在时， 不存在，综合上述可得 面积的最大值为 1AOB AOB21设函数 ln1fxk（1）研究函数 的极值点；f（2）当 时，若对任意的 ，恒有 ，求 的取值范围；0k0x0fx k（3）证明： 22ln3ln1,2()nN 【答案】 （1） ， 的定义域为 ，ln1fxkfx0,，kfx当 时， ， 在 上无极值点，0k 0fxfx0,当 时，令 ， ， 随 的变化情况如下=f 1,kfxf、x表： x(0,)k1(,)kf 0 fx 极大值 从上表可以看出：当 时 有唯一的极大值点 ；0kf 1xk（2）当 时在 处取得极大值也是最大值，要使 恒成立，0k1x0f只需 ， ，即 的取值范围为 ；1lnfk k 1,（3）令 ，由（2）知， ， ， ，ln10x lnx ,2nN ， ，2ln1 22l 2222222l3ln111133nn 11234nn11234nn，结论成立21n
