1、2019 年高考理科数学考前 30 天- 计算题专训（三）17 （本小题满分 12 分）已知等差数列 na的前 项和为 nS，且满足 73a， 9S（1）求数列 n的通项公式；（2）若 ()2nabN，求数列 nb的前 项和 nT【解析】 （1）由题意得：12798ad，解得 231da，故 na的通项公式为 21na， N（2）由（1）得： nb，23457921n nT，234112n n，得： 23412()n nT125n，故 25nn18 （本小题满分 12 分）已知函数 23sincosfxx（1）求函数 fx的单调递增区间；（2）若 035f， 0,2，求 0cosx的值【解析】
2、 （1） sin3fx，函数 f的单调递增区间为：7,2kkZ；（2） 0023sin5fx， 0,2x， 024cos35x，0041cos2351xx19 （本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 PABCD中，底面 AB是菱形， PDAC 交 BD于点O（1）证明：平面 平面 ；（2）若 3DPABP，求二面角 APBC的余弦值【解析】 （1） Q底面 C是菱形， D，又 PDA， BDI， P， B平面 P，C平面 ， 又 平面 A， 平面 平面 AC（2）不妨设 3，则 1，作 EB于 ，连结 E，由（1）知 ACBP， 平面 AEC，故 PB，则 E即二面角 的平面角，在 中， 3，
3、 72O， 10， 134AEC，1cosAEC（另解：也可以以 为原点建立空间坐标系，并注意 30DBP，建系过程未说明扣 2 分 ）20 （本小题满分 12 分）已知抛物线 2(0)xpy上点 P处的切线方程为 10xy（1）求抛物线的方程；（2）设 1(,)Axy和 2(,)Bxy为抛物线上的两个动点，其中 12y且 12y，线段 的垂直平分线 l与 轴交于点 T，求 AB 面积的最大值【解析】 （1）设点20(,)xPp，由 2py得2x，求导 xyp，因为直线 Q的斜率为 1，所以 01x且201p，解得 4，所以抛物线的方程为 24xy（说明：也可将抛物线方程与直线方程联立，由 0
4、解得）（2）设线段 AB中点 0,Mxy，则 120x， 120y，210211224AB xykxx，直线 l的方程为 021()yx，即 02(3)x， l过定点 (,3)T联立02202:1()44xAByxxx，得 22000()x ，22222001 00016444xAB x，设 ,3T到 的距离 20dx，200142ABTS 2223000161()(8)()9xx，当且仅当 22004xx，即 )2,(30时取等号，ABTS的最大值为 169（另解：可以令 204tx， 21(8)St，构造函数 23()8gxt，求导亦可）21 （本小题满分 12 分）已知函数 1()ln(
5、)1)2mfxx有两个零点 1x， 21()x（1）求实数 m的取值范围；（2）证明： 12x【解析】 （1） ()ln()1)mfx， 22()fxx， ()f在 0,m单调递减，在 ,m单调递增， 21(2)ln()0f， 2em， e12，又 21()ln()04ef m，222211(e)ln(e)ln0fm ， 1满足函数有两个零点（2）令 11()lnl.2gxfmx由（1）知 ()在 0,)， (,)，令 1()()2Gxgxxm， 1(0,)2m，22111()()2()02 44Gxgxxmmmxx ，()x在 0,单调递增，()Gx， 1()()2gxxm，令 1()lnl1gxfx的零点为 1t， 2， 12(0)ttm，1(0,)2tm， 2(0,)tm， 12222111()()()()gtgtgtgtm， 12ttm， 12t，所以 12x