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2019年高考(理科)数学考前30天:计算题专训(十七)含答案

1、2019 年高考理科数学考前 30 天- 计算题专训(十七)17 (本小题满分 12 分)ABC中,角 , B, C的对边分别为 a, b, c,且 2os2Cca(1)求角 的大小;(2)若 4a, 边上的中线 7AD,求 AB 的面积【答案】 (1) 2cos2bCa,由正弦定理,得 2sincosi2inCA,AB, ini()siciB,2sincos2con),iC,0, sin0, 1cos2B, 3(2)在 ABD 中,由余弦定理得:22sDAB,即2471c,解得 3c,sin422ABCSa18 (本小题满分 12 分)某学校依次进行 A、B 两科考试,当 A 科合格时,才可

2、考 B 科,且两科均有一次补考机会,两科都合格方通过甲同学参加考试,已知他每次考 A 科合格的概率均为 23,每次考 B 科合格的概率均为 12假设他不放弃每次考试机会,且每次考试互不影响(1)求甲恰好 3 次考试通过的概率;(2)记甲参加考试的次数为 X,求 X 的分布列和均值【答案】 (1)甲恰好 3 次通过考试有两种情况,第一种情况是第一次 A 科通过,第二次 B 科不过,第三次 B 科通过;第二种情况是第一次 A 科没通过,第二次A 科通过,第三次 B 科通过,21215()338P(2)由题意得 、 、 4, 214()39P;121(3)()()32P;214 9,则 的分布列为:

3、 2 3 4P4919418()2393E19 (本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P ABCD 中,PA平面ABCD,AB AD,ADBC ,APABAD1,直线 PB 与 CD 所成角的大小为 3(1)若 Q 是 BC 的中点,求三棱锥 D PQC 的体积;(2)求二面角 B PD A 的余弦值【答案】 (1)以 AB, D, P为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz因为 APABAD1,所以 A(0,0,0) ,B(1,0,0) ,D (0,1,0) ,P(0,0,1) 设 C(1,y , 0) ,则 P(1,0,1) ,CD(1,1y ,0) 因为直线 PB 与 C

4、D 所成角大小为 3,所以 1cos, 2PBCD,即 212()y,解得 y2 或 y0(舍) ,所以 C(1,2,0) ,所以 BC 的长为 2 -1326DPQCV(2)设平面 PBD 的一个法向量为 n1(x,y ,z) 因为 PB(1,0,1) , PD(0,1,1) ,则 1Dn,即 xzy,令 x1,则 y1,z1,所以 n1(1,1,1) 因为平面 PAD 的一个法向量为 n2(1,0,0) ,所以 12123cos,n,所以,由图可知二面角 BPDA 的余弦值为 320 (本小题满分 12 分)已知函数 2()(1)xfe(1)当 ,时,求 ()f的最大值与最小值;(2)如果

5、函数 ()1gxfax有三个不同零点,求实数 a的取值范围【答案】 (1)因为 2e()xf,所以 ()21x xf,令 0fx得 1, 2ln, ()f, f的变化如下表:1 (1,lln2ln2( , ) 2()fx0 0 ()fx1e2(ln)12e-9()f在 ,2上的最小值是 2(l),因为 2e90, 1e, 219e,所以 ()fx在 ,上的最大值是 2(2) 21e()(e2)x xfaaa,所以 ()0fx或 0x,设 e2xga,则 ()e1xg, 时, ()0gx, 时,()0,所以 gx在 (,)上是增函数,在 (,0)上是减函数, ()01gxa ,且 , , x,

6、gx,当 10a时,即 1a时, ()0没有实根,方程 ()1fxa有 1 个实根;当 10a时,即 1a时, ()0gx有 1 个实根为零,方程 ()1fxa有1 个实根;当 0a时,即 1a时, ()0gx有 2 不等于零的实根,方程()1fx有 3 个实根综上可得, a时,方程 ()1fxa有 3 个实根21(本小题满分 12 分)如图所示, 1F是抛物线 C: 24yx的焦点, iF在 x 轴上(其中i1,2,3,n), i的坐标为 (,0)i且 1ii, iP在抛物线 C上,且iP在第一象限 1iP 是正三角形(1)证明:数列 iix是等差数列;(2)记 1iF 的面积为 iS,证明

7、: 123138nSS【答案】 (1)由题意知, 1(,0)F,所以 1PF的方程是 tan(1)3()yx,代入抛物线可得 2310x,则 13x, 2(舍),即 1(32)P, ,25,0F, 1, 25,又设 1(,0)nF, (,)nx,n+1P是等边三角形, 13,2nxP代入抛物线得:2113()()4nnxx, 2113()()4nnx两式相减得:1111nnnnx,且 10n,所以 11823nnx, 118()()3nnx,所以数列 1nx是等差数列,其中首项为 214,公差是 83(2)由(1) 184(21)4()33n nx ,2236()()499nS,2113131()()4()82n nn12+()+()8351nSS3()8