1、2.3.3 等比数列的前n项和(一),第2章 2. 3 等比数列,1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路. 2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题.,学习目标,栏目索引,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,知识梳理 自主学习,知识点一 等比数列前n项和公式及其推导 1.等比数列前n项和公式,答案,na1,(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q1的情况.,2.等比数列前n项和公式的推导 推导1 求等差数列前n项和用的是倒序相加法，对于等比数列an，若q1，Sna1a1qa1q2a1qn1a1q(a1a1qa1qn1a1qn1)a1q(Sna1
2、qn1)，至此，你能用a1和q表示出Sn吗？,答案,答案 由Sna1q(Sna1qn1)，得(1q)Sna1a1qn，所以Sn a1(1qn) 1q .,答案,思考 设f(n)2242723n1 (nN*)，则f(n) .,答案,注意 参与求和的项共有多少项.,知识点二 错位相减法 推导等比数列前n项和的方法叫 法.一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和.,返回,答案,错位相减,题型探究 重点突破,题型一 等比数列基本量的计算 例1 在等比数列an中， (1)S230，S3155，求Sn；,解析答案,方法二 由(a1a3)q3a4a6，,又a1a3a1(1q2)10，,(2)
3、a1a310，a4a6 5 4 ，求S5；,解析答案,(3)a1an66，a2an1128，Sn126，求q.,解析答案,反思与感悟,解 因为a2an1a1an128， 所以a1，an是方程x266x1280的两根.,(1)在等比数列an的五个量a1，q，an，n，Sn中，已知其中的三个量，通过列方程组求解，就能求出另两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用. (2)在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q1或q1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论.,反思与感悟,跟踪训练1 在等比数列an中， (1)若a1 2 ，an16 2 ，Sn11 2 ，求n和q；,解析答案,q2，
4、,n5.,(2)已知S41，S817，求an.,解析答案,解 若q1，则S82S4，不合题意，q1，,q2或q2，,题型二 错位相减法求和 例2 设an是等差数列，bn是各项都为正数的等比数列，且a1b11，a3b521，a5b313. (1)求an，bn的通项公式；,解析答案,解 设an的公差为d，bn的公比为q.,an1(n1)22n1，bn2n1.,(2)求数列 an bn 的前n项和Sn.,解析答案,反思与感悟,得,解析答案,反思与感悟,反思与感悟,一般地，如果数列an为等差数列，bn为等比数列，求数列anbn的前n项和时，可以采用错位相减法.,反思与感悟,解析答案,跟踪训练2 求数列
5、nxn的前n项和.,解 当x0时，Sn0.,当x0且x1时， Snx2x23x3(n1)xn1nxn， xSnx22x3(n1)xnnxn1， 得， (1x)Snxx2x3xnnxn1,解析答案,题型三 等差、等比数列的综合问题 例3 设an是公比大于1的等比数列，Sn为数列an的前n项和.已知S37，且a13,3a2，a34构成等差数列. (1)求数列an的通项公式；,解析答案,设数列an的公比为q，由a22，,故数列an的通项公式为an2n1.,(2)令bnln a3n1，n1,2，求数列bn的前n项和Tn.,解析答案,反思与感悟,解 由于bnln a3n1，n1,2，由(1)得a3n12
6、3n， bnln 23n3nln 2. 又bn1bn3ln 2，bn是等差数列，,(1)等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点，特别是等差、等比数列的通项公式，前n项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点. (2)利用等比数列前n项和公式时注意公比q的取值，同时对两种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，利用好性质，可降低题目的难度，解题时有时还需利用条件联立方程组求解.,反思与感悟,解析答案,跟踪训练3 已知Sn是无穷等比数列an的前n项和，且公比q1，已知1是 1 2 S2和 1 2 S3的等差中项，6是2S2和3S3的等比中项. (1)求S2和S3；,解得3S22S36
7、，,解析答案,(2)求数列an的前n项和；,解析答案,(3)求数列Sn的前n项和.,解 由(2)得S1S2Sn,解析答案,应用等比数列前n项和公式时忽视分类讨论致误,易错点,例4 等比数列1,2a,4a2,8a3，的前n项和Sn .,误区警示,返回,错因分析 忽视等比数列前n项和公式的应用条件，未对等比数列的公比2a分类讨论，导致错误. 正解 公比为q2a，,误区警示,误区警示,准确理解公式，重视分类讨论 应用等比数列前n项和公式时，要注意公比q是否为1，因为等比数列前n项和公式是“分段函数”形式.若题中公比不明确，要分情况讨论，如本例，公比为q2a，应该分2a1,2a1两种情况讨论，否则结论
8、就不完整.,返回,当堂检测,1,2,3,4,5,1.已知等比数列an的首项a13，公比q2，则S5 .,93,解析答案,2.在等比数列an中，已知a1a2a36，a2a3a43，则a3a4a5a6a7 .,1,2,3,4,5,解析答案,a3a4a5a6a7S7a1a2,1,2,3,4,5,解析答案,1,2,3,4,5,解析答案,4.等比数列an中，a29，a5243，则an的前4项和是 .,公比q3，从而a13，,120,1,2,3,4,5,解析答案,1,2,3,4,5,课堂小结,1.在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”. 2.前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即q1和q1时是不同的公式形式，不可忽略q1的情况. 3.一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列且公比为q，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减的方法求和.,返回,
