1、2022-2023学年福建省福州市四校联考高二（下）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1（5分）设集合A（x，y）|y2x，B（x，y）|yx2，则AB的元素个数为（）A1B2C3D42（5分）欧拉公式eicos+isin由瑞士数学家欧拉发现，其将自然对数的底数e，虚数单位i与三角函数cos，sin联系在一起，被誉为“数学的天桥”，若复数z=ei2，则z的虚部为（）AiB1C22iD223（5分）已知圆M：（x2）2+（y1）21，圆N：（x+2）2+（y+1）21，则下列不是M，N两圆公切线的直线方程为（）Ay0B4x3y0Cx-2y+5=0Dx+2y-5=04
2、（5分）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，APB120，PA2，点C在底面圆周上，且二面角PACO为45，则PAC的面积为（）A3B2C22D235（5分）在数列an中，a11，且函数f（x）x5+an+1sinx（2an+3）x+3的导函数有唯一零点，则a9的值为（）A1021B1022C1023D10246（5分）ABC中，sin(2-B)=cos2A，则AC-BCAB的取值范围是（）A(-1，12)B(13，12)C(12，23)D(13，23)7（5分）已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的两焦点为F1，F2，x轴上方两点A，B在椭圆上，AF1与BF2平行，AF2交
3、BF1于P过P且倾斜角为（0）的直线从上到下依次交椭圆于S，T若|PS|PT|，则“为定值”是“为定值”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不必要也不充分条件8（5分）在同一平面直角坐标系中，P，Q分别是函数f（x）axexln（ax）和g(x)=2ln(x-1)x图象上的动点，若对任意a0，有|PQ|m恒成立，则实数m的最大值为（）A3B322C2D52二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分（多选）9（5分）已知向量a=(1，3)，b=(2x，2-x)，其中xR，下列说法正确
4、的是（）A若ab，则x6B若a与b夹角为锐角，则x6C若x1，则a在b方向上投影向量为bD若|a|=4（多选）10（5分）已知函数f（x）x3+ax2+bx+c（a，b，cR），则下列说法正确的是（）A若函数f（x）的图象关于点（1，f（1）中心对称，则a3B当c0时，函数f（x）过原点的切线有且仅有两条C函数f（x）在1，1上单调递减的充要条件是2ab3D若实数x1，x2是f（x）的两个不同的极值点，且满足x1+x2x1x2，则a0或a6（多选）11（5分）已知函数f（x）2sinx+|sin2x|，则（）Af（x）的最小正周期为2Bf（x）的图象关于x=2对称Cf（x）在0，2上有四个零点
5、Df（x）的值域为-2，332（多选）12（5分）已知抛物线C：y24x，过焦点F的直线l与C交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，y12，E与F关于原点对称，直线AB与直线AE的倾斜角分别是与，则（）AsintanBAEFBEFCAEB90D2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分13（5分）(2x-y)5展开式中x2y3的系数为 （用数字作答）14（5分）已知某批零件的质量指标（单位：毫米）服从正态分布N（25.40，2），且P（25.45）0.1，现从该批零件中随机取3件，用X表示这3件产品的质量指标值不位于区间（25.35，25.45）的产品件数，则D（X） 15（5分
6、）已知f（x）为奇函数，当x（0，1，f（x）lnx，且f（x）关于直线x1对称设方程f（x）x+1的正数解为x1，x2，xn，且任意的nN，总存在实数M，使得|xn+1xn|M成立，则实数M的最小值为 16（5分）在平面四边形ABCD中，ADB90，ABC90，BDBC2，沿对角线BD将ABD折起，使平面ADB平面BDC，得到三棱锥ABCD，则三棱锥ABCD外接球表面积的最小值为 四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知数列an的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足Sn=(an+12)2（1）求an；（2）设bn=1(an+1)(an+
7、1+1)，设数列bn的前n项和为Tn，若m-24Tnm5对一切nN*恒成立，求实数m的取值范围18（12分）记锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(A-B)cosB=sin(A-C)cosC（1）求证：BC；（2）若asinC2，求1a2+1b2的最大值19（12分）如图4，在三棱台ABCA1B1C1中，底面ABC是边长为2的正三角形，侧面ACC1A1为等腰梯形，且A1C1AA11，D为A1C1的中点（1）证明：ACBD；（2）记二面角A1ACB的大小为，3，23时，求直线AA1与平面BB1C1C所成角的正弦值的取值范围20（12分）已知函数f（x）ex+cosx2，f
8、（x）为f（x）的导数（1）当x0时，求f（x）的最小值；（2）当x-2时，xex+xcosxax22x0恒成立，求a的取值范围21（12分）甲、乙两人进行象棋比赛，赛前每人发3枚筹码一局后负的一方，需将自己的一枚筹码给对方；若平局，双方的筹码不动，当一方无筹码时，比赛结束，另一方最终获胜由以往两人的比赛结果可知，在一局中甲胜的概率为0.3、乙胜的概率为0.2（1）第一局比赛后，甲的筹码个数记为X，求X的分布列和期望；（2）求四局比赛后，比赛结束的概率；（3）若Pi（i0，1，6）表示“在甲所得筹码为i枚时，最终甲获胜的概率”，则P00，P61证明：Pi+1Pi（i0，1，2，5）为等比数列2
9、2（12分）已知M是平面直角坐标系内的一个动点，直线MA与直线yx垂直，A为垂足且位于第三象限；直线MB与直线yx垂直，B为垂足且位于第二象限四边形OAMB（O为原点）的面积为2，记动点M的轨迹为C（1）求C的方程；（2）点E(22，0)，直线PE，QE与C分别交于P，Q两点，直线PE，QE，PQ的斜率分别为k1，k2，k3若(1k1+1k2)k3=-6，求PQE周长的取值范围2022-2023学年福建省福州市四校联考高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）设集合A（x，y）|y2x
10、，B（x，y）|yx2，则AB的元素个数为（）A1B2C3D4【解答】解：如图，集合A为函数y2x图象的点集，集合B为函数yx2图象的点集，两函数的图象有三个交点，所以AB的元素个数为3个故选：C2（5分）欧拉公式eicos+isin由瑞士数学家欧拉发现，其将自然对数的底数e，虚数单位i与三角函数cos，sin联系在一起，被誉为“数学的天桥”，若复数z=ei2，则z的虚部为（）AiB1C22iD22【解答】解：z=ei2=e4i=cos4+sin4i=22+22i，其虚部为22故选：D3（5分）已知圆M：（x2）2+（y1）21，圆N：（x+2）2+（y+1）21，则下列不是M，N两圆公切线的
11、直线方程为（）Ay0B4x3y0Cx-2y+5=0Dx+2y-5=0【解答】解：如图，圆心M（2，1），N（2，1），半径r1r21，两圆相离，有四条公切线两圆心坐标关于原点O对称，则有两条切线过原点O，设切线l：ykx，则圆心到直线的距离|2k-1|1+k2=1，解得k0或k=43，另两条切线与直线MN平行且相距为1，lMN：y=12x，设切线l：y=12x+b，则|b|1+14=1，解得b=52（或通过斜率排除）所以D项不正确故选：D4（5分）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，APB120，PA2，点C在底面圆周上，且二面角PACO为45，则PAC的面积为（）A3B2C22
12、D23【解答】解：如图所示，AB为底面直径，APB120，PA2，PAB是等腰三角形，由余弦定理可得AB2=AP2+BP2-2APBPcos120=12AB=23=2OA，PO=PA2-OA2=1，由圆锥的特征易知PAPC、OAOC，POO，取AC中点D，连接PD、OD，显然有ODAC，PDAC，即二面角PACO为PDO45，PO=OD=1，PD=2，则AC=2AD=2PA2-PD2=22，SPAC=12ACPD=2故选：B5（5分）在数列an中，a11，且函数f（x）x5+an+1sinx（2an+3）x+3的导函数有唯一零点，则a9的值为（）A1021B1022C1023D1024【解答】
13、解：f（x）5x4+an+1cosx（2an+3），易知函数f（x）为偶函数，又f（x）有唯一零点，则必有f（0）an+1（2an+3）0，即an+12an+3，则有an+1+32（an+3），所以数列an+3是以2为公比的等比数列，又a11，则an+3=42n-1，所以a9=428-3=1021故选：A6（5分）ABC中，sin(2-B)=cos2A，则AC-BCAB的取值范围是（）A(-1，12)B(13，12)C(12，23)D(13，23)【解答】解：由题意，sin(2-B)=cosB=cos2A，在ABC中，A，B（0，），故2AB或2A+B2，当2A+B2时，A+B2=，故A+B，
14、不合要求，舍去，所以2AB，CABA2A3A，因为A，B（0，），所以2A（0，），即A(0，2)，因为C3A（0，），所以A(0，3)，由正弦定理得ACsinB=ABsinC=BCsinA，故AC-BCAB=sinB-sinAsinC=sin2A-sinAsin(-3A)=2sinAcosA-sinAsin(2A+A)=2sinAcosA-sinAsin2AcosA+cos2AsinA，因为A（0，），所以sinA0，故AC-BCAB=2cosA-12cos2A+cos2A=2cosA-14cos2A-1=2cosA-1(2cosA-1)(2cosA+1)，因为A(0，3)，所以2cosA1
15、0，故AC-BCAB=12cosA+1，因为A(0，3)，所以cosA(12，1)，2cosA（1，2），2cosA+1（2，3），故AC-BCAB=12cosA+1(13，12)故选：B7（5分）已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的两焦点为F1，F2，x轴上方两点A，B在椭圆上，AF1与BF2平行，AF2交BF1于P过P且倾斜角为（0）的直线从上到下依次交椭圆于S，T若|PS|PT|，则“为定值”是“为定值”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不必要也不充分条件【解答】解：不妨设M（x，y）为椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上的动点，c为椭圆的半焦距，此时F1（c，
16、0），所以|MF1|=(x+c)2+y2=(x+c)2+b2(1-x2a2)=(x+c)2+b2(1-x2a2)=c2x2a2+2cx+a2=|a+cax|，不妨设直线l：x=-a2c，则点M到直线l的距离为d=|x+a2c|，所以|MF1|d=ca=e，设直线MF1的倾斜角为，过M作l的垂线，垂足为S，此时|MF1|MF1|cos+a2c-c=e，所以|MF1|=eb2c1-ecos，不妨设p=b2c，此时|MF1|=ep1-ecos，同理的|MF2|=ep1+ecos，设AF1的倾斜角为，可得|MF1|=ep1-ecos，|MF2|=ep1+ecos，因为AF1BF2，所以|BF2|AF1
17、|=|F2P|AP|，此时|BF2|AF1|+|BF2|=|F2P|AP|+|F2P|=|F2P|AF2|=|F2P|2a-|AF1|，则|F2P|=|BF2|(2a-|AF1|)|AF1|+|BF2|，同理，|F1P|=|AF1|(2a-|BF2|)|AF1|+|BF2|，所以|F2P|+|F1P|=2a-2|BF2|AF1|AF1|+|BF2|=2a-ep，则P的轨迹为以F1，F2为焦点的椭圆，长半轴长为a-ep2=a2+c22a，短半轴长为(a2+c2)24a2-c2=a2-c22a，则P的轨迹方程为x2(a2+c22a)2+y2(a2-c22a)2=1，其中y0，令=2，|PS|2|P
18、T|2=(yS-yP)2(yS+yP)2=(ySyP-1)2(ySyP+1)2，因为a2a4+2a2c2+c44a2，所以|PS|2|PT|2不是定值，即即不是定值，故“当取定值，是定值”不符合条件，又直线ST的参数方程为x=x0+tcosy=y0+tsin，设S（x0+t1cos，y0+t1sin），T（x0+t2cos，y0+t2sin），因为(x0+tcos)2a2+(y0+tsin)2b2=1，整理得(cos2a2+sin2b2)t2+2(x0cosa2+y0sinb2)t+x02a2+y02b2-1=0，由韦达定理得t1+t2=-2(x0cosa2+y0sinb2)(cos2a2+s
19、in2b2)t1t2=x02a2+y02b2-1(cos2a2+sin2b2)，因为|PS|PT|，此时(1-)t2=-2(x0cosa2+y0sinb2)(cos2a2+sin2b2)-t22=x02a2+y02b2-1(cos2a2+sin2b2)，整理得(1-)2-4=(x0cosa2+y0sinb2)2(cos2a2+sin2b2)(x02a2+y02b2-1)，若为定值，则(1-)2-4为定值，因为(1-)2-4(cos2a2+sin2b2)=(x0cosa2+y0sinb2)2x02a2+y02b2-1，所以当P（x0，y0）变化时，(x0cosa2+y0sinb2)2x02a2+
20、y02b2-1始终为定值，又(x0cosa2+y0sinb2)2(x02a2+y02b2-1)=x02cos2a4+2x0y0cossina2b2+y02sin2b2x02a2+y02b2-1=x02cos2a4-b2sin2(a2+c2)2+2x0y0cossina2b2+b2sin24a2x021a2-b2(a2+c2)2+b24a2-1 则cos2a4-b2sin2(a2+c2)21a2-b2(a2+c2)2=b2sin24a2b24a2-1且cossina2b2=0，但0，（0，），解得=2，所以(1-)2-4=(y0b2)21b2(x02a2+y02b2-1)=y02b2x02a2+
21、y02-1=y02b2(a2+c2)24a2(1-y02b24a2)a2+y02-1=y02b2(a2+c2)24a2a2-1+1-(a2+c2)2a2y02，但此时(1-)2-4随y02的变化而变化，不是定值，则“当取定值，是定值”是错误的故选：D8（5分）在同一平面直角坐标系中，P，Q分别是函数f（x）axexln（ax）和g(x)=2ln(x-1)x图象上的动点，若对任意a0，有|PQ|m恒成立，则实数m的最大值为（）A3B322C2D52【解答】解：因为点P，Q分别是函数f（x）axexln（ax）和g(x)=2ln(x-1)x图象上的动点，不妨设P（k，akekln（ak），（a，k
22、0），Q（t，2ln(t-1)t)，（t1），可得|PQ|2（tk）2+（akekln（ak）-2ln(t-1)tt-2ln(t-1)t+akek-ln(ak)-k22，不妨设h（t）t-2ln(t-1)t，函数定义域为（1，+），可得h(t)=1-2tt-1-ln(t-1)t2=t2-2tt-1+2ln(t-1)t2，不妨设u（t）t-2tt-1+2ln（t1），函数定义域为（1，+），可得u(t)=2t-2(t-1)2+2t-1=2t(t2-2t+2)(t-1)20，所以函数u（t）在定义域上单调递增，因为u（2）0，所以函数h（t）在t2时取得极小值即最小值，此时h（2）2，不妨设v（k
23、）akekln（ak）k，函数定义域为（0，+），可得v(k)=a(k+1)ek-1k-1=(k+1)(aek-1k)，易知函数y=aek-1k在区间（0，+）上单调递增，所以存在 k00，使得aek0-1k0=0，即ek0=1ak0，解得k0ln（ak0），所以函数v（k）在kk0 时取得极小值即最小值，此时v（k0）1+k0k01，则|PQ|2(2+1)22=92，解得|PQ|322，因为对任意a0，都有|PQ|m恒成立，所以m322，即m的最大值为322故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有
24、选错的得0分（多选）9（5分）已知向量a=(1，3)，b=(2x，2-x)，其中xR，下列说法正确的是（）A若ab，则x6B若a与b夹角为锐角，则x6C若x1，则a在b方向上投影向量为bD若|a|=4【解答】解：a=(1，3)，b=(2x，2-x)，若ab，则ab=2x+3(2-x)=0，解得x6，故A正确；若a与b夹角为锐角，则ab=2x+3(2-x)0，解得x6，又当x=27，b=(47，127)，此时a=74b，a与b夹角为0，故x的取值范围为（，27）(27，+)，故B错误；若x1，则b=(2，1)，因为a在b方向上投影为ab|b|=2+35=5，与b同向的单位向量为b|b|=(255
25、，55)，所以a在b方向上投影向量为5b|b|=(2，1)=b，C正确；a=(1，3)，|a|=12+32=10，故D错误故选：AC（多选）10（5分）已知函数f（x）x3+ax2+bx+c（a，b，cR），则下列说法正确的是（）A若函数f（x）的图象关于点（1，f（1）中心对称，则a3B当c0时，函数f（x）过原点的切线有且仅有两条C函数f（x）在1，1上单调递减的充要条件是2ab3D若实数x1，x2是f（x）的两个不同的极值点，且满足x1+x2x1x2，则a0或a6【解答】解：A函数f（x）x3+ax2+bx+c，f（x）3x2+2ax+b，f（x）6x+2a，令f（x）6x+2a0，解得
26、x=-a3，函数f（x）的图象关于点（1，f（1）中心对称，-a3=1，解得a3，因此A正确Bc0时，原点（0，0）在函数f（x）x3+ax2+bx的图象上，因此过原点有一条切线；若切点不是原点时，设切点为P（x0，f（x0）（x00），则切线方程为y（x03+ax02+bx0）（3x02+2ax0+b）（xx0），把（0，0）代入可得：x0=-a2，若a0，则函数f（x）过原点的切线有且仅有一条；若a0，则函数f（x）过原点的切线有两条因此B不正确C函数f（x）在1，1上单调递减f（x）3x2+2ax+b3(x+a3)2+b-a23=g（x）0（不恒等于0）在1，1上恒成立，其对称轴为x=-
27、a3分类讨论：-a31g(-1)=3-2a+b0或-a3-1g(1)=3+2a+b0或-1-a31g(-1)=3-2a+b0g(1)=3+2a+b02ab3，因此C正确Df（x）3x2+2ax+b，由实数x1，x2是f（x）的两个不同的极值点，则4a212b0，即a23b0，x1+x2=-2a3，x1x2=b3，x1+x2x1x2，-2a3=b3，化为b2a，代入a23b0，可得a2+6a0，解得a0或a6，因此D正确故选：ACD（多选）11（5分）已知函数f（x）2sinx+|sin2x|，则（）Af（x）的最小正周期为2Bf（x）的图象关于x=2对称Cf（x）在0，2上有四个零点Df（x）
28、的值域为-2，332【解答】解：对于A，函数y2sinx的最小正周期为2，函数y|sin2x|的最小正周期为2，所以函数f（x）2sinx+|sin2x|的最小正周期为2，选项A正确；对于B，f（x+）2sin（x+）+|sin2（x+）|2sinx+|sin（2x）|2sinx+|sin2x|f（x），所以f（x）的图象关于直线x=2对称，选项B正确；对于C，当0x2时，f（x）2sinx+sin2x2sinx+2sinxcosx2sinx（1+cosx），易知此时f（x）有唯一零点x0；当2x时，f（x）2sinxsin2x2sinx2sinxcosx2sinx（1cosx），易知此时f（
29、x）有唯一零点x；当x32时，f（x）2sinx+sin2x2sinx+2sinxcosx2sinx（1+cosx），易知此时f（x）无零点；当32x2时，f（x）2sinxsin2x2sinx2sinxcosx2sinx（1cosx），易知此时f（x）有唯一零点x2，所以f（x）在0，2上有三个零点，选项C错误；对于D，当x=32时，y2sinx取得最小值2，此时y|sin2x|恰好取得最小值0，故f（x）的最小值为2；由选项C的分析可知，当x（，2时，f（x）0，当x0，时，f（x）0，而f（x）关于直线x=2对称，故可考虑0x2时，f（x）2sinx+sin2x的取值情况，f（x）2co
30、sx+2cos2x2（2cos2x1）+2cosx4cos2x+2cosx2，令f（x）0，解得cosx1（舍）或cosx=12，则x=3，易知当0x3时，f（x）0，f（x）单调递增，当3x2时，f（x）0，f（x）单调递减，所以此时，f(x)max=f(3)=2sin3+sin23=3+32=332，综上，函数f（x）的值域为-2，332故选：ABD（多选）12（5分）已知抛物线C：y24x，过焦点F的直线l与C交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，y12，E与F关于原点对称，直线AB与直线AE的倾斜角分别是与，则（）AsintanBAEFBEFCAEB90D2【解答】解：作ADx轴
31、于D，作BCx轴于C，所以D（x1，0），C（x2，0），抛物线C：y24x的焦点F（1，0），因为y12，所以x11，即90，所以直线l的斜率存在设为k，可得直线l的方程为yk（x1），与抛物线方程联立y=k(x-1)y2=4x，整理得k2x2（2k2+4）x+k20，所以x1+x2=2k2+4k2，x1x21，y12=4x1，对于A，sin=|AD|AF|=y1x1+1，tan=|AD|ED|=y1x1+1，所以sintan，故A错误；对于B，因为kAE=y1x1+1，kBE=y2x2+1，所以kAE+kBE=y1x1+1+y2x2+1=k(x2-1)(x1+1)+k(x1-1)(x2+1
32、)(x2+1)(x1+1)=k2x1x2-x1+x2+x1-x2-2(x2+1)(x1+1)=0，所以直线AE与BE的倾斜角互补，即AEFBEF，故B正确；对于C，因为x11，所以tan=|AD|ED|=y1x1+1=2x1x1+12x12x1=1，即AED45，因为AEFBEF，所以AEB90，故C正确；对于D，因为AEB90，所以0290，tan=|AD|FD|=y1x1-1，tan=|AD|ED|=y1x1+1，所以tan2=2tan1-tan2=2y1x1+11-(y1x1+1)2=2y1(x1+1)(x1-1)2，所以tantan2=y1x1+1-2y1(x1+1)(x1-1)2=y
33、1x1-y1-2y1x1-2y1(x1-1)2=-y1x1-3y1(x1-1)20，所以tantan2，即2，故D正确故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分13（5分）(2x-y)5展开式中x2y3的系数为 20（用数字作答）【解答】解：(2x-y)5的展开式的通项为Tr+1=C5r(2x)5-r(-y)r=C5r(2)5-r(-1)rx5-ryr，取r3得到T4=C53(2)2(-1)3x2y3=-20x2y3故答案为：2014（5分）已知某批零件的质量指标（单位：毫米）服从正态分布N（25.40，2），且P（25.45）0.1，现从该批零件中随机取3件，用X表示这3件
34、产品的质量指标值不位于区间（25.35，25.45）的产品件数，则D（X）0.48【解答】解：由正态分布的对称性可知，P（25.3525.45）12P（25.45）10.20.8，故1件产品的质量指标值不位于区间（25.35，25.45）的概率P0.2，则XB（3，0.2），故D（X）30.2（10.2）0.48故答案为：0.4815（5分）已知f（x）为奇函数，当x（0，1，f（x）lnx，且f（x）关于直线x1对称设方程f（x）x+1的正数解为x1，x2，xn，且任意的nN，总存在实数M，使得|xn+1xn|M成立，则实数M的最小值为 2【解答】解：因为f（x）为奇函数，所以f（x）f（x
35、），且f（0）0，又f（x）关于直线x1对称，所以f（1+x）f（1x），所以f（2+x）f（x）f（x），则f（4+x）f（2+x）f（x），所以函数f（x）是以4为周期的周期函数，作出函数yf（x）和yx+1的图像如图所示：由f（x）x+1的正数解依次为x1，x2，xn，则limn(xn+1-xn)的几何意义为函数f（x）两条渐近线之间的距离为2，所以limn(xn+1-xn)=2所以得任意的nN，|xn+1xn|2，已知任意的nN，总存在实数M，使得|xn+1xn|M成立，可得M2，即M的最小值为2故答案为：216（5分）在平面四边形ABCD中，ADB90，ABC90，BDBC2，沿对角
36、线BD将ABD折起，使平面ADB平面BDC，得到三棱锥ABCD，则三棱锥ABCD外接球表面积的最小值为 (25+2)【解答】解：在平面四边形中，设CBD（02），ABD=2-，在RtADB中，可得BAD，AD=2tan在BCD中，CD2BCsin2=4sin2设BCD外接圆圆心为M，外接圆半径为r，由正弦定理可得2r=CDsin=4sin22sin2cos2=2cos2，即r=1cos2设三棱锥ABCD外接球球心为O，则OM平面BCD又平面ADB平面BDC，平面ADB平面BDCBD，ADB90，AD平面BDC，则ADOM，得四边形OMDA为直角梯形设外接球的半径为R，在平面四边形OMDA中，过
37、O作OEAD于E，在AOD中，AODOR，E为AD的中点，OMDE=12AD=1tan，由DO2DE2+OE2，得R2DE2+r2=1tan2+1cos22，R2=cos2sin2+21+cos=cos2+2-2cos1-cos2=-1+3-2cos1-cos2令32cost，1t3，则cos=3-t2，R2=-1+4t-t2-5+6t=-1+4-(t+5t)+6，t+5t25，当且仅当t=5t，即t=5时（满足1t3）等号成立R2=-1+4-(t+5t)+65+12外接球表面积的最小值为4R2=45+12=(25+2)故答案为：(25+2)四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出必要的文
38、字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知数列an的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足Sn=(an+12)2（1）求an；（2）设bn=1(an+1)(an+1+1)，设数列bn的前n项和为Tn，若m-24Tnm5对一切nN*恒成立，求实数m的取值范围【解答】解：（1）当n1时，a1=S1=(a1+12)2，a11，当n2时，an=Sn-Sn-1=(an+12)2-(an-1+12)2=an2-an-12+2(an-an-1)4，即an2-an-12-2(an+an-1)=0，（an+an1）（anan12）0，由已知，数列an各项均为正数得anan12，an是首项为1，公差为2的等差数列
39、，an2n1；（2）由（1）知，an2n1，则bn=1(an+1)(an+1+1)=12n(2n+2)=14(1n-1n+1)，Tn=14(1-12+12-13+.+1n-1n+1)=14(1-1n+1)=n4(n+1)，Tn+1-Tn=n+14(n+2)-n4(n+1)=14(n+1)(n+2)0，Tn单调递增，TnT1=18，Tn=n4(n+1)14，18Tn14，要使m-24Tnm5恒成立，只需14m5m-2418，解得54m52所以实数m的取值范围是54，52)18（12分）记锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(A-B)cosB=sin(A-C)cosC（1）
40、求证：BC；（2）若asinC2，求1a2+1b2的最大值【解答】解：（1）证明：由于sin(A-B)cosB=sin(A-C)cosC，所以sinAcosB-cosAsinBcosB=sinAcosC-cosAsinCcosC，整理的cosA（sinBcosCcosBsinC）0，即cosAsin（BC）0，因为A为锐角，所以cosA0，故sin（BC）0，由B，C为锐角可得BC；（2）由（1）得bc，因为asinC2，且由正弦定理得asinCcsinAbsinAasinB2，所以a=2sinB，b=2sinA，则1a2+1b2=14(sin2A+sin2B)=14sin2B+sin2(B+
41、C)=14sin2B+sin22B=14(1-cos2B2+sin22B)=-14cos22B-18cos2B+38(*)，因为0B20-2B2，所以4B2，则22B，所以1cos2B0，根据二次函数的性质可知，当cos2B=-14时，（*）取得最大值256419（12分）如图4，在三棱台ABCA1B1C1中，底面ABC是边长为2的正三角形，侧面ACC1A1为等腰梯形，且A1C1AA11，D为A1C1的中点（1）证明：ACBD；（2）记二面角A1ACB的大小为，3，23时，求直线AA1与平面BB1C1C所成角的正弦值的取值范围【解答】（1）证明：如图，作AC的中点M，连接DM，BM，在等腰梯形
42、ACC1A1中，D，M为A1C1，AC的中点，ACDM，在正ABC中，M为AC的中点，ACBM，ACDM，ACBM，DMBMM，DM，BM平面BDM，AC平面BDM，又BD平面BDM，ACBD（2）解：AC平面BDM，在平面BDM内作MzBM，以M为坐标原点，以MA，MB，Mz，分别为x，y，z，轴正向，如图建立空间直角坐标系，DMAC，BMAC，DMB为二面角A1ACB的平面角，即DMB，A（1，0，0），B(0，3，0)，C（1，0，0），D(0，32cos，32sin)，C1(-12，32cos，32sin)，A1(12，32cos，32sin)，设平面BB1C1C的法向量为n=(x，y，z)，CB=(1，3，0)，CC1=(12，32cos，32sin)，则有，nCB=0nCC1=0，即x+3
