1、 学科网（北京）股份有限公司 福州市联盟校福州市联盟校 20232024 学年高二第二学期期末联考学年高二第二学期期末联考 数学试卷数学试卷 考生注意：考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分本试卷分选择题和非选择题两部分.满分满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题毫米黑色墨水签字笔在答题
2、卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷草稿纸上作答无效草稿纸上作答无效.3.本卷命题范围：人教本卷命题范围：人教 A 版必修一版必修一必修二必修二选择性必修一选择性必修一选择性必修二选择性必修二选择性必修三（第选择性必修三（第八章除外）八章除外）.一一选择题：本题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的项是符合题目要求的.1.已知由小到大排列的 5 个样本数据,12,16,19,23a的极差是 1
3、5，则a的值为（）A.6 B.7 C.8 D.9 2.已知钝角满足cos21cos+=，则cos=（）A.23 B.12 C.0 D.12或 0 3.若圆22:()(2)1Cxmym+=被直线:210l xy+=平分，则m=（）A.-2 B.23 C.12 D.13 4.已知函数()cossinf xxxxa=+，且22f=，则2f=（）A.2a+B.22a+C.24a+D.2 5.设,是两个不同的平面，l m是两条不同的直线，则“”的充分条件是（）A.,lmlm B.,lm,lm C.,lm,lm D.l,m,lm 6.在数学中，自然常数e2.71828.小布打算将自然常数的前 6 位数字2
4、,7,1,8,2,8进行排列得到密码.如果排列时要求 8 不排最后一个，两个 2 相邻，那么小布可以设置的不同的密码个数为（）A.30 B.32 C.36 D.48 学科网（北京）股份有限公司 7.已知12,F F分别为双曲线2222:1(0,0)xyCabab=的左右焦点，过1F的直线与双曲线C的左支交于,A B两点，若11224,AFFBABBF=，则双曲线C的焦距为（）A.2 213 B.4 213 C.3 72 D.2 3 8.若函数()sin3cos(0)f xxx=+在区间,a b上是减函数，且()()1,1f af b=，ba=，则=（）A.13 B.23 C.1 D.2 二二选
5、择题：本题共选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求要求.全部选对的得全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分.9.若复数z满足41 3ii1 iz+=+（i是虚数单位），则下列说法正确的是（）A.复数z的虚部为i B.z的模为2 C.z的共轭复数为1 i D.复数z在复平面内对应点在第一象限 10.已知()lnlnxxf xxx=+，则（）A.()()24ff=B.()f x在()0,e上单调递增 C.0 x，使()02f x
6、=D.0 x，使()02f x=11.数学中有许多形状优美寓意美好的曲线，如星形线卵形线曼叶线等，心形线也是其中一种，因其形状像心形而得名，其平面直角坐标方程可表示为2222,0 xyaya xya+=+，图形如图所示.当1a=时，点()()111222,P x yP xy在这条心形线C上，且120 x x，则下列说法正确的是（）学科网（北京）股份有限公司 A.若1OP2OP，则122PP=B.若1OP2OP，则121OPOP=C.124OPOP+=左右顶点分别为,A B，短轴长为2 3，离心率为12.（1）求椭圆C的方程；（2）若第一象限内一点P在椭圆上，且点P与PAB外接圆的圆心M的连线交
7、x轴于点Q，设PQQM=，求实数的值.18.（17 分）已知函数()1eln1xf xax=.（1）当1a=时，判断()f x的单调性；（2）证明：当1a时，()221af xa+.19.（17 分）对于数列 na，如果存在等差数列 nb和等比数列 nc，使得()*nnnabcn=+N，则称数列 na是“优分解”的.（1）证明：如果 na是等差数列，则 na是“优分解”的；（2）记()2*11,nnnnnnaaaaaan+=N，证明：如果数列 na是“优分解”的，则()2*0nan=N或数列2na是等比数列；（3）设数列 na的前n项和为nS，如果 na和nS都是“优分解”的，并且1233,4
8、,aaa=6，求 na的通项公式.学科网（北京）股份有限公司 福州市联盟校福州市联盟校 20232024 学年高二第二学期期末联考数学学年高二第二学期期末联考数学 参考答案参考答案解析及评分细则解析及评分细则 1.C 由题知最小的数据是a，最大的数据是 23，则极差为2315a=，解得8a=.故选 C.2.B 因为2cos22cos1=，所以()22cos11cos+=，解得1cos2=或 0（舍去）.故选 B.3.D 由题意得圆心(),2mm在直线:210l xy+=上，则410mm+=，解得13m=.故选 D.4.B 因为()()()cossincossinfxxxxaxxxa=+=+，故
9、()()2f xfxa+=，而2f=-2，故222fa=+，故选 B.5.C 对于 A，若,lmlm，则，故 A 错误；对于 B，若,lm,lm，则平面与平面可以相交或平行，故 B 错误；对于 C，因为,llm，由线面垂直的性质，所以m，又因为m，所以，故 C 正确；对于 D，若l,m,lm，则平面与平面可以相交或平行，故 D 错误.故选 C.6.C 根据题意，分两种情况：2 排在最后一位，则倒数第二位也是 2，再从剩下 4 个位置选出 2 个，安排两个 8，最后安排 7 和 1，此时有2242C A12=个不同的密码；2 不排在最后一位，则倒数第一位安排 7或 1，将两个 2 看成一个整体，
10、与两个 8 和 7 或 1 中剩下的数排列，此时有14241C A242=个不同的密码；则一共有1224+=36 个不同的密码.故选 C.7.B 如图，由于11224,AFFBABBF=，有21262aBFBF=4，可得2a=，又由212AFAFa=+，可得28AF=设22cab=+，在12BFF中，由余弦定理有 学科网（北京）股份有限公司 2221244364328cos2 2 282cccBFFccc+=.在12AFF中，由余弦定理有222121646444812cos2 4 2164cccAFFccc+=.又由1212BFFAFF+=，有1212coscos0BFFAFF+=，可得228
11、12024cccc+=，解得2 213c=，所以双曲线C的焦距为4 213.故选 B.8.A 由题知()sin3cos2sin3f xxxx=+=+，因为()()1,1f af b=，所以1sin32a+=，1sin32b+=，又因为()f x在区间,a b上是减函数，所以()()572,2 3636akkbkk+=+=+ZZ，两式相减，得()3ba=，因为ba=，所以13=.故选 A.9.BCD 由()()()()1 3i 1 i42i111 i1 i 1 i2z+=+，对于 A,z的虚部应为 1，故 A 错误；对于 B,z的模为1 12+=，故 B 正确；对于 C，z的共轭复数应为1 i，
12、故 C 正确；对于 D,z在复平面内对应点为()1,1，显然在第一象限，故 D 正确.故选 BCD.10.AC 要使函数()f x有意义，则有ln0,00 xxx且1x，即()f x定义域()()0,11,x+，故B 错误；()()()()()lnln4ln2,0,11,24ln42xxf xxffxx=+=，故 A 正确；学科网（北京）股份有限公司()()()()222ln1lnln1 lnln1ln(ln)xxxxxxxfxxxx x+=+=，记()()()ln,0,11,g xxx x=+，则()()111,0,1xgxxxx=时，()()0,1,gxx在()0,1上单调递减，在()1,
13、+上单调递增，()()110g xg=，即ln0 xx，又ln10 x=时，ex=，令()lnh xxx=+，则()h x单调递增，又()1110,110,eehh=存在唯一01,1ex，使得()00h x=，此时()000ln,0,xxxx=时，()()00,1fxxx时，()()0,1,efxx时，()()0,e,fxx，故()f x在()00,x上单调递增，在()0,1x上单调递减，在()1,e上单调递减，在()e,+上单调递增，()()00000lnelne1()2,()ee2lnlneeexxf xf xf xfxx=+=+=+极大值极小值.作出函数()f x的图象，如图，故 C 正
14、确，D 错误.故选 AC.11.ACD 依题意，心形线C的直角坐标方程为2222xyyxy+=+，过原点()0,0O，由1OP 2OP，可知O，12,P P三点共线，可设直线12:PPytx=，由2222,xyyxyytx+=+=消去y，得()222110txtxtx+=.不妨设120,0 xx，则22222121212222112 1,.112111tttttxxPPtxxtttt+=+=+=+，故 A 正确；22221222211111111ttttOPOPttttt+=+=+，当0t 时，121OPOP，故 B 错误；设点(),P x y在心形线C上，POx=，角以x轴非负半轴为起始边，
15、则心形线C的方程转化为2|sinOPOPOP+=，即()sin10OPOP+=，1 sin2OP=，又 学科网（北京）股份有限公司 12120,4x xOPOP+，故 C 正确；由222OPxy=+，可知2 y 2.令()220txyt=+，则心形线C的方程可化为210,1 40,24ttyyy+=，当0y=，20,0ttt=或1t=，进而可得1x=或 0，当1y=时，方程无整数解；当2y=时，220,2ttt=，故0,xC=上有 4 个整点()()()()1,0,1,0,0,0,0,2，故 D 正确.故选 ACD.12.()1,+由题意知1Ax x=，又()Bx xaa=，即a的取值范围为(
16、)1,+.13.33 设圆锥母线长为R，底面圆半径长r，因为侧面展开图是一个半圆，此半圆半径为R，半圆弧长为2r，所以2Rr=，即2Rr=，因为表面积是侧面积与底面积的和，所以2221332SRrr=+=表，所以1,2rR=，则圆锥的高223hRr=，所以22113 13333Vr h=.14.144 依题意，首项和末项相差 11，而任意相邻两项之间满足()11,2,112,nnaakm k m+=+N，当k=0 时，即后一项与前一项的差均为 1，数列 na的个数为 1；当1k=时，即后一项与前一项的差出现一个 2，九个 1，数列 na的个数为110C；当2k=时，即后一项与前一项的差出现两个
17、 2，七个 1，数列 na的个数为29C；当3k=时，即后一项与前一项的差出现三个 2，五个 1，数列 na的个数为38C；当4k=时，即后一项与前一项的差出现四个 2，三个 1，数列 na的个数为47C；当5k=时，即后一项与前一项的差出现五个 2，一个 1，数列 na的个数为56C，所以符合上述要求的不同数列 na的个数为123451098761CCCCC144+=.15.解：（1）因为()()sinsinsinsinabABcCbA=，由正弦定理可得22()abcab=.可化为222ababc=+.又由余弦定理，有2221cos222abcabCabab+=.学科网（北京）股份有限公司
18、又()0,C，所以3C=.（2）因为7c=，由（1）有227abab=+.可化为2()70abab+=.又由1ba=，有6ab=.所以113 3sin6 sin2232ABCSabC=.16.（1）证明：四边形ABCD为矩形，CDAD，PA 平面,ABCD CD 平面,ABCDPACD，又,PAADA PA AD=平面,PADCD平面PAD，又AE 平面,PADCDAE.PAAD=，点E是PD的中点，AEPD.又,PDCDD PD CD=平面,PCDAE平面PCD.PC 平面,PCDPCAE.又,EFPC AEEFE AE EF=平面,AEFPC平面AEF，AF 平面,AEFPCAF.（2）解
19、：如图，因,AB AD AP两两垂直，故可以A为坐标原点，,AB AD AP所在直线分别为,x y z轴建立空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,0,0,1,2,1,0,0,1,0APCD，()()2,1,1,0,1,0PCAD=.由（1）可知，()0,1,0AD=可看成平面PAB的一个法向量，学科网（北京）股份有限公司()2,1,1PC=可看成平面AEF的一个法向量.设平面AEF与平面PAB的所成角为，216cos,621 1AD PCAD PC=+30sin6=，平面AEF与平面PAB所成角的正弦值为306.17.解：（1）因为短轴长为2 3，所以3b=，又椭圆C的离心率为12，则
20、有22212cabeaa=，解得2a=，所以C的方程为22143xy+=.（2）因为PAB外接圆经过椭圆的左右顶点，所以圆心M在y轴上，设圆心()()000,MmP xy，则圆M的半径为24m+，所以24MPm=+，所以()222004xymm+=+.又点P在椭圆上，所以2200143xy+=，两方程消去0 x得：06ym=.再由直线PM的斜率为0007PMymmkxx=，可设直线PM的方程为()070mymxx=，令0y=，所以点Q的横坐标为07x.学科网（北京）股份有限公司 又PQQM=，所以000077xxx=，解得6=.18.（1）解：当1a=时，()1eln1(0)xf xxx=，(
21、)111e1exxxfxxx=.令()1e1(0)xg xxx=，则()()11 e0 xgxx=+恒成立，()g x在()0,+上单调递增，又因为()10g=，则当()0,1x时，()0fx.所以()f x在()0,1上单调递减，在()1,+上单调递增.（2）证明：()()1eln1,0,xf xaxx=+，所以()11exfxax=，令()()()1h xfxa=，则()121e0 xh xax=+，所以()fx在()0,+上单调递增.当1a=时，()11exfxx=，又()10f=，有()()0,1,0 xfx，即()f x单调递增.所以()()01eln1 10f xf=，而此时220
22、1aa=+.所以当1a=时，()221af xa+成立；当1a 时，可得110a，所以11e1a，所以11111ee10aafaaaa=，所以存在01,1xa，使得()00fx=，即0101exax=，学科网（北京）股份有限公司 所以函数()f x在()00,x上单调递减，在()0,x+上单调递增.所以()()0100eln1xf xf xax=，由0101exax=可得，()0000112ln22lnlnf xxaxaaxx+=.下面证明22ln(1)1aaaa+.令()22ln(1)1xxxxx=+，所以()()()22221221(1)0(1)(1)xxxxxxx x+=+，所以()x在
23、()1,+上单调递增，所以()()10 x=，即22ln1aaa+得证，即()221af xa+成立.综上，当1a时，()221af xa+成立.19.（1）证明：因为 na是等差数列，所以设()()111111naandand=+=+，令()111,1nnband c=+=，则 nb是等差数列，nc是等比数列，所以数列 na是“优分解”的.（2）证明：因为数列 na是“优分解”的，设()*nnnabcn=+N，其中()()11111,0,0nnnbbnd cc qcq=+=，则()121211111,(1)nnnnnnnnaaadc qqaaac qq+=+=.当1q=时，()2*0nan=
24、N；当1q 时，2na是首项为21(1)c q，公比为q的等比数列.（3）解：一方面，因为数列nS是“优分解”的，设()*nnnSBCn=+N，其中()()11111,0,0nnnBBnD CC QCQ=+=，由（2）知2121(1)nnSC QQ=.因为121223234,6SSSaSSSa=，所以21212SSS=.所以21(1)2C Q=，所以1Q，所以2nS是首项为 2，公比为()1Q Q 的等比数列.学科网（北京）股份有限公司 另一方面，因为 na是“优分解”的，设()*nnnabcn=+N，其中()()11111,0,0nnnbbnd cc qcq=+=，()2111211,1nn
25、nnnnnnnnSSSaSSSaadc qq+=+.因为2nS是首项为 2，公比为()1Q Q 的等比数列，所以0,1qq，且()()()2222213SSS=，所以()()()223111111dc qqdc q qdc qq+=+，化简得31(1)0c dq q=.因为10,0,1cqq，所以0d=，所以()1111nnnnaaac qq+=，即数列na是首项1211aaa=，公比为q的等比数列.又因为2322aaa=，所以2q=.又因为212S=，所以()112dc q q+=.因为0,2dq=，解得11c=，所以1113 12bac=.综上所述，()1111122nnnabndc q=+=+.
