1、 学科网（北京）股份有限公司 20232024 学年度（下）联合体高二期末检测学年度（下）联合体高二期末检测 数学数学（满分：（满分：150 分分 考试时间：考试时间：120 分钟）分钟）注意事项注意事项：1.答题时答题时，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时答选择题时，必须使用必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动如需改动，用橡皮擦用橡皮擦擦干净后擦干净后，再选涂其他答案标号再选涂其他答案标号.3.答非选择题时答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑
2、色签字笔必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上将答案书写在答题卡规定的位置上，写在试题卷、草稿纸上无效写在试题卷、草稿纸上无效.4.考试结束后考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回将试题卷和答题卡一并交回.第第卷卷（选择题选择题，共共 58 分分）一、单选题一、单选题（本大题共本大题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分.在每小题所给的四个选项中在每小题所给的四个选项中，有且只有且只有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的）1.已知集合13Ay yx=+，2450Bx xx=，则AB=（）A.)1,5 B.)3,5 C.()1,5 D.)1,3 2
3、.设数列 na的前n项和为nS，则“na是等差数列”是“535Sa=”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知函数()f x的定义域为R，对任意x都有()()5f xf x+=，当(0,5x时，()121 e,02,log,25,xxf xxx=则()2024f=（）A.2log 5 B.1 C.2 D.31 e 4.已知函数()f x的导函数为()fx，且()32cos6f xxfx=+，则6f=（）A.32 B.32 C.12 D.12 5.已知随机变量(),XB n p，若()35E X=，()1225D X=，则np=（）A.15
4、B.115 C.154 D.415 6.某工厂生产零件的尺寸指标()18,0.01XN，若尺寸指标在(17.9,18.2内的零件为优等品，从该厂生 学科网（北京）股份有限公司 产的零件中随机抽取 10000 件，则抽取到的优等品的件数约为（参考数据：若()2,N，则()0.6827P+=，()220.9545P+=，()330.9973P，0b 且142ab+=，则下列说法正确的是（）A.ab有最小值 4 B.ab+有最小值92 C.2aba+有最小值2 5 D.2216ab+的最小值为4 2 11.已知函数()f x的定义域为R，()1f x+为奇函数，()2f x+为偶函数，且对任意1x，
5、()21,2x，12xx，都有()()12120f xf xxx，则（）A.()f x是奇函数 B.()20230f=C.()f x的图象关于()1,0对称 D.()()eff 第第卷卷（非选择题非选择题，共共 92 分分）三、填空题三、填空题（本大题共本大题共 3 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 15 分分）12.若命题“x R，290 xmx+，290 xmx+”为假命题，则m的取值范围是_.13.端午节期间，小王、小李、小张和小刘四人分别计划去游玩，现有三个出游的景点：沈阳故宫、张学良旧居、辽宁大剧院，假设每人随机选择一处景点，在至少有两人去沈阳故宫的条件下有人去辽宁大剧院的概率
6、为_.14.已知数列 na的各项均为 1，在其第k项和第1k+项之间插入k个 2（*kN），得到新数列 nb，记新数列 nb的前n项和为nS，则2024b=_，2024S=_.四、解答题四、解答题（本大题共本大题共 5 小题小题，共共 77 分分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤骤）15.（13 分）已知数列 na的前n项和为nS，264a=，1141515nnSa+=，4lognnba=，*nN.（1）求数列 na和 nb的通项公式；（2）令1432nnTbbb=+，证明：1211143nTTT+.16.（15 分）甲、乙两人准备进行
7、台球比赛，比赛规定：上一局中赢球的一方作为下一局的开球方.若甲开球，则本局甲赢球的概率为23；若乙开球，则本局甲赢球的概率为13，每局比赛的结果相互独立，且没有平局，经抽签决定，第一局由甲开球.（1）求第 3 局甲开球的概率；（2）设前 4 局中，甲开球的次数为X，求X的分布列及数学期望.17.（15 分）已知数列 na满足12a=，1122nnnaa+=+，数列 nb满足11b=，12121nnnbbn+=，学科网（北京）股份有限公司*nN.（1）证明：2nna为等差数列，并求na的通项公式；（2）若11nnncb b+=，记 nc的前n项和为nS，且对任意的*nN，不等式nS恒成立，求实数
8、的取值范围.18.（17 分）已知函数()()22ln1xf xa xx=+.（1）当0a=时，求()f x的极值；（2）当1a=时，求()f x在)1,+上的最小值；（3）当0a，k为给定的正实数，若函数()()2log4xf xax=+具有性质()P k，求a的取值范围.（用含字母k的式子表示）学科网（北京）股份有限公司 20232024 学年度（下）联合体高二期末检测学年度（下）联合体高二期末检测 数学参考答案及评分标准数学参考答案及评分标准 一、单选题一、单选题（本大题共本大题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分）1.B 【解析】集合133Ay yxy y=+=，
9、245015Bx xxxx=，故35ABxx=.2.A 【解析】由 na是等差数列，得()1553552aaSa+=，满足充分性；若535Sa=，则12535aaaa+=，得不到 na是等差数列，不满足必要性，则“na是等差数列”是“535Sa=”的充分不必要条件.3.C 【解析】因为函数()f x的定义域为R，对任意x都有()()5f xf x+=，所以()()()22024404 544log 42fff=+=.4.D 【解析】因为()32cos6f xxfx=+，所以()32sin6fxfx=.令6x=，则32sin666ff=，解得162f=.5.A 【解析】因为()35E Xnp=，
10、()()12125D Xnpp=，所以()()415D XpE X=，即15p=，所以3n=，所以15np=.6.B 【解析】由题意可得()0.68270.954517.918.20.81862PX+时，()1lnf xxx=+，其导数()22111xfxxxx=，在区间()0,1上，()0fx，函数()f x为增函数，符合题意；学科网（北京）股份有限公司 对于 C，()12lnf xxx=+，有()11f=，()11f=，当0 x 时，()12lnf xxx=+，其导数()221221xfxxxx=+=，在区间10,2上，()0fx，函数()f x为增函数，不符合题意；对于 D，()1lnf
11、 xxx=+，有()11f=，不符合题意.8.C 【解析】因为树干周长为3.14m，又因为周长2 mr=，可得0.5m50cmr=.从树芯到树皮，设第n个年轮的宽度是na，则由题可知50.4cma=，40.2cmna=，且na是等差数列，则1540.40.2500.3222nnaaaarnnnn+=，解得501670.3n=（年），由树龄在 100299 年之间的古树为三级，可知该大树属于三级.二、多选题二、多选题（本大题共本大题共 3 小题小题，每小题每小题 6 分分，共共 18 分分.在每小题所给的四个选项中在每小题所给的四个选项中，有多项有多项符合题目要求符合题目要求.全部选对的得全部选
12、对的得 6 分分，部分选对的得部分分部分选对的得部分分，有选错的得有选错的得 0 分分）（评分标准：如果正确答案有 2 个，每个答案 3 分；如果正确答案有 3 个，每个答案 2 分）9.BD 【解析】由导函数图象可知，当2x 或12x时，()0fx，不妨设12xx，则()()120f xf x，由单调性的定义可得函数()f x在()1,2上单调递增，又由函数()f x关于()1,0对称，所以()f x在()0,2上单调递增.又()()()44fff=，()()()ee44efff=，44e，所以()()44eff，得()()eff，D 错误.故选：BC.三、填空题三、填空题（本大题共本大题共
13、 3 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 15 分分）学科网（北京）股份有限公司（评分标准：14 题第 1 空 2 分，第 2 空 3 分）12.6,6 【解析】因为命题“x R，290 xmx+”为假命题，所以命题“x R，290 xmx+”为真命题，所以()24 90m=，解得66m，所以m的取值范围是6,6.13.23 【解析】至少有两人去沈阳故宫的情况有三种：两人去、三人去、四人去，其概率为21134422444C C CC2C33381+=，至少有两人去沈阳故宫且有人去辽宁大剧院的概率为23444C3C22381+=，所以在至少有两人去沈阳故宫的条件下有人去辽宁大剧院的概率为22
14、2333=.14.2 3985 【解析】由题意，将数列 nb的各项按如下数阵排列：其中第n（*nN）行有1n+项，则该数阵中，第n行最后一项对应数列 nb中的第()()323412n nn+=项.因为62 6563 6620152024207922=，且202420159=+，所以2024b位于数阵的第 63 行第 9 项，故20242b=，数列 nb的前 2024 项中，项的值为 1 的共 63 项，项的值为 2 的项共2024631961=（项），因此20241 632 19613985.S=+=四、解答题四、解答题（本大题共本大题共 5 小题小题，共共 77 分分）15.（1）解：当1n
15、=时，1121441515aSa=；1 分 当2n 时，1141515nnSa=，又1141515nnSa+=，两式相减，得11111515nnnnnaSSaa+=，2 分 化简得116nnaa+=.3 分 因为2116aa=，所以数列 na是首项为 4，公比为 16 的等比数列，所以1214 164nnna=（*nN），5 分 学科网（北京）股份有限公司 所以214log 421nnbn=（*nN）.7 分（2）证明：由（1）知21nbn=，所以()()()1765165322nnTnnnn=+=+=.8 分 当1n=时，1111413niiTT=成立；9 分 当2n 时，()()()113
16、31132332333333nTnnnnnnnn=，故111111111111413669333333niiTTnnn=+=+成立.12 分 综上所述，1211143nTTT+（*nN）均成立.13 分 16.解：（1）设第i局甲赢球为事件iA，则第i局乙赢球为事件iA，其中i1,2,3=，则“第 3 局甲开球”为事件2A，则()()()212122211533339P AP A AP A A=+=+=.5 分（2）依题意1,2,3,4X=，则()()1231224133327P XP A A A=；7 分()()()()1231231232P XP A A AP A A AP A A A=+
17、212111121733333333327=+=；.9 分()()()()1231231233P XP A A AP A A AP A A A=+221211112833333333327=+=；11 分()()1232228433327P XP A A A=，13 分 所以X的分布列为 X 1 2 3 4 p 427 727 827 827 学科网（北京）股份有限公司 则()47887412342727272727E X=+=.15 分 17.（1）证明：因为12a=，1122nnnaa+=+，两边同除以12n+，得11122nnnnaa+=+，2 分 从而11122nnnnaa+=，112
18、a=，3 分 所以2nna是首项为 1，公差为 1 的等差数列，4 分 所以2nnan=（*nN），所以2nnan=（*nN）6 分（2）解：由11b=，12121nnnbbn+=，所以12123nnbnbn=（2n），7 分 所以13211221nnnnnbbbbbbbbbb=21 235312123 2531nnnnn=9 分 所以()()111121212 2121ncnnnn=+，10 分 则111111123352121nSnn=+11111221242nn=+（*nN），13 分 所以102nS，即()f x在)1,+上是增函数，7 分 则()()min10f xf=.8 分（3）
19、()()22ln1xf xa xx=+，()1,ex，()()3222 1 ln22ln2xaxxfxaxxx+=+=.10 分 令()3ln1g xaxx=+，()1,ex，()321313axgxaxxx=，当0a 时，()0gx，则()g x在()1,e上是减函数，则()()11g xga=+.当10a+时，()0fx，则()f x在()1,e上是减函数，()()max10f xf时，()3ee0ga=极大值，14 分 只需()()22ee10efa=+，解得32eea.综上，a的取值范围是321,ee.17 分 19.解：（1）对任意xR，()()2024202401f xfx=，所以
20、()g x不具有性质()1P.5 分（2）由于0a，函数()()2log4xf xax=+的定义域为R，()()()2224log4loglog222xxxxxaf xaxa+=+=+.6 分 若函数()f x具有性质()P k，则对于任意实数x，有()()()()22222log22log22log22xxxxxxxxaf xfxaaka+=+=+，即222log22xxxxakka+，即24log14xxakka+.8 分 由于函数2logyx=在()0,+上递增，得42214xkkxaa+，10 分 即112214kkxaaaa+.当1a=时，得212kk，对任意实数x恒成立；12 分 当1a 时，易得10aa，由141xa+，得10114xa+，得11014xaaaaa+，得11114xaaaaaa+，由题意得112214kkxaaaa+对任意实数x恒成立，学科网（北京）股份有限公司 所以12,2,kkaa解得12ka.14 分 当01a时，易得10aa，得10114xa+，得11114xaaaaaa+.由题意得112214kkxaaaa+对任意实数x恒成立，所以2,12,kkaa 解得21ka.16 分 综上所述，a的取值范围为2,2kk.17 分
