1、【新结构】2023-2024 学年广东省阳江市高二下学期期末测试数学试学年广东省阳江市高二下学期期末测试数学试题题 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，则()A.B.C.D.2.双曲线的渐近线方程为()A.B.C.D.3.已知为平面的一个法向量，l为一条直线，为直线 l的方向向量，则“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.下列说法错误的是()A.若随机变量，则 B.若随机变量 X的方差，则 C.若，则事件 A与事件 B 独立 D.若随机变量 X 服从
2、正态分布，若，则 5.展开式中的系数为()A.17 B.20 C.75 D.100 6.已知正数 x，y 满足，则的取值范围是()A.B.C.D.7.若函数，在其定义域上只有一个零点，则整数 a的最小值为()A.4 B.5 C.6 D.7 第 2 页，共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 8.记表示不超过 x的最大整数，如，已知数列的通项公式为，数列满足，则()A.23 B.22 C.24 D.25 二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9.若直线与圆相交于两点，则的长度可能等于(
3、)A.3 B.4 C.5 D.6 10.下列定义在上的函数中，满足的有()A.B.C.D.11.已知正方体的棱长为 2，点 M，N 分别为棱的中点，点 P 为四边形含边界 内一动点，且，则()A.平面 AMN B.点 P的轨迹长度为 C.存在点 P，使得面 AMN D.点 P 到平面 AMN 距离的最大值为 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。12.函数的极小值点为_.13.已知过椭圆的右顶点 A作直线 l交 y 轴于点 M，交椭圆于点 N，若是等腰三角形，且，则椭圆的离心率为_.14.现有甲、乙两个盒子，甲盒有 2个红球和 1个白球，乙盒有 1个红球和 1个白球.先从
4、甲盒中取出 2个球放入乙盒，再从乙盒中取出 2 个球放入甲盒.记事件 A 为“从甲盒中取出 2个红球”，事件 B 为“乙盒还剩 1个红球和 1个白球”，则_，_.四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.本小题 13分 已知数列的前 n 项和为，且 求的通项公式；若数列满足，求的前 2n项和 第 3 页，共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 16.本小题 15分 在直四棱柱中，底面为矩形，O，E分别为底面的中心和 CD的中点，连接 OE，求证：平面平面；若，求平面与平面所成角的余弦值 17.本小题 15分 已知函数 若，求曲线在点处的切线方程
5、；求函数的单调区间；若恒成立，求实数 a 的取值集合 18.本小题 17分 时下流行的直播带货与主播的学历层次有某些相关性，某调查小组就两者的关系进行调查，从网红的直播中得到容量为 200的样本，将所得直播带货和主播的学历层次的样本观测数据整理如下：主播的学历层次 直播带货评级 合计 优秀 良好 本科及以上 60 40 100 专科及以下 30 70 100 合计 90 110 200 依据小概率值的独立性检验，分析直播带货的评级与主播学历层次是否有关？现从主播学历层次为本科及以上的样本中，按分层抽样的方法选出 5人组成一个小组，从抽取的 5人中再抽取 3 人参加主播培训，求这 3 人中，主播
6、带货优秀的人数 X的概率分布和数学期望；统计学中常用表示在事件 A 条件下事件 B 发生的优势，称为似然比，当时，我们认为事件 A条件下 B 发生有优势现从这 200人中任选 1 人，A 表示“选到的主播带货良好”，B表示“选到的主播学历层次为专科及以下”，请利用样本数据，估计的值，并判断事件 A条件下 B 发生是否有优势 第 4 页，共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 附：，k 19.本小题 17分 如图，抛物线是抛物线内一点，过点 M作两条斜率存在且互相垂直的动直线，设与抛物线相交于点与抛物线相交于点 C，D，当 M恰好为线段 AB的中点时，求抛物线的方程；求的最小值 第 5 页，共
7、 16 页 学科网（北京）股份有限公司 答案和解析答案和解析 1.【答案】B 【解析】【分析】本题主要考查一元二次不等式的解法，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题.解一元二次不等式求得 B，再根据两个集合的交集的定义求得【解答】解：，所以，故选 2.【答案】C 【解析】【分析】本题主要考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于基础题 根据双曲线渐近线方程即可计算【解答】解：由双曲线 ，可得 ，所以双曲线的渐近线方程为 .故选 3.【答案】B 【解析】【分析】本题考查利用空间向量判断直线与平面之间的位置关系，涉及充分条件必要条件的判定，属于基础题.若 为平面的一个法向量，则或，若为平面的一个法
8、向量，则，利用充分条件和必要条件的定义即可得出结论.【解答】解：若 为平面的一个法向量，则或，若为平面的一个法向量，则，故“”是“”的必要不充分条件.故选 4.【答案】B 第 6 页，共 16 页 学科网（北京）股份有限公司【解析】【分析】本题考查二项分布的期望，正态分布的应用，离散型随机变量的方差的性质，条件概率与相互独立事件，属于中档题.对于 A，由二项分布的期望公式计算即可；对于 B，根据方差的性质即可求解判断;对于 C，由条件概率求得，与比较，即可判断事件 A 与事件 B 是否独立；对于 D，根据正态分布的对称性即可判断.【解答】解：对于 A，因为随机变量，所以，故 A正确；对于 B，
9、故 B错误；对于 C，由，得，因为，所以事件 A 与事件 B 独立，故 C正确；对于 D，因为，所以 因为随机变量 X服从正态分布，所以 所以，故 D正确.5.【答案】A 【解析】【分析】本题考查二项式指定项的系数，属于基础题.由，先求出的通项，令和即可得出答案.【解答】解：因为，的通项为：，令可得；令可得，第 7 页，共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 所以展开式中的系数为：故选：6.【答案】C 【解析】【分析】本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题.根据基本不等式可得 ，结合完全平方公式计算即可求解.【解答】解：因为 ，即 ，当且仅当 时等号成立，所以 .故选 7.【答案】C 【解
10、析】【分析】本题考查如何利用导数研究函数的零点 或方程的根，零点存在定理，及函数单调性与最值，属于较易题.先根据零点存在定理判断出在上有唯一实数根，于是时，无解，根据导数可判断时，有最小值，只需最小值大于零即可.【解答】解：根据指数函数性质在上单调递增，且在上单调递增，故当时，则在上单调递增，根据零点存在定理，在存在唯一零点，则当时，无零点，时，令，则；时，则，在上单调递减，在上单调递增，于是时，有最小值，第 8 页，共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 依题意，解得，所以最小整数为 故选：C 8.【答案】D 【解析】【分析】本题考查数列的新定义问题，属于中档题.由新定义求出，记数列和的前
11、 n 项和分别为和，然后再由分组求和法即可求解.【解答】解：由，可知，记数列和的前 n 项和分别为和，由，得，而，所以 故选 9.【答案】BCD 【解析】【分析】本题主要考查直线的方程、圆的方程及其性质、直线与圆的位置关系等知识，属于基础题 因为直线经过原点，圆的圆心为，所以当直线与 OC垂直时，直线被圆截得的弦最短，直线经过圆心时，直线被圆截得的弦最长，由此算出弦长的取值范围，进而可得正确答案【解答】解：根据题意，可得直线经过原点，圆 C：，圆心为，半径 当直线经过点 C时，直线被圆截得的弦长为圆的直径，此时弦长达到最大值；，当直线与 OC垂直时，直线被圆截得的弦长为，此时弦长达到最小值 第
12、 9 页，共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 综上所述，直线被圆 C 截得弦长的取值范围是，对照各项，可知 BCD符合题意 故选：10.【答案】ACD 【解析】【分析】解：对于 A，则，当且仅当时，等号成立，满足条件；对于 B，则，当且仅当时，等号成立，不满足条件；对于 C，所以，显然成立；对于 D，因为，所以，所以，当且仅当时，等号成立，满足条件 故选：【解答】本题考查了指数函数、幂函数、余弦函数的性质，考查了基本不等式的应用，属于中档题 利用函数性质与基本不等式判断 A，B，D；利用余弦函数的性质判断 11.【答案】AD 【解析】【分析】本题考查正方体的结构特征，考查线面平行的判定定
13、理，考查利用向量法证明线面垂直及点面距离的求解，考查几何体中的轨迹问题，属于难题.对于 A，由正方体的性质及线面平行的判定定理判断即可，对于 B，求出 的长，即可判断点 P 的轨迹，对于 CD，建立空间直角坐标系，求出相关向量的坐标即可判断.【解答】解：对于 A，由正方体的性质可知，因为点 M，N 分别为棱 的中点，所以 MN ，所以 MN，因为 平面 AMN，平面 AMN，所以 平面AMN，所以 A 正确；第 10 页，共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 对于 B，因为 ，所以点 P 的轨迹是以 为圆心，为半径的 圆弧，所以其轨迹的长为 ，所以 B错误；对于 C，以 D 为原点，所在的
14、直线分别为 轴建立空间直角坐标系，则 ，设 ，则 ，因为 面 AMN，面 AMN，所以 ，所以 ，解得 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以不存在点 P，使得 面 AMN，所以 C 错误；对于 D，设平面 AMN 的法向量为 ，则 ，令 ，则 ，因为 ，所以点 P 到平面 AMN 的距离 ，因为 ，所以 ，则令 ，所以 ，其中 ，所以点 P 到平面 AMN 距离的最大值为 ，所以 D 正确，故选 第 11 页，共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 12.【答案】3 【解析】【分析】本题主要考查利用导数求已知函数的极值或极值点，属于基础题.求得导函数，分析导函数的正负，得到函数的单调性，进而确定极
15、值点的情况.【解答】解：，令，得或，令，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数的极小值点为 故答案为：13.【答案】【解析】【分析】本题考查椭圆的性质及几何意义，属于基础题.设，所以，代入椭圆方程，化简即可得解.【解答】解：不妨设，因为，所以，代入椭圆得，即 4b222，整理得：4a22，故 14.【答案】；【解析】【分析】本题考查了条件概率的概念与计算，概率的乘法公式，属于基础题.利用公式，计算即可.【解答】解：，第 12 页，共 16 页 学科网（北京）股份有限公司，15.【答案】解：因为，所以当时，当时，又时符合上式，所以 则 【解析】本题考查数列的递推关系及通项公式的求解，等
16、差数列的判定，以及裂项相消法求和的应用，属于中档题.由已知通过数列的递推关系可得数列的通项公式；分类讨论 n 的奇偶，然后结合裂项相消法求和及等比数列求和求解即可.16.【答案】解：证明：由题可得，因为平面 ABCD，平面 ABCD，所以，又因为，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面 以 D 为原点，以 DA，DC，所在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系.第 13 页，共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 因为，所以不妨取，由已知得，所以，又，设平面的法向量为，所以，即 不妨取，设平面的法向量为，所以，即 不妨取，设平面与平面所成角的大小为，所以 所以平面与平面所成角的余弦值为
17、 【解析】本题主要考查面面垂直的判断，平面与平面所成角的向量求法，属于中档题.可证平面，利用面面垂直的判定定理，可证平面平面；建立合适的空间直角坐标系，利用两平面的法向量的数量积可得平面与平面所成角的余弦值 17.【答案】解：当 时，所以 ，即切点坐标为 ，切线的斜率 ，第 14 页，共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 所以曲线 在点 处的切线方程为 由题意得：的定义域为 ，当 时，则 单调递减区间为 ，无单调递增区间，当 时，令 ，解得：，所以当 时，当 时，所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，综上所述：时，则 的单调递减区间为 ，无单调递增区间，时，的单调递减区间为 ，单调递
18、增区间为 ；当 时，不合题意，当 时，由知 ，则 ，令 ，则 ，所以当 时，当 时，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ，所以 ，实数 a 的取值集合为 【解析】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，属于中档题 求出函数的导数，分别计算，的值，求出切线方程即可；求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；根据函数的单调性求出 a的范围即可 18.【答案】解：由题意得 ，由于 ，依据小概率值 的独立性检验，可以认为直播带货的评级与主播的学历层次有关联；第 15 页，共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 按照分层抽样，直播带货优秀的有 3 人，
19、直播带货良好的有 2 人，随机变量 X 的可能取值为 1，2，3，所以 X 的分布列为：X 1 2 3 P 所以数学期望 ；，因为 ，所以认为在事件 A 条件下 B 发生有优势 【解析】本题考查独立性检验，考查条件概率，以及离散型随机变量分布列和期望，属于中档题.计算出卡方，即可判断；首先求出直播带货优秀与良好的人数，则 X 的可能取值为 1，2，3，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望；根据所给公式及条件概率公式计算出，即可判断.19.【答案】解：设直线，联立 ，得，所以，又因为是中点，所以，代入化简得，解得 故抛物线的方程为 第 16 页，共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 ，因为 ，同理，所以，当且仅当时，等号成立，即所求最小值为 【解析】本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线位置关系及其应用，属于较难题.设直线，联立结合韦达定理求解即可；根据，结合化简，利用基本不等式求解即可.
