1、2023-2024 学年度下学期学年度下学期 2022 级级 7 月月考数学试卷 命题人：镇祥平 审题人：冷劲松 考试时间：2024 年 7 月 26 日 一、单选题一、单选题 1已知m为实数，若复数()()242 izmm=+为纯虚数，则复数z的虚部为（）A2 B2i C4 D4i 2命题0:(0,)px+，使得20010 xx+Bcab Cbac Dacb 6已知()f x，()g x是定义域为 R 的函数，且()f x是奇函数，()g x是偶函数，满足()()22f xg xaxx+=+，若对任意的1212xx 成立，则实数 a 的取值范围是（）A)0,+B3,04 C3,4+D3,4+
2、学科网（北京）股份有限公司 2 7设12,F F分别是离心率为22的椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左、右焦点，过点1F的直线交椭圆C于,A B两点，且113AFFB=，则2cos AF B=（）A15 B25 C25 D35 8已知 b 是,a c的等差中项，直线0ax byc与圆22410 xyy+=交于,A B两点，则AB的最小值为（）A2 B3 C4 D2 5 二、多选题二、多选题 9已知0,0ab，且1ab+=，则（）Aab的最小值是14 B222ab+最小值为23 C+ab的最大值是2 D12aab+的最小值是12+10关于函数()2sin 213f xx=+，下列结论正
3、确的是（）A,06是()f x的一个对称中心 B函数()f x在0,6上单调递增 C函数()f x图像可由函数()2cos21g xx=+的图像向右平移512个单位得到 D若方程()20f xm=在区间12,2上有两个不相等的实根，则2 32,6m+11在正方体1111ABCDABC D中，,E F G分别为11,BC CC BB的中点，则下列结论正确的是（）A直线1D D与EF所成的角为30 B直线1AG与平面AEF平行 C若正方体棱长为 1，三棱锥1AAEF的体积是112 D点1B和B到平面AEF的距离之比是 31 学科网（北京）股份有限公司 3 三、填空题三、填空题 12已知12,x x
4、是方程()()222350Rxkxkkk+=的两个实数根，则2212xx+的最大值为 .13已知圆锥的顶点S和底面圆周都在球O的球面上，且母线长为 2，,A B为其底面圆周上的两点，若SAB面积的最大值为3，则球O的表面积为 14椭圆 C：2214xy+=的左、右焦点分别为1F、2F，点 P 是椭圆 C上除长轴端点外的任一点，连接1PF、2PF，设12FPF的平分线PQ交椭圆 C 的长轴于点(),0Q m，则 m的取值范围为 四、解答题四、解答题 15（13 分）已知数列 na满兄11nnnaaa+=+，112a=，数列 nb的前n项和为nS，且1233nnS+=（1）求数列 na，nb的通项
5、公式，（2）求数列1nna b的前n项和为nT 16（15 分）某校为了提高教师身心健康号召教师利用空余时间参加阳光体育活动现有 4 名男教师，2 名女教师报名，本周随机选取 2 人参加（1）求在有女教师参加活动的条件下，恰有一名女教师参加活动的概率；（2）记参加活动的女教师人数为 X，求 X的分布列及期望()E X；（3）若本次活动有慢跑、游泳、瑜伽三个可选项目，每名女教师至多从中选择参加 2 项活动，且选择参加 1 项或 2 项的可能性均为12，每名男教师至少从中选择参加 2 项活动，且选择参加 2 项或 3 项的可能性也均为12，每人每参加 1 项活动可获得“体育明星”学科网（北京）股份
6、有限公司 4 积分 3 分，选择参加几项活动彼此互不影响，记随机选取的两人得分之和为 Y，求 Y的期望()E Y 17（15 分）在四棱锥PABCD中，PA 平面,8,6ABCD ABAD ABADPA=，平面PBC平面,PAC M N分别为,PB PD的中点（1）证明：/MN平面ABCD（2）证明：BCAC（3）若二面角CPBA的正切值为5 33，求三棱锥CPAD的体积 18（17 分）已知椭圆()2222:10 xyCabab+=的右焦点为 F，点21,2P在椭圆 C上且离心率为22（1）求椭圆 C 的方程；（2）直线 l斜率存在，交椭圆 C于 A，B 两点，A，B，F 三点不共线，且直线
7、AF和直线BF关于 PF 对称（i）证明：直线 l过定点；（）求ABF面积的最大值 19（17 分）已知函数()lnexf xxxax=+.（1）当1a=，求函数()yf x=的图象在点()()1,1f处的切线方程；（2）若()0f x 恒成立，求 a 的取值范围；（3）证明：若()f x有两个零点12,x x，则121x x，设()()1122,A x yB xy，所以2121222422,1212kmmxxx xkk+=+，因为直线AF和直线BF关于PF对称，PFx轴，所以()()()()12121212121212220111111AFBFkx xmkxxmyykxmkxmkkxxxxx
8、x+=+=+=，所以()()()2121222224222201212mkmkx xmkxxmkmkmkk+=+=+，所以22224444420kmkkmk mmkm+=，解得2mk=.所以直线 l的方程为()22ykxkk x=，所以直线 l过定点()2,0.（）由题意知 l斜率不可能为 0,设直线 l的方程为2xny=+，由22212xnyxy=+=，消去x，整理得()222420nyny+=，因为 l交椭圆 C于,A B两点，所以()()()222482820nnn=+=，学科网（北京）股份有限公司 8 解得22n，则12122242,22nyyy ynn+=+，由题意可知12,y y同
9、号，不妨设12yy，所以()22212121212222422 2244222nnyyyyyyy ynnn=+=+，所以()221212221112 22221122222ABFnnSyyyynn=+令()22,0nt t=则()21122221642 16848ABFtSttt=+，当且仅当4t=即26n=时取等号，所以ABF面积的最大值为24.19(1)ey=(2)(,e1+【详解】（1）当1a=，()eln1xf xxxx=+，2111()e1xfxxxx=+1111 e1e11xxxxxxxx=+=+，因为()()1e,10ff=，所以函数()yf x=的图象在点()()1,1f处的切
10、线方程为ey=.（2）()f x的定义域为(0,)+，则1 e()1xxfxxx=+，令()0fx=,得1x=当(0,1),()0,()xfxf x+在()1,+上单调递增，()(1)e 1f xfa=+，若()0f x,则e10a+,即1ae+，所以a的取值范围为(,e1+.（3）由题知,()f x一个零点小于 1,一个零点大于 1，不妨设121xx，要证121x x,即证121xx，又因为()()12f xf x=,故只需证()221f xfx，即证1e1lneln0,(1,)xxxxxxxxx+，即证当1x 时，有1e11e2 ln02xxxxxxx成立，下面证明1x 时，1e11e0,ln02xxxxxxx，则 学科网（北京）股份有限公司 9 11122111111()eee1ee1xxxxxg xxxxxxxx=+=111e1 e1eexxxxxxxxx=，设()()()22e1111,ee0 xxxxxxxxxxx=，所以()()1ex=，而1eex，所以()0g x，所以()g x在(1,)+单调递增，即()(1)0g xg=，所以1ee0 xxxx，令11()ln,12h xxxxx=，2222211121(1)()10222xxxh xxxxx=+=，所以()h x在(1,)+单调递减，即()(1)0h xh=，所以11ln02xxx，所以121x x.
