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2022-2023学年福建省福州市四校联考高二下期末数学试卷(含答案解析)

1、2022-2023学年福建省福州市四校联考高二(下)期末数学试卷一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.1(5分)设集合A(x,y)|y2x,B(x,y)|yx2,则AB的元素个数为()A1B2C3D42(5分)欧拉公式eicos+isin由瑞士数学家欧拉发现,其将自然对数的底数e,虚数单位i与三角函数cos,sin联系在一起,被誉为“数学的天桥”,若复数z=ei2,则z的虚部为()AiB1C22iD223(5分)已知圆M:(x2)2+(y1)21,圆N:(x+2)2+(y+1)21,则下列不是M,N两圆公切线的直线方程为()Ay0B4x3y0Cx-2y+5=0Dx+2y-5=04

2、(5分)已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,AB为底面直径,APB120,PA2,点C在底面圆周上,且二面角PACO为45,则PAC的面积为()A3B2C22D235(5分)在数列an中,a11,且函数f(x)x5+an+1sinx(2an+3)x+3的导函数有唯一零点,则a9的值为()A1021B1022C1023D10246(5分)ABC中,sin(2-B)=cos2A,则AC-BCAB的取值范围是()A(-1,12)B(13,12)C(12,23)D(13,23)7(5分)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的两焦点为F1,F2,x轴上方两点A,B在椭圆上,AF1与BF2平行,AF2交

3、BF1于P过P且倾斜角为(0)的直线从上到下依次交椭圆于S,T若|PS|PT|,则“为定值”是“为定值”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不必要也不充分条件8(5分)在同一平面直角坐标系中,P,Q分别是函数f(x)axexln(ax)和g(x)=2ln(x-1)x图象上的动点,若对任意a0,有|PQ|m恒成立,则实数m的最大值为()A3B322C2D52二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分(多选)9(5分)已知向量a=(1,3),b=(2x,2-x),其中xR,下列说法正确

4、的是()A若ab,则x6B若a与b夹角为锐角,则x6C若x1,则a在b方向上投影向量为bD若|a|=4(多选)10(5分)已知函数f(x)x3+ax2+bx+c(a,b,cR),则下列说法正确的是()A若函数f(x)的图象关于点(1,f(1)中心对称,则a3B当c0时,函数f(x)过原点的切线有且仅有两条C函数f(x)在1,1上单调递减的充要条件是2ab3D若实数x1,x2是f(x)的两个不同的极值点,且满足x1+x2x1x2,则a0或a6(多选)11(5分)已知函数f(x)2sinx+|sin2x|,则()Af(x)的最小正周期为2Bf(x)的图象关于x=2对称Cf(x)在0,2上有四个零点

5、Df(x)的值域为-2,332(多选)12(5分)已知抛物线C:y24x,过焦点F的直线l与C交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,y12,E与F关于原点对称,直线AB与直线AE的倾斜角分别是与,则()AsintanBAEFBEFCAEB90D2三、填空题:本题共4小题,每小题5分,满分20分13(5分)(2x-y)5展开式中x2y3的系数为 (用数字作答)14(5分)已知某批零件的质量指标(单位:毫米)服从正态分布N(25.40,2),且P(25.45)0.1,现从该批零件中随机取3件,用X表示这3件产品的质量指标值不位于区间(25.35,25.45)的产品件数,则D(X) 15(5分

6、)已知f(x)为奇函数,当x(0,1,f(x)lnx,且f(x)关于直线x1对称设方程f(x)x+1的正数解为x1,x2,xn,且任意的nN,总存在实数M,使得|xn+1xn|M成立,则实数M的最小值为 16(5分)在平面四边形ABCD中,ADB90,ABC90,BDBC2,沿对角线BD将ABD折起,使平面ADB平面BDC,得到三棱锥ABCD,则三棱锥ABCD外接球表面积的最小值为 四、解答题:本题共6小题,共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17(10分)已知数列an的各项均为正数,前n项和为Sn,且满足Sn=(an+12)2(1)求an;(2)设bn=1(an+1)(an+

7、1+1),设数列bn的前n项和为Tn,若m-24Tnm5对一切nN*恒成立,求实数m的取值范围18(12分)记锐角ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A-B)cosB=sin(A-C)cosC(1)求证:BC;(2)若asinC2,求1a2+1b2的最大值19(12分)如图4,在三棱台ABCA1B1C1中,底面ABC是边长为2的正三角形,侧面ACC1A1为等腰梯形,且A1C1AA11,D为A1C1的中点(1)证明:ACBD;(2)记二面角A1ACB的大小为,3,23时,求直线AA1与平面BB1C1C所成角的正弦值的取值范围20(12分)已知函数f(x)ex+cosx2,f

8、(x)为f(x)的导数(1)当x0时,求f(x)的最小值;(2)当x-2时,xex+xcosxax22x0恒成立,求a的取值范围21(12分)甲、乙两人进行象棋比赛,赛前每人发3枚筹码一局后负的一方,需将自己的一枚筹码给对方;若平局,双方的筹码不动,当一方无筹码时,比赛结束,另一方最终获胜由以往两人的比赛结果可知,在一局中甲胜的概率为0.3、乙胜的概率为0.2(1)第一局比赛后,甲的筹码个数记为X,求X的分布列和期望;(2)求四局比赛后,比赛结束的概率;(3)若Pi(i0,1,6)表示“在甲所得筹码为i枚时,最终甲获胜的概率”,则P00,P61证明:Pi+1Pi(i0,1,2,5)为等比数列2

9、2(12分)已知M是平面直角坐标系内的一个动点,直线MA与直线yx垂直,A为垂足且位于第三象限;直线MB与直线yx垂直,B为垂足且位于第二象限四边形OAMB(O为原点)的面积为2,记动点M的轨迹为C(1)求C的方程;(2)点E(22,0),直线PE,QE与C分别交于P,Q两点,直线PE,QE,PQ的斜率分别为k1,k2,k3若(1k1+1k2)k3=-6,求PQE周长的取值范围2022-2023学年福建省福州市四校联考高二(下)期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1(5分)设集合A(x,y)|y2x

10、,B(x,y)|yx2,则AB的元素个数为()A1B2C3D4【解答】解:如图,集合A为函数y2x图象的点集,集合B为函数yx2图象的点集,两函数的图象有三个交点,所以AB的元素个数为3个故选:C2(5分)欧拉公式eicos+isin由瑞士数学家欧拉发现,其将自然对数的底数e,虚数单位i与三角函数cos,sin联系在一起,被誉为“数学的天桥”,若复数z=ei2,则z的虚部为()AiB1C22iD22【解答】解:z=ei2=e4i=cos4+sin4i=22+22i,其虚部为22故选:D3(5分)已知圆M:(x2)2+(y1)21,圆N:(x+2)2+(y+1)21,则下列不是M,N两圆公切线的

11、直线方程为()Ay0B4x3y0Cx-2y+5=0Dx+2y-5=0【解答】解:如图,圆心M(2,1),N(2,1),半径r1r21,两圆相离,有四条公切线两圆心坐标关于原点O对称,则有两条切线过原点O,设切线l:ykx,则圆心到直线的距离|2k-1|1+k2=1,解得k0或k=43,另两条切线与直线MN平行且相距为1,lMN:y=12x,设切线l:y=12x+b,则|b|1+14=1,解得b=52(或通过斜率排除)所以D项不正确故选:D4(5分)已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,AB为底面直径,APB120,PA2,点C在底面圆周上,且二面角PACO为45,则PAC的面积为()A3B2C22

12、D23【解答】解:如图所示,AB为底面直径,APB120,PA2,PAB是等腰三角形,由余弦定理可得AB2=AP2+BP2-2APBPcos120=12AB=23=2OA,PO=PA2-OA2=1,由圆锥的特征易知PAPC、OAOC,POO,取AC中点D,连接PD、OD,显然有ODAC,PDAC,即二面角PACO为PDO45,PO=OD=1,PD=2,则AC=2AD=2PA2-PD2=22,SPAC=12ACPD=2故选:B5(5分)在数列an中,a11,且函数f(x)x5+an+1sinx(2an+3)x+3的导函数有唯一零点,则a9的值为()A1021B1022C1023D1024【解答】

13、解:f(x)5x4+an+1cosx(2an+3),易知函数f(x)为偶函数,又f(x)有唯一零点,则必有f(0)an+1(2an+3)0,即an+12an+3,则有an+1+32(an+3),所以数列an+3是以2为公比的等比数列,又a11,则an+3=42n-1,所以a9=428-3=1021故选:A6(5分)ABC中,sin(2-B)=cos2A,则AC-BCAB的取值范围是()A(-1,12)B(13,12)C(12,23)D(13,23)【解答】解:由题意,sin(2-B)=cosB=cos2A,在ABC中,A,B(0,),故2AB或2A+B2,当2A+B2时,A+B2=,故A+B,

14、不合要求,舍去,所以2AB,CABA2A3A,因为A,B(0,),所以2A(0,),即A(0,2),因为C3A(0,),所以A(0,3),由正弦定理得ACsinB=ABsinC=BCsinA,故AC-BCAB=sinB-sinAsinC=sin2A-sinAsin(-3A)=2sinAcosA-sinAsin(2A+A)=2sinAcosA-sinAsin2AcosA+cos2AsinA,因为A(0,),所以sinA0,故AC-BCAB=2cosA-12cos2A+cos2A=2cosA-14cos2A-1=2cosA-1(2cosA-1)(2cosA+1),因为A(0,3),所以2cosA1

15、0,故AC-BCAB=12cosA+1,因为A(0,3),所以cosA(12,1),2cosA(1,2),2cosA+1(2,3),故AC-BCAB=12cosA+1(13,12)故选:B7(5分)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的两焦点为F1,F2,x轴上方两点A,B在椭圆上,AF1与BF2平行,AF2交BF1于P过P且倾斜角为(0)的直线从上到下依次交椭圆于S,T若|PS|PT|,则“为定值”是“为定值”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不必要也不充分条件【解答】解:不妨设M(x,y)为椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上的动点,c为椭圆的半焦距,此时F1(c,

16、0),所以|MF1|=(x+c)2+y2=(x+c)2+b2(1-x2a2)=(x+c)2+b2(1-x2a2)=c2x2a2+2cx+a2=|a+cax|,不妨设直线l:x=-a2c,则点M到直线l的距离为d=|x+a2c|,所以|MF1|d=ca=e,设直线MF1的倾斜角为,过M作l的垂线,垂足为S,此时|MF1|MF1|cos+a2c-c=e,所以|MF1|=eb2c1-ecos,不妨设p=b2c,此时|MF1|=ep1-ecos,同理的|MF2|=ep1+ecos,设AF1的倾斜角为,可得|MF1|=ep1-ecos,|MF2|=ep1+ecos,因为AF1BF2,所以|BF2|AF1

17、|=|F2P|AP|,此时|BF2|AF1|+|BF2|=|F2P|AP|+|F2P|=|F2P|AF2|=|F2P|2a-|AF1|,则|F2P|=|BF2|(2a-|AF1|)|AF1|+|BF2|,同理,|F1P|=|AF1|(2a-|BF2|)|AF1|+|BF2|,所以|F2P|+|F1P|=2a-2|BF2|AF1|AF1|+|BF2|=2a-ep,则P的轨迹为以F1,F2为焦点的椭圆,长半轴长为a-ep2=a2+c22a,短半轴长为(a2+c2)24a2-c2=a2-c22a,则P的轨迹方程为x2(a2+c22a)2+y2(a2-c22a)2=1,其中y0,令=2,|PS|2|P

18、T|2=(yS-yP)2(yS+yP)2=(ySyP-1)2(ySyP+1)2,因为a2a4+2a2c2+c44a2,所以|PS|2|PT|2不是定值,即即不是定值,故“当取定值,是定值”不符合条件,又直线ST的参数方程为x=x0+tcosy=y0+tsin,设S(x0+t1cos,y0+t1sin),T(x0+t2cos,y0+t2sin),因为(x0+tcos)2a2+(y0+tsin)2b2=1,整理得(cos2a2+sin2b2)t2+2(x0cosa2+y0sinb2)t+x02a2+y02b2-1=0,由韦达定理得t1+t2=-2(x0cosa2+y0sinb2)(cos2a2+s

19、in2b2)t1t2=x02a2+y02b2-1(cos2a2+sin2b2),因为|PS|PT|,此时(1-)t2=-2(x0cosa2+y0sinb2)(cos2a2+sin2b2)-t22=x02a2+y02b2-1(cos2a2+sin2b2),整理得(1-)2-4=(x0cosa2+y0sinb2)2(cos2a2+sin2b2)(x02a2+y02b2-1),若为定值,则(1-)2-4为定值,因为(1-)2-4(cos2a2+sin2b2)=(x0cosa2+y0sinb2)2x02a2+y02b2-1,所以当P(x0,y0)变化时,(x0cosa2+y0sinb2)2x02a2+

20、y02b2-1始终为定值,又(x0cosa2+y0sinb2)2(x02a2+y02b2-1)=x02cos2a4+2x0y0cossina2b2+y02sin2b2x02a2+y02b2-1=x02cos2a4-b2sin2(a2+c2)2+2x0y0cossina2b2+b2sin24a2x021a2-b2(a2+c2)2+b24a2-1 则cos2a4-b2sin2(a2+c2)21a2-b2(a2+c2)2=b2sin24a2b24a2-1且cossina2b2=0,但0,(0,),解得=2,所以(1-)2-4=(y0b2)21b2(x02a2+y02b2-1)=y02b2x02a2+

21、y02-1=y02b2(a2+c2)24a2(1-y02b24a2)a2+y02-1=y02b2(a2+c2)24a2a2-1+1-(a2+c2)2a2y02,但此时(1-)2-4随y02的变化而变化,不是定值,则“当取定值,是定值”是错误的故选:D8(5分)在同一平面直角坐标系中,P,Q分别是函数f(x)axexln(ax)和g(x)=2ln(x-1)x图象上的动点,若对任意a0,有|PQ|m恒成立,则实数m的最大值为()A3B322C2D52【解答】解:因为点P,Q分别是函数f(x)axexln(ax)和g(x)=2ln(x-1)x图象上的动点,不妨设P(k,akekln(ak),(a,k

22、0),Q(t,2ln(t-1)t),(t1),可得|PQ|2(tk)2+(akekln(ak)-2ln(t-1)tt-2ln(t-1)t+akek-ln(ak)-k22,不妨设h(t)t-2ln(t-1)t,函数定义域为(1,+),可得h(t)=1-2tt-1-ln(t-1)t2=t2-2tt-1+2ln(t-1)t2,不妨设u(t)t-2tt-1+2ln(t1),函数定义域为(1,+),可得u(t)=2t-2(t-1)2+2t-1=2t(t2-2t+2)(t-1)20,所以函数u(t)在定义域上单调递增,因为u(2)0,所以函数h(t)在t2时取得极小值即最小值,此时h(2)2,不妨设v(k

23、)akekln(ak)k,函数定义域为(0,+),可得v(k)=a(k+1)ek-1k-1=(k+1)(aek-1k),易知函数y=aek-1k在区间(0,+)上单调递增,所以存在 k00,使得aek0-1k0=0,即ek0=1ak0,解得k0ln(ak0),所以函数v(k)在kk0 时取得极小值即最小值,此时v(k0)1+k0k01,则|PQ|2(2+1)22=92,解得|PQ|322,因为对任意a0,都有|PQ|m恒成立,所以m322,即m的最大值为322故选:B二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求全部选对的得5分,部分选对的得2分,有

24、选错的得0分(多选)9(5分)已知向量a=(1,3),b=(2x,2-x),其中xR,下列说法正确的是()A若ab,则x6B若a与b夹角为锐角,则x6C若x1,则a在b方向上投影向量为bD若|a|=4【解答】解:a=(1,3),b=(2x,2-x),若ab,则ab=2x+3(2-x)=0,解得x6,故A正确;若a与b夹角为锐角,则ab=2x+3(2-x)0,解得x6,又当x=27,b=(47,127),此时a=74b,a与b夹角为0,故x的取值范围为(,27)(27,+),故B错误;若x1,则b=(2,1),因为a在b方向上投影为ab|b|=2+35=5,与b同向的单位向量为b|b|=(255

25、,55),所以a在b方向上投影向量为5b|b|=(2,1)=b,C正确;a=(1,3),|a|=12+32=10,故D错误故选:AC(多选)10(5分)已知函数f(x)x3+ax2+bx+c(a,b,cR),则下列说法正确的是()A若函数f(x)的图象关于点(1,f(1)中心对称,则a3B当c0时,函数f(x)过原点的切线有且仅有两条C函数f(x)在1,1上单调递减的充要条件是2ab3D若实数x1,x2是f(x)的两个不同的极值点,且满足x1+x2x1x2,则a0或a6【解答】解:A函数f(x)x3+ax2+bx+c,f(x)3x2+2ax+b,f(x)6x+2a,令f(x)6x+2a0,解得

26、x=-a3,函数f(x)的图象关于点(1,f(1)中心对称,-a3=1,解得a3,因此A正确Bc0时,原点(0,0)在函数f(x)x3+ax2+bx的图象上,因此过原点有一条切线;若切点不是原点时,设切点为P(x0,f(x0)(x00),则切线方程为y(x03+ax02+bx0)(3x02+2ax0+b)(xx0),把(0,0)代入可得:x0=-a2,若a0,则函数f(x)过原点的切线有且仅有一条;若a0,则函数f(x)过原点的切线有两条因此B不正确C函数f(x)在1,1上单调递减f(x)3x2+2ax+b3(x+a3)2+b-a23=g(x)0(不恒等于0)在1,1上恒成立,其对称轴为x=-

27、a3分类讨论:-a31g(-1)=3-2a+b0或-a3-1g(1)=3+2a+b0或-1-a31g(-1)=3-2a+b0g(1)=3+2a+b02ab3,因此C正确Df(x)3x2+2ax+b,由实数x1,x2是f(x)的两个不同的极值点,则4a212b0,即a23b0,x1+x2=-2a3,x1x2=b3,x1+x2x1x2,-2a3=b3,化为b2a,代入a23b0,可得a2+6a0,解得a0或a6,因此D正确故选:ACD(多选)11(5分)已知函数f(x)2sinx+|sin2x|,则()Af(x)的最小正周期为2Bf(x)的图象关于x=2对称Cf(x)在0,2上有四个零点Df(x)

28、的值域为-2,332【解答】解:对于A,函数y2sinx的最小正周期为2,函数y|sin2x|的最小正周期为2,所以函数f(x)2sinx+|sin2x|的最小正周期为2,选项A正确;对于B,f(x+)2sin(x+)+|sin2(x+)|2sinx+|sin(2x)|2sinx+|sin2x|f(x),所以f(x)的图象关于直线x=2对称,选项B正确;对于C,当0x2时,f(x)2sinx+sin2x2sinx+2sinxcosx2sinx(1+cosx),易知此时f(x)有唯一零点x0;当2x时,f(x)2sinxsin2x2sinx2sinxcosx2sinx(1cosx),易知此时f(

29、x)有唯一零点x;当x32时,f(x)2sinx+sin2x2sinx+2sinxcosx2sinx(1+cosx),易知此时f(x)无零点;当32x2时,f(x)2sinxsin2x2sinx2sinxcosx2sinx(1cosx),易知此时f(x)有唯一零点x2,所以f(x)在0,2上有三个零点,选项C错误;对于D,当x=32时,y2sinx取得最小值2,此时y|sin2x|恰好取得最小值0,故f(x)的最小值为2;由选项C的分析可知,当x(,2时,f(x)0,当x0,时,f(x)0,而f(x)关于直线x=2对称,故可考虑0x2时,f(x)2sinx+sin2x的取值情况,f(x)2co

30、sx+2cos2x2(2cos2x1)+2cosx4cos2x+2cosx2,令f(x)0,解得cosx1(舍)或cosx=12,则x=3,易知当0x3时,f(x)0,f(x)单调递增,当3x2时,f(x)0,f(x)单调递减,所以此时,f(x)max=f(3)=2sin3+sin23=3+32=332,综上,函数f(x)的值域为-2,332故选:ABD(多选)12(5分)已知抛物线C:y24x,过焦点F的直线l与C交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,y12,E与F关于原点对称,直线AB与直线AE的倾斜角分别是与,则()AsintanBAEFBEFCAEB90D2【解答】解:作ADx轴

31、于D,作BCx轴于C,所以D(x1,0),C(x2,0),抛物线C:y24x的焦点F(1,0),因为y12,所以x11,即90,所以直线l的斜率存在设为k,可得直线l的方程为yk(x1),与抛物线方程联立y=k(x-1)y2=4x,整理得k2x2(2k2+4)x+k20,所以x1+x2=2k2+4k2,x1x21,y12=4x1,对于A,sin=|AD|AF|=y1x1+1,tan=|AD|ED|=y1x1+1,所以sintan,故A错误;对于B,因为kAE=y1x1+1,kBE=y2x2+1,所以kAE+kBE=y1x1+1+y2x2+1=k(x2-1)(x1+1)+k(x1-1)(x2+1

32、)(x2+1)(x1+1)=k2x1x2-x1+x2+x1-x2-2(x2+1)(x1+1)=0,所以直线AE与BE的倾斜角互补,即AEFBEF,故B正确;对于C,因为x11,所以tan=|AD|ED|=y1x1+1=2x1x1+12x12x1=1,即AED45,因为AEFBEF,所以AEB90,故C正确;对于D,因为AEB90,所以0290,tan=|AD|FD|=y1x1-1,tan=|AD|ED|=y1x1+1,所以tan2=2tan1-tan2=2y1x1+11-(y1x1+1)2=2y1(x1+1)(x1-1)2,所以tantan2=y1x1+1-2y1(x1+1)(x1-1)2=y

33、1x1-y1-2y1x1-2y1(x1-1)2=-y1x1-3y1(x1-1)20,所以tantan2,即2,故D正确故选:BCD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,满分20分13(5分)(2x-y)5展开式中x2y3的系数为 20(用数字作答)【解答】解:(2x-y)5的展开式的通项为Tr+1=C5r(2x)5-r(-y)r=C5r(2)5-r(-1)rx5-ryr,取r3得到T4=C53(2)2(-1)3x2y3=-20x2y3故答案为:2014(5分)已知某批零件的质量指标(单位:毫米)服从正态分布N(25.40,2),且P(25.45)0.1,现从该批零件中随机取3件,用X表示这3件

34、产品的质量指标值不位于区间(25.35,25.45)的产品件数,则D(X)0.48【解答】解:由正态分布的对称性可知,P(25.3525.45)12P(25.45)10.20.8,故1件产品的质量指标值不位于区间(25.35,25.45)的概率P0.2,则XB(3,0.2),故D(X)30.2(10.2)0.48故答案为:0.4815(5分)已知f(x)为奇函数,当x(0,1,f(x)lnx,且f(x)关于直线x1对称设方程f(x)x+1的正数解为x1,x2,xn,且任意的nN,总存在实数M,使得|xn+1xn|M成立,则实数M的最小值为 2【解答】解:因为f(x)为奇函数,所以f(x)f(x

35、),且f(0)0,又f(x)关于直线x1对称,所以f(1+x)f(1x),所以f(2+x)f(x)f(x),则f(4+x)f(2+x)f(x),所以函数f(x)是以4为周期的周期函数,作出函数yf(x)和yx+1的图像如图所示:由f(x)x+1的正数解依次为x1,x2,xn,则limn(xn+1-xn)的几何意义为函数f(x)两条渐近线之间的距离为2,所以limn(xn+1-xn)=2所以得任意的nN,|xn+1xn|2,已知任意的nN,总存在实数M,使得|xn+1xn|M成立,可得M2,即M的最小值为2故答案为:216(5分)在平面四边形ABCD中,ADB90,ABC90,BDBC2,沿对角

36、线BD将ABD折起,使平面ADB平面BDC,得到三棱锥ABCD,则三棱锥ABCD外接球表面积的最小值为 (25+2)【解答】解:在平面四边形中,设CBD(02),ABD=2-,在RtADB中,可得BAD,AD=2tan在BCD中,CD2BCsin2=4sin2设BCD外接圆圆心为M,外接圆半径为r,由正弦定理可得2r=CDsin=4sin22sin2cos2=2cos2,即r=1cos2设三棱锥ABCD外接球球心为O,则OM平面BCD又平面ADB平面BDC,平面ADB平面BDCBD,ADB90,AD平面BDC,则ADOM,得四边形OMDA为直角梯形设外接球的半径为R,在平面四边形OMDA中,过

37、O作OEAD于E,在AOD中,AODOR,E为AD的中点,OMDE=12AD=1tan,由DO2DE2+OE2,得R2DE2+r2=1tan2+1cos22,R2=cos2sin2+21+cos=cos2+2-2cos1-cos2=-1+3-2cos1-cos2令32cost,1t3,则cos=3-t2,R2=-1+4t-t2-5+6t=-1+4-(t+5t)+6,t+5t25,当且仅当t=5t,即t=5时(满足1t3)等号成立R2=-1+4-(t+5t)+65+12外接球表面积的最小值为4R2=45+12=(25+2)故答案为:(25+2)四、解答题:本题共6小题,共70分解答应写出必要的文

38、字说明、证明过程或演算步骤17(10分)已知数列an的各项均为正数,前n项和为Sn,且满足Sn=(an+12)2(1)求an;(2)设bn=1(an+1)(an+1+1),设数列bn的前n项和为Tn,若m-24Tnm5对一切nN*恒成立,求实数m的取值范围【解答】解:(1)当n1时,a1=S1=(a1+12)2,a11,当n2时,an=Sn-Sn-1=(an+12)2-(an-1+12)2=an2-an-12+2(an-an-1)4,即an2-an-12-2(an+an-1)=0,(an+an1)(anan12)0,由已知,数列an各项均为正数得anan12,an是首项为1,公差为2的等差数列

39、,an2n1;(2)由(1)知,an2n1,则bn=1(an+1)(an+1+1)=12n(2n+2)=14(1n-1n+1),Tn=14(1-12+12-13+.+1n-1n+1)=14(1-1n+1)=n4(n+1),Tn+1-Tn=n+14(n+2)-n4(n+1)=14(n+1)(n+2)0,Tn单调递增,TnT1=18,Tn=n4(n+1)14,18Tn14,要使m-24Tnm5恒成立,只需14m5m-2418,解得54m52所以实数m的取值范围是54,52)18(12分)记锐角ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A-B)cosB=sin(A-C)cosC(1)

40、求证:BC;(2)若asinC2,求1a2+1b2的最大值【解答】解:(1)证明:由于sin(A-B)cosB=sin(A-C)cosC,所以sinAcosB-cosAsinBcosB=sinAcosC-cosAsinCcosC,整理的cosA(sinBcosCcosBsinC)0,即cosAsin(BC)0,因为A为锐角,所以cosA0,故sin(BC)0,由B,C为锐角可得BC;(2)由(1)得bc,因为asinC2,且由正弦定理得asinCcsinAbsinAasinB2,所以a=2sinB,b=2sinA,则1a2+1b2=14(sin2A+sin2B)=14sin2B+sin2(B+

41、C)=14sin2B+sin22B=14(1-cos2B2+sin22B)=-14cos22B-18cos2B+38(*),因为0B20-2B2,所以4B2,则22B,所以1cos2B0,根据二次函数的性质可知,当cos2B=-14时,(*)取得最大值256419(12分)如图4,在三棱台ABCA1B1C1中,底面ABC是边长为2的正三角形,侧面ACC1A1为等腰梯形,且A1C1AA11,D为A1C1的中点(1)证明:ACBD;(2)记二面角A1ACB的大小为,3,23时,求直线AA1与平面BB1C1C所成角的正弦值的取值范围【解答】(1)证明:如图,作AC的中点M,连接DM,BM,在等腰梯形

42、ACC1A1中,D,M为A1C1,AC的中点,ACDM,在正ABC中,M为AC的中点,ACBM,ACDM,ACBM,DMBMM,DM,BM平面BDM,AC平面BDM,又BD平面BDM,ACBD(2)解:AC平面BDM,在平面BDM内作MzBM,以M为坐标原点,以MA,MB,Mz,分别为x,y,z,轴正向,如图建立空间直角坐标系,DMAC,BMAC,DMB为二面角A1ACB的平面角,即DMB,A(1,0,0),B(0,3,0),C(1,0,0),D(0,32cos,32sin),C1(-12,32cos,32sin),A1(12,32cos,32sin),设平面BB1C1C的法向量为n=(x,y,z),CB=(1,3,0),CC1=(12,32cos,32sin),则有,nCB=0nCC1=0,即x+3