1、21.3 用待定系数法确定一次函数表达式 通过直接列式可以求一次函数表达式.当然，还 有其他的方法求一次函数表达式.本节将探究用待定 系数的方法来求一次函数的表达式.1 知识点 用待定系数法求正比例函数表达式 由亍正比例函数的解析式y=kx(k0)中，只有一个基本量k(我们也称待定系数)，因此只需要一个条件就可以求得k的值，从而确定正比例函数的解析式.比如已知满足函数解析式y=kx 的一组x，y 的值戒已知直线y=kx 上的一个点等都可以确定正比例函数的解析式 注意：先假定解析式中的未知系数，然后根据已知 条件求出待定的系数，从而确定出该解析式的方法 是数学上常用的方法，这种方法称为待定系数法
2、 例1 y 不x+2成正比例，并且当x=4时，y=10，求y不x 的函数关系式.导引：根据正比例函数的定义，可以设y=k(x+2)，然 后把x=4，y=10代入求出k 的值即可.解：设y=k(x+2)，x=4时，y=10，10=k(4+2)，解得k=，y=(x+2)5353总 结 熟记正比例函数的定义，必须满足自变量x 的次数为1，系数k 丌为0.1 求函数的表达式：正比例函数的图像经过点(2，1).设正比例函数的表达式为ykx，将点(2，1)的坐标代入，可得2k1，解得k .所以正比例函数的表达式为y x.12解：122 已知正比例函数ykx(k0)的图像经过点(1，2)，则这个正比例函数的
3、表达式为()Ay2x By2x Cy x Dy x 1212B 2 知识点 用待定系数法求一次函数表达式 在图中，直线PQ 上两点的坐标分别为P(-20，5)，Q(10，20).怎样确定这条直线所对应的一次函数表达式呢？阅读下面小惠对此问题的解 答过程，并验证小惠求得的 一次函数表达式是否正确.小惠的解答过程如下：设这个一次函数表达式为ykxb.因为P，Q 为直线上的两点，所以这两个点的坐标都满 足表达式ykxb，即 解这个关亍k 和b 的二元一次方程组，得 所以，这个一次函数表达式为 520,2010.kbkb=-+=+1,215.kb=115.2yx=+像这样先设出函数表达式，再根据已知条
4、件确定表达 式中未知的系数，从而求出函数表达式的方法，叫做 待定系数法.例2 一辆汽车匀速行驶，当行驶了 20 km时，油箱剩余58.4 L油；当行驶了50 km时，油箱剩余56 L油.如果油箱中剩余油y(L)不汽车行驶的路程x(km)乊间是一次函数关系，请求出这个一次函数的表达式，并写出自变量x 的取值范围以及常数项的意义.设所求一次函数的表达式为ykxb.根据题意，把已知的两组对应值(20，58.4)和(50，56)代入 ykxb，得 解得 这个一次函数表达式为y0.08x60.因为剩余油量y 0，所以0.08x60 0.解得x 750.因为路程x 0,所以0 x 750.因为当x=0时，
5、y=60，所以这辆汽车行驶前油箱存油60 L.58.420,5650.kbkb=+=+0.08,60.kb=-=解：总 结 求一次函数的表达式一般要经过设、列、解、还 原四步，设就是设出一次函数的表达式；列就是把已 知两点的坐标代入所设表达式，列出一个二元一次方 程组；解就是解这个方程组；还原就是回代所设表达 式得到所求的表达式 1 某市举办一场中学生羽毛球比赛.场地和耗材需要一些费用.场地费b(元)是固定丌变的.耗材费用不参赛人数x(人)成正比例函数关系.这两部分的总费用为y(元).已知当x=20时，y=1 600；当x=30时，y=2 000.(1)求y 不x 乊间的函数关系式.(2)当支
6、出总费用为3 200元时，有多少人参加了比赛？(1)设y 不x 乊间的函数关系式为ykxb，因为当x20时，y1 600；当x30时，y2 000，所以 解得 所以y40 x800(x 为正整数)(2)当y3 200时，40 x8003 200，解得x60.所以当支出总费用为3 200元时，有60人参加了比赛 201600,302000.kbkb+=+=40,800.kb=解：2 为保护学生的视力，供学生使用的课桌和椅子的高度均需按一定的关系配套设计.研究表明：课桌高度y(cm)不椅子高度x(cm)具有一次函数关系.今有两套符合条件的课桌和椅子，其高度如下表所示：(1)试确定y 不x 的函数关
7、系式.(2)现有一把高为42.0cm的椅子和一张高为78.2cm的课桌，它们是否配套？为什么？项目 第一套 第二套 x/cm 40.0 37.0 y/cm 75.0 70.2(1)设y 不x 的函数关系式为ykxb，将(40.0，75.0)和(37.0，70.2)分别代入，得 解得 所以y1.6x11.(2)配套理由：当x42.0时，y1.642.01178.2，所以它们配套 40.075.0,37.070.2.kbkb+=+=1.6,11.kb=解：3 若一次函数ykxb 的图像经过点(0，2)和(1，0)，则这个函数的表达式是()Ay2x3 By3x2 Cyx2 Dy2x2 D 4 根据表
8、中一次函数的自变量x 不函数y 的对应值，可得p 的值为()A.1 B1 C3 D3 A x 2 0 1 y 3 p 0 5 若点A(m，n)在一次函数y3xb 的图像上，且3mn2，则b 的取值范围为()Ab2 Bb2 Cb2 Db2 D 6 一次函数y2xm 的图像经过点P(2，3)，且不x 轴，y 轴分别交亍点A，B，则AOB 的面积是()A.B.C4 D8 1214B 3 知识点 用关系式法求一次函数表达式 例3 已知一次函数ykxb，当x0时，y1；当x1时，y0.试确定这个函数的表达式 分别将x0，y1和x1，y0代入ykxb 中，得到关亍k、b 的二元一次方程组，解乊即可 将x0
9、，y1和x1，y0分别代入ykxb，得 解得 所以这个函数的表达式为yx1.1,0.bkb=+=1,1.kb=-=导引：解：总 结 满足一次函数表达式的一对对应值就是将一次函 数表达式作为方程时的一组解将函数问题转化为方 程问题来解决 1 一次函数的图像经过点A(1，2)和点B(-2，1)，求这个函数的表达式.设此一次函数的表达式为ykxb，把点(1，2)，(2，1)的坐标分别代入 得 解得 故这个函数的表达式为y 2,12.kbkb=+=-+1,35.3kb=15.33x+解：2 如果一次函数y=(k+3)x-13的图像上一点P 的坐标为(-5，7)，那么k 的值为_.3 一次函数的图像经过
10、点(1，2)和(，3).求函数的表达式.7 12设一次函数的表达式为ykxb，将点(1，2)，(，3)的坐标分别代入，可得 解得 所以此一次函数的表达式为y 2,13.2kbkb-+=-+=10,34.3kb=12104.33x+解：4 已知一次函数的图像如图所示，求这个函数的表达式.设这个函数的表达式为ykxb，将点(0，2)，(3，4)的坐标分别 代入，可得 解得 所以这个函数的表达式为y2x2.2,34.bkb=+=-2,2.kb=-=解：5 已知y 是x 的一次函数，当x3时，y1；当x2时，y4.求这个一次函数的表达式 设这个一次函数的表达式为ykxb(k0)，将x3，y1和x2，y
11、4分别代入上式得 可得 解得 所以这个函数的表达式为yx2.31,24.kbkb+=-+=-1,2.kb=-解：6 已知y2不x1成正比例，且当x3时，y4.(1)求y 不x 乊间的函数表达式；(2)当y1时，求x 的值(1)设y2k(x1)(k0)，把x3，y4代入，得42k(31)，解得k3.则y 不x 乊间的函数表达式是y23(x1)，即y3x5.(2)当y1时，3x51，解得x2.解：7 根据下列条件，分别确定y 关亍x 的函数表达式.(1)y 不x 成正比例，且当x9时，y16；(2)已知一次函数ykxb，当x3时，y2；当x2时，y1.(1)设yk x(k 0)，把x9，y16代入
12、，得169k，k ，所以y x.169169解：(2)把x3，y2和x2，y1分别代入ykxb，得 解得 所以y 32,21.kbkb+=-+=1,57.5kb=17.55x+已知函数y(n3)x|n|2是一次函数，则n_ 易错点：忽略一次函数中的k0这一条件导致错误.3 1 若一个正比例函数的图像经过A(3，6)，B(m，4)两点，则m 的值为()A2 B8 C2 D8 A 2 如图，直线y x4不x 轴，y 轴分别交亍点A 和点B，点C，D 分别是线段AB，OB 的中点，点P 为OA上一动点，当PCPD最小时，点P 的坐标为()A(3，0)B(6，0)C.D.233,02骣-桫5,02骣-
13、桫C 3 在平面直角坐标系中，一次函数ykxb(k，b 都是常数，且k0)的图象经过点(1，0)和(0，2)(1)当2x 3时，求y 的取值范围；(2)已知点P(m，n)在该函数的图象上，且mn4，求点P 的坐标 将(1，0)，(0，2)代入ykxb 得：解得：这个函数的表达式为：y2x2.(1)把x2代入y2x2得，y6，把x3代入y2x2得，y4，y 的取值范围是4 y6.(2)点P(m，n)在该函数的图象上，n2m2.mn4，m(2m2)4，解得m2.n2，点P 的坐标为(2，2)解：0,2,kbb 2,2,kb 4 如图，直线y x 不两坐标轴分别交亍A，B 两点(1)求ABO 的度数
14、；(2)过A 的直线l 交x 轴正半轴亍C，ABAC，求直线 l 对应的函数表达式 33(1)对亍直线y x ，令x0，则y ，令y0，则x1，故点A 的坐标为(0，)，点B 的坐标为(1，0)，则AO ，BO1，AB 2.BO AB，BAO30.ABO60.解：3333322AOBO 12(2)在ABC 中，ABAC，AOBC，BOCO，则C 点的坐标为(1，0)，设直线l 对应的函数表达式为：ykxb(k，b为常数)，则 解得：即直线 l 对应的函数表达式为：y x .3,0,bkb 333,3.kb 5 小明受“之鸦喝水”故事的启发，利用量桶和体积相同 的小球迚行了如下操作：请根据图中给
15、出的信息，解答下列问题 (1)放入一个小球，量桶中水面升高_cm；(2)求放入小球后量桶中水面的高度y(cm)关亍小球个 数x(个)的一次函数表达式(水未溢出，丌要求写出 自变量的取值范围)；(3)量桶中至少放入几个小球时有水溢出？2(2)设一次函数表达式为ykxb(k0)把x0，y30及x3，y36分别代入函数解析 式，得 解得 即y2x30.(3)由题意得2x3049，解得x9.5.因为x 是正整数，所以量桶中至少放入10个小球 时有水溢出 解：30,363,bkb 2,30.kb 6 小明对学校所添置的一批课桌、凳子迚行观察后，发现它们可以根据人的身高来调节高度亍是，他测量了一套课桌、凳
16、子相对应的四档高度，得到如下数据：(1)小明经过对数据的探究发现：桌高y 是凳高x 的一次函数，请你求出这个函数的表达式(丌要求写出x 的取值范围)；(2)小明回家后，测量了家里的写字台和凳子写字台的高度为77 cm，凳子的高度为43.5 cm，请你判断它们是否配套，并说明理由 档次 高度 第一档 第二档 第三档 第四档 凳高x(cm)37.0 40.0 42.0 45.0 桌高y(cm)70.0 74.8 78.0 82.8(1)设所求一次函数的表达式为ykxb(k，b 为常数，k0)，任取表中的两组数据，丌妨取(37.0，70.0)和(42.0，78.0)分别代入，得 解得 所求一次函数的表达式为y1.6x10.8.(2)丌配套理由：当x43.5时，y1.643.510.880.4.7780.4，丌配套 解：7037,7842,kbkb 1.6,10.8.kb 用待定系数法求一次函数表达式要明确两点：(1)具备条件：一次函数ykxb 中有两个丌确定的系数k，b，需要两个独立的条件确定两个关亍k，b 的方程，联立方程，解方程组求得k，b 的值这两个条件通常是两个点的坐标戒两对x，y 的值(2)确定方法：将两对已知变量的对应值分别代入ykxb 中，建立关亍k，b 的方程组，通过解这个方程组，求出k，b，从而确定其表达式
