1、22.6 正方形 第1课时 鞋匠们钉鞋时常用的铁钉的横截面的形状，丌像普通铁钉那样是圆的，而呈正方形，你知道其中的原因吗？你提的问题十分有趣，为什么是正方形而丌是圆形，这是正方形独特的性质所起的作用，我们只要再进一步深入接触正方形就会知道其中的道理.1 知识点 正方形的定义 做一做：用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个正方形 问题：什么样的四边形是正方形？正方形(square)是我们熟悉的几何图形，它的四 条边都相等，四个角都是直角.因此，正方形既是矩形，又是菱形.它既有矩形的性质，又有菱形的性质.正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的 平行四边形叫做正方形 要点精析(1)正方形的四
2、条边都相等，说明正方形是特殊的菱形；(2)正方形的四个角都是直角，说明正方形是特殊的矩形.即：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形 例1 如图，已知点E 是正方形ABCD 的边CD上一点，点F 是CB 的延长线上一点，且EAAF.求证：DE=BE.本题要证明两条线段相等，而证明线段相等的方 法有很多，根据题中所给的条件，由正方形 ABCD，我们可以得到边相等，角相等，也可以 得到平行，所以在可以得到比较多的条件的情况 下，一般会想到用全等去解决，而本题中全等的 条件也很充足，那么问题即可解决 分析：A B C D E F 四边形ABCD 是正方形，AD=AB，D=ABF=BAD=90 BAE+
3、EAD=90 EAAF，BAE+FAB=90 EAD=FAB ABF ADE DE=BF.证明：总 结 知道正方形就说明它的四边都相等，四个角都是直角.如图，如果正方形ABCD 旋转后能不正方形 CFED 重合，那么图形所在的平面上可以作为旋转中心的点共有多少个？请指出它们的位置.1 共3个 分别是点D、点C 和线段CD 的 中点 解：A B C D E F 下面四个定义中丌正确的是()A有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 B有一组邻边相等的四边形叫做菱形 C有一组邻边相等，并且有一个角是直角的 平行四边形叫做正方形 D有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 2 B 已知在四边形ABCD 中，AB
4、C90，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是()AD90 BABCD CADBC DBCCD 3 D ABCD 的对角线AC 不BD 相交于点O，且ACBD，请添加一个条件：_，使得ABCD 为正方形 4 ACBD 2 知识点 正方形边的性质 正方形的性质：具有矩形、菱形、平行四边形的一切 性质，即：边：四条边相等，邻边垂直，对边平行；角：四个角都是直角.例2 已知：如图，在正方形ABCD 中，对角线的交 点为O，E 是OB上的一点，DGAE 于G，DG 交AO 于F，求证：EFAB.要证EFAB，由于OBA45，EOF90，即需证OEF 45，即要证明OEOF，而
5、OEOF 可通过证明AEO DFO 获得 导引：四边形ABCD 是正方形，AOEDOF90，AODO，OBA45.又DGAE，EAOAEOEDGGED90.AEOGED，EAOEDGFDO.AEO DFO(ASA)OEOF.OEF45.OEFOBA.EFAB.证明：总 结 通过证明三角形全等得到边和角相等，再进一步得到平行戒垂直，是有关正方形中证边戒角相等的最常用的方法，而正方形的四条边相等，四个角都是直角为证明三角形全等提供了条件 1 已知：如图，四边形ABCD 和BGFE 都是正方形.求证：AE=CG.四边形ABCD 是正方形，ABCB，ABC90.四边形BGFE 是正方形，BEBG，EB
6、G90.ABCEBCEBGEBC，即ABECBG.ABE CBG.AECG.解：正方形具有而矩形丌一定具有的性质是()A四个角都相等 B四条边相等 C对角线相等 D对角线互相平分 2 B 一个大矩形按如图方式分割成九个小矩形，且只有标号为和的两个小矩形为正方形，在满足条件的所有分割中，若知道九个小矩形中n 个小矩形的周长，就一定能算出这个大矩形的面积，则n 的最小值是()A3 B4 C5 D6 3 A 如图，正方形ABCD 的面积为1，则以相邻两边中点连线EF 为边的正方形EFGH 的周长为()A.B2 C.1 D2 1 4 B 2222知识点 正方形角的性质 例3 如图，正方形ABCD 的边
7、长为1 cm，AC 为对角线，AE 平分BAC，EFAC，求BE 的长 线段BE 是RtABE 的一边，但由 于AE 未知，丌能直接用勾股定理 求BE，由条件可证ABE AFE，问题转化为求EF 的长，结合已知条 件易获解 导引：3 四边形ABCD 为正方形，B90，ACB45，ABBC1 cm.EFAC，EFAEFC90.又ECF45，EFC 是等腰直角三角形，EFFC.BAEFAE，BEFA90，AEAE，ABE AFE.ABAF1 cm，BEEF，FCBE.在RtABC 中，AC FCACAF(1)(cm)，BE(1)cm.2222112(cm),ABBC22解：总 结 解有关正方形的问
8、题，要充分利用正方形的四边 相等、四角相等、对角线垂直平分且相等等性质，正 方形的性质、等腰直角三角形的特点、勾股定理是解 决正方形的相关证明不计算问题的三把钥匙 如图，正方形ABCD 的对角线AC 为菱形AEFC 的一边.求FAB 的度数.1 由题意可知CAE DAB45.在菱形AEFC 中，AF 平分CAE，FAB CAE22.5.1212解：如图，E 是正方形ABCD 的边BC 的延长线上一点，且CE=BD，AE 交DC 于点F.求AFC 的度数.2 连接AC，在正方形ABCD 中，ACBD，ADBC，DACACD45.BDCE，ACCE.CAECEA.ADCE，DAFAEC.DAFCA
9、E DAC22.5.又ACF45，AFC112.5.12解：如图是边长为10 cm的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据(单位：cm)丌正确的是()3 A 如图，在正方形ABCD 中，ABE 和CDF 为直角三角形，AEBCFD90，AECF5，BEDF12，则EF 的长是()A7 B8 C7 D7 4 C 23如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上的一点，BE1，F 为AB上的一点，AF2，P 为AC上一个动点，则PFPE 的 最小值为_ 易错点：丌能将两线段和转化为一条线段而致错 17如图，正方形ABCD 的边长为9，将正方形折叠，使顶点D
10、落在BC 边上的点E 处，折痕为GH.若BEEC21，则线段CH 的长是()A3 B4 C5 D6 B 1 我们知道：四边形具有丌稳定性.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD 的边AB 在x 轴上，AB 的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D 落在y 轴正半轴上点D 处，则点C 的对应点C 的坐标为()A(，1)B(2，1)C(1，)D(2，)D 3332 3 如图，四边形ABCD 是正方形，EBC 是等边三角形(1)求证：ABE DCE；(2)求AED 的度数(1)四边形ABCD 是正方形，ABBCCD，ABCDCB90.EBC 是等边三角形，EBBCE
11、C，EBCECBBEC60.EBAECD30.在ABE 和DCE 中，ABE DCE.证明：,.ABCDEBAECDEBEC (2)由(1)可知，ABBE，ABE30.BAEBEA75.同理CDECED75.AED360757560 150.4 如图，在正方形ABCD 中，E，F 分别为边AD 和CD上的点，且AECF，连接AF，CE 交于点G.求证：AGCG.四边形ABCD 是正方形，ADF90，ADCD.AECF，DEDF.在ADF 和CDE 中，ADF CDE(SAS)，DAFDCE.在AGE 和CGF 中，AGE CGF(AAS)，AGCG.证明：,ADCDADFCDEDFDE ,GA
12、EGCFAGECGFAEEF 5 如图，正方形ABCD 中，G 为BC 边上一点，BEAG 于E，DFAG 于F，连接DE.(1)求证：ABE DAF；(2)若AF1，四边形ABED 的面积为6，求EF 的长(1)在正方形ABCD 中，ABAD，BAD90，BAEDAF90.BEAG 于E，DFAG 于F，AEBDFA90，ADFDAF90，BAEADF，ABE DAF(AAS)证明：(2)ABE DAF，BEAF1，AEDF，设AEDFx，S四边形ABEDSABESADE，6 AE(BEDF)，6 x(1x)，x13，x24(舍去)，AE3，EFAEAF2.解：12126 如图，在正方形AB
13、CD 中，点G 在对角线BD 上(丌不点B，D 重合)，GEDC 于点E，GFBC 于点F，连接AG.(1)写出线段AG，GE，GF 长度乊间的等量关系，并说明理由；(2)若正方形ABCD 的边长为1，AGF105，求线段BG 的长(1)AG 2GE 2GF 2.理由如下：如图，连接GC，由正方形的性质知ADCD，ADGCDG.在ADG 和CDG 中，所以ADG CDG，所以AGCG.由题意知GECGFCDCB90，所以四边形GFCE 为矩形，CG 2CF 2GF 2，所以GEFC.又因为AGCG，所以AG 2GE 2GF 2.解：,ADCDADGCDGGDGD (2)如图，作AHBD 于点H，由题意易知AGB60，ABG45，所以BAH45ABG，GAH30，所以AHBH，AG2HG.因为AB1，所以在RtABH 中，由勾股定理可得AHBH .在RtAGH 中，由勾股定理可得HG .所以BG .22662626 正方形同时具备平行四边形、菱形、矩形的所有性质，因此，正方形的四个角都是直角，四条边都相等，对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角，正方形是轴对称图形，有四条对称轴这些性质为证明线段相等、垂直，角相等提供了重要的依据
