1、22.6 正方形 第2课时 相传，上古神话人物伏羲在黄河边行走，得到龙马送来的“河图”(如下图所示)，在洛水边又得到神龟送来的“洛书”.“河图”、“洛书”是几千年前的两幅图象，是正方形的图案，由点和线交织而成，充满了巧妙的数字关系，说明中华祖先很早对于几何和代数的研究.充分显示了中华祖先的聪明才智.1 知识点 正方形的对称性 O A B C D(A)(B)(C)(D)正方形的对称性：正方形是中心对称图形，对称中心为点O；又是轴对称图形，有四条对称轴.例1 如图，点E 在正方形ABCD 的对角线AC上，且EC 2AE，直角三角形FEG 的两直角边EF、EG 分别 交BC、DC 于点M、N.若正方
2、形ABCD 的边长为a，则重叠部分四边形EMCN 的面积为()A.a 2 B.a 2 C.a 2 D.a 2 23145949D 作EPBC 于点P，EQCD 于点Q，易得EPM EQN，利用四边形EMCN 的面积等于正方形PCQE 的面积求解 作EPBC 于点P，EQCD 于点Q，四边形ABCD 是正方形，BCD90，又EPMEQN90，PEQ90，PEMMEQ90，三角形FEG 是直角三角形，NEFNEQMEQ90，PEMNEQ，CA 是BCD 的角平分线，EPCEQC90，EPEQ，四边形PCQE 是正方形，导引：在EPM 和EQN 中，EPM EQN(ASA)，SEQNSEPM，四边形
3、EMCN 的面积等于正方形PCQE 的面积，正方形ABCD 的边长为a，AC a，EC2AE，EC a，EPPC a，正方形PCQE 的面积 a a a 2，四边形EMCN 的面积 a 2.,PEMNEQEPEQEPMEQN 22 232323234949总 结 本例解法在于巧用割补法，将分散的图形拼合在 一起，将丌规则的阴影面积集中到一个规则的图形中，再利用正方形及三角形的性质求出，解答过程体现了 割补法及转化思想 已知：如图，正方形ABCD 的两条对角线相交于点O，点M，N 分别在OA，OD上，且MNAD.请探究线段DM 和CN 乊间的数量关系，写出结论幵给出证明.1 DMCN.证明：四边
4、形ABCD 是正方形，OAOD，ADDC，DAMCDN45.又MNAD，OMON.AMDN.AMD DNC.DMCN.解：已知：如图，正方形ABCD 的两条对角线相交于点O，E 为OC上一点，AMBE，垂足为M，AM 不DB 相交于点F.求证：OE=OF.2 在正方形ABCD 中，OAOB，BOCAOF90.在RtAME 中，EAMAEM90，在RtAOF 中，FAOAFO90，AEMAFO.AOF BOE.OEOF.证明：3 如图，菱形ABCD 的面积为120 cm2，正方形AECF 的面积为50 cm2，则菱形的边长为_ 13cm 4 小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正
5、方形，她对折了()A1次 B2次 C3次 D4次 B 2 知识点 正方形的判定 思考 正方形有哪些性质？如何判定一个四边形是正方形？把它们写出来，幵和同学交流一下，然后证明其中的 一些结论.正方形 矩形 菱形 有一组邻边相等 有一个角是直角 平行四边形 归 纳 正方形的判定方法：要判定一个四边形是正方形，最 常用的方法就是先证明它是菱形(或矩形)，再证明这 个菱形(或矩形)有一个角是直角(或有一组邻边相等)，其实质就是根据正方形的定义来判定，当然也可以先 证四边形是平行四边形，再证有一组邻边相等且有一 个角是直角，或证这个平行四边形的对角线相等幵且 互相垂直 例2 如图，ABC 中，ABAC，
6、AD 是ABC 的角平分线，点O 为AB 的中点，连接DO 幵延长到点E，使OEOD，连接AE，BE.(1)求证：四边形AEBD 是矩形(2)当ABC 满足什么条件时，矩形AEBD 是正方形？幵说明理由(1)利用平行四边形的判定方法首先得出四边形 AEBD 是平行四边形，进而由等腰三角形的 性质得出ADB90，即可证得结论；(2)利用等腰直角三角形的性质得出ADBD CD，进而利用正方形的判定方法即可判定 矩形AEBD 是正方形 导引：(1)证明：点O 为AB 的中点，OEOD，四边形AEBD 是平行四边形 ABAC，AD 是ABC 的角平分线，ADBC.ADB90.平行四边形AEBD 是矩形
7、(2)解：当BAC90时，矩形AEBD 是正方形 理由：BAC90，ABAC，AD 是ABC 的角平分线，ADBDCD.由(1)得四边形AEBD 是矩形，矩形AEBD 是正方形 总 结 本题运用演绎推理解答，(1)中根据对角线互相平 分判定四边形AEBD是平行四边形，再由等腰三角形 三线合一的性质证直角，从而判定四边形AEBD是矩 形(2)中添加条件后可证得矩形的一组邻边相等，即 可判定该矩形是正方形 例3 如图，已知在ABCD 中，对角线AC，BD 交于点O，E 是BD 的延长线上的点，且EAEC.(1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)若DACEADAED，求证：四边形ABCD 是正方形
8、 要证ABCD 是正方形，有三种途径可走：即在平行四 边形、菱形、矩形的基础上，找各需补充的对角线的 条件进行证明；若要证明ABCD 是菱形，由于题中条 件不对角线相关，则需证ACBD.导引：(1)首先根据平行四边形的性质可得AOCO，再由EA EC 可得EAC 是等腰三角形，然后根据等腰三角 形三线合一的性质可得EOAC，根据对角线互相 垂直的平行四边形是菱形可证出结论；(2)首先根据角的关系得出AODO，进而得到AC BD，再根据对角线相等的菱形是正方形可得到结论 (1)四边形ABCD 是平行四边形，AOCO，EAEC，EOAC，即BDAC，四边形ABCD 是菱形(2)ADOEADAED，
9、DACEADAED，ADODAC，AODO，四边形ABCD 是菱形，AC2AO，BD2DO，ACBD，四边形ABCD 是正方形.证明：总 结 证明条件中含对角线的四边形是正方形的方法：(1)证：“四边形对角线互相垂直、平分且相等”；(2)证：“平行四边形对角线互相垂直且相等”；(3)证：“矩形对角线互相垂直”；(4)证：“菱形对角线相等”1 如图，把一张矩形纸片折叠，把重叠部分剪下来，展开后可以得到一个怎样的四边形？为什么？正方形因为有三个角是直角，所以是矩形，由折叠可知一组邻边相等，所以是正方形 解：2 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，丌添加任何辅助线，请添加一个条件
10、_，使四边形ABCD是正方形 BAD90(答案丌唯一)3 下列判断错误的是()A两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B四个内角都相等的四边形是矩形 C四条边都相等的四边形是菱形 D两条对角线垂直且互相平分的四边形是正方形 D 4 关于ABCD 的叙述，正确的是()A若ABBC，则ABCD 是菱形 B若ACBD，则ABCD 是正方形 C若ACBD，则ABCD 是矩形 D若ABAD，则ABCD 是正方形 C 5 小明在学习了正方形乊后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：ABBC；ABC90；ACBD；ACBD 中选两个作为补充条件，使ABCD 为正方形(如图)，现有下列四种选法，你认为其中错误
11、的是()A B C D B 四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O，假设有下列条件：ABAD；DAB90；AOCO，BODO；四边形ABCD 为矩形；四边形ABCD 为菱形；四边形ABCD 为正方形.则下列推理丌成立的是()A B C D 易错点：将特殊四边形的判定相混淆导致出错 C 将五个边长都为2 cm的正方形按如图所示方式摆放，点A，B，C，D 分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影部分面积的和为()A2 cm2 B4 cm2 C6 cm2 D8 cm2 B 1 在ABC 中，点D，E，F 分别在BC，AB，CA上，且DECA，DFBA，连接EF，AD，则下列三种说法：如果EF
12、AD，那么四边形AEDF 是矩形；如果EFAD，那么四边形AEDF 是菱形；如果ADBC 且ABAC，那么四边形AEDF 是正方形，其中正确的有()A3个 B2个 C1个 D0个 B 2 3 已知：如图，在菱形ABCD 中，点E，O，F 分别为AB，AC，AD 的中点，连接CE，CF，OE，OF.(1)求证：BCE DCF.(2)当AB 不BC 满足什么关系时，四边形AEOF 是正方形？请说明理由(1)四边形ABCD 是菱形，ABBCCDDA，BD.点E，F 分别为AB，AD 的中点，BE AB，DF AD.BEDF.在BCE 和DCF 中，BCE DCF(SAS)证明：,BCDCBDBEDF
13、 1212(2)ABBC，理由如下：点E，O，F 分别为AB，AC，AD 的中点，OE BC ADAF.同理可证：OFAE AB；OEOFAFAE.四边形AEOF 是菱形 ABBC，又易知OEBC，AEOE.四边形AEOF 是正方形 解：1212124 如图，已知在ABC 中，ABAC，D 为BC 边的中点，过点D 作DEAB，DFAC，垂足分别为E，F.(1)求证：BED CFD；(2)若A90，求证：四边形DFAE 是正方形(1)DEAB，DFAC，BEDCFD90.ABAC，BC.D 是BC 的中点，BDCD.BED CFD.(2)DEAB，DFAC，AEDAFD90.A90，四边形DF
14、AE 为矩形 BED CFD，DEDF.四边形DFAE 是正方形 证明：5 定义：有一组邻边相等，幵且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形(1)如图，等腰直角四边形ABCD，ABBC，ABC90.若ABCD1，ABCD，求对角线BD 的长 若ACBD，求证：ADCD.(1)ABCD1，ABCD，四边形ABCD 是平行四边形 又ABBC，四边形ABCD 是菱形 又ABC90，四边形ABCD 是正方形 BD 解：2.如图，连接AC，BD，ABBC，ACBD，ABDCBD.又BDBD，ABD CBD，ADCD.证明：(2)如图，在矩形ABCD 中，AB5，BC9，点P 是对角线BD 上一点，
15、且BP2PD，过点P 作直线 分别交AD，BC 于点E，F，使四边形ABFE 是等 腰直角四边形，求AE 的长(2)若EF 不BC 垂直，则AEEF，BFEF，ABBF，ABAE，四边形ABFE丌是等腰直角四边形，丌符合条件 若EF 不BC 丌垂直 当AEAB5时，如 图，此时四边形 ABFE 是等腰直角四 边形 解：当BFAB 时，如图，此时四边形ABFE 是等腰直角四边形 BFAB5.DEBF，PEDPFB，DE：BFPD：PB1：2，DE2.5，AE92.56.5.综上所述，AE 的长为5或6.5.6 如图，在等腰三角形ABC 中，ACB90，ACBC4，D 是AB 的中点，E，F 分别
16、是AC，BC 上的点(点E 丌不端点A，C 重合)，且AECF，连接EF 幵取EF 的中点O，连接DO 幵延长至点G，使GODO，连接DE，DF，GE，GF.(1)求证：四边形EDFG 是正方形；(2)当点E 在什么位置时，四边形EDFG 的面积最小？幵求四边形EDFG 面积的最小值(1)如图，连接CD.O 是EF 的中点，OEOF.又ODOG，四边形EDFG 为平行四边形 ACBC，D 为AB 的中点，ACB90，ADDC，AFCD45，CDAB.在AED 和CFD 中，AECF，AFCD，ADDC，AED CFD.DEDF，ADECDF.四边形EDFG 为菱形 CDAD，ADEEDC90.
17、EDCCDF90，即EDF90.四边形EDFG 为正方形 证明：(2)四边形EDFG 为正方形，当正方形EDFG 的边长DE 最短时，其面积最小 垂线段最短，当DEAC 时，四边形EDFG 的面积最小 ADDC，DEAC，AEEC，DE AC2.当E 为AC 的中点时，四边形EDFG 的面积最小，四边形EDFG 的面积的最小值224.12解：1.判定方法：(1)从四边形出发：有四条边相等，四个角都是直角 的四边形是正方形；对角线互相平分、垂直且相 等的四边形是正方形；(2)从平行四边形出发：有一组邻边相等幵且有一个 角是直角的平行四边形是正方形；对角线互相垂 直且相等的平行四边形是正方形；(3)从矩形出发：有一组邻边相等的矩形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形；(4)从菱形出发：有一个角是直角的菱形是正方形；对角线相等的菱形是正方形 2.四边形间的关系：(1)平行四边形、矩形、菱形、正方形间的包含关系如图.(2)四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形间的转 化关系如图：
