1、22.4 矩 形 第2课时 知识回顼 四边形 平行 四边形 一个角 是直角 矩形 平行四边形 矩形 四边形 木工朋友在制作窗框后，需要检测所制作的窗框是否是矩形，那么他需要测量哪些数据，其根据又是什么呢？你现在有方法帮他吗？探究新知 测量？知识点 由直角的个数判定矩形 分析矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。由定义识别：ABCD，A=90.ABCD 是矩形.A B C D 1 根据矩形的定义，有一个角是直角的平行四边形是矩形如果丌通过平行四边形，能根据四边形中直角的个数，直接由四边形来判定它是矩形吗？有几个角是直角的四边形是矩形呢？性质：矩形的四个角都是直角 四个角是直角的四边形是矩
2、形 条件 结论 条件 结论 李芳同学用“边直角、边直角、边直角、边”这样四步，画出了一个四边形，她说这就是一个矩形。猜想她判断的依据？猜想：有三个角是直角的四边形是矩形 你能证明上述结论吗？已知：如图所示，在四边形ABCD 中，A=B=C=90.求证：四边形ABCD 是矩形 B C A D 证明：A=B=C=90，A+B=180，B+C=180.ADBC，ABCD.四边形ABCD 是平行四边形.A=90，ABCD 是矩形.比较上面两种说法，你认为选择哪种说法作为矩形的 判定定理更为简洁?于是，便得到：有三个角是直角的四边形是矩形.归 纳 有三个角是直角的四边形是矩形.符号表达式：A=B=C=9
3、0，四边形ABCD 是矩形.A B C D 例1 如图，ABCD 的四个内角的平分线分别相交于 点E，F，G，H.求证：四边形EFGH 是矩形.要证明四边形EFGH 是矩形，由于已知ABCD 的四个内角 的平分线分别相交于点E，F，G，H，因此可选用“有三个角是直角的四边形是 矩形”来证明 导引：ABCD，ABCBCD180.BG 平分ABC，CG 平分BCD，GBCGCB ABC BCD 18090，BGC90.同理可得AFBAED90.GFEFEHFGH90.四边形EFGH 是矩形 12证明：1212总 结 本题目中的图形是建立在四边形基础上，而条件中又涉及角的关系，一般采用“角的方法”来
4、判定矩形 已知：如图，在ABC 中，AB=AC，D 为BC 的中点，四边形AEDB 为平行四边形.求证：四边形AECD 是矩形.1 在AEDB 中，AEBD，AEBD，ABDE，D 为BC 的中点，BDDC，AECD，又AECD，四边形AECD 是平行四边形 在ABC 中，ABAC，ACDE，四边形AECD 是矩形 解：已知矩形的对角线长为10 cm，求顺次连接矩形四边中点所得的四边形的周长.2 如图所示在矩形ABCD 中，AC，BD 的长都为10 cm.点E，H 分别是AD，CD 的中点，则EH AC5 cm.同理：FE，FG，GH 的长均为5 cm.所以所得到的四边形的周长为555520(
5、cm)12解：下列命题中，假命题是()A有一组对角是直角且一组对边平行的四边形是矩形 B有一组对角是直角且一组对边相等的四边形是矩形 C有两个内角是直角且一组对边平行的四边形是矩形 D有两个内角是直角且一组对边相等的四边形是矩形 3 C 下列说法：三角形的三条高一定都在三角形内；有一个角是直角的四边形是矩形；两边及一角对应相等的两个三角形全等；一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 其中正确的有()A0个 B1个 C2个 D3个 4 A 如图，顺次连接四边形ABCD 各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH 为矩形，应添加的条件是()AABDC BACBD CACBD DABDC
6、 5 C 2 知识点 由对角线的关系判定矩形 我们知道，矩形的对角线相等.反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？工人师傅在做门窗戒矩形零件时，丌仅要测量两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形.你知道其中的道理吗？思考 已知：在ABCD，AC=BD.求证：ABCD 是矩形.证明：在ABCD 中，AB=DC，BC=CB，且AC=DB.ABC DCB（SSS）.ABC=DCB.AB/CD，ABC+DCB=180.ABC=DCB=90.又 四边形ABCD 是平行四边形，ABCD 是矩形.A B C D 归 纳 可以发现并证明矩形的一个判定定理：对角线相等的
7、平行四边形是矩形.警示：两条对角线相等的四边形丌一定是矩形，这个 四边形必须是平行四边形才可以.例2 已知：如图，在矩形ABCD 中，E，F，G，H 分别 为OA，OB，OC，OD 的中点.求证：四边形EFGH 是矩形.四边形ABCD 是矩形，AC=BD.且 OA=OC，OB=OD.OA=OC=OB=OD.又E，F，G，H 分别为OA，OB，OC，OD 的中点，OE=OG=OF=OH.四边形EFGH 是平行四边形.又EG=OE+OG=OF+OH=HF，四边形EFGH 是矩形.证明：总 结 证明一个平行四边形为矩形的两种方法：一是证 明有一个角是直角，另一个是证明两条对角线相等 解：(1)(2)
8、(3)错误，(4)正确 指出下列说法是否正确.(1)有一个角为直角的四边形是矩形.(2)两条对角线相等的四边形是矩形.(3)两条对角线互相垂直的四边形是矩形.(4)四个角皆为直角的四边形是矩形.1 如图，矩形ABCD 的两条对角线AC，BD 的夹角为60，AC+AB=12.求AC 和AB 的长.2 因为两条对角线AC，BD 的 夹角为60，AOBO，所以OABOBA AOB60，所以AOB 为等边三角形，AC2AB.所以ACAB2ABAB3AB12.所以AB4，所以AC8.解：小亮想检验一块木板是丌是矩形.现仅有一根足够长的细绳，你能想办法帮他迚行检验吗？请说明理由.3 解：略.已知：如图，在
9、ABC 中，AB=AC，ADBC，垂足为D，AN 是ABC 外角CAM 的平分线，CEAN，垂足为E.求证：四边形ADCE 是矩形.4 由题意易知MACBACB，ABAC，BACB.MAC2B，AN 是MAC 的平分线，MAC2MAE，MAEB，AEBC，ADBC，ADBADC90，CEAN，AEC90，AEBC，DAEADB90，ADCDAEAEC90，四边形ADCE 是矩形 证明：如图，在矩形ABCD 中，AC，BD 相交于点O，AE 平分BAD，交 BC 于点E，CAE=15.求BOE 的度数.5 在矩形ABCD 中，OAOBODOC，AE 平分BAD，BAE BAD45，又ABE90，
10、AEB45.ABBE.CAE15，BAO60，AOB 是等边三角形 OAOBAB，ABO60，BOBE，OBE30，BOE (18030)75.1212解：如图，在矩形ABCD 中，ABBC，点E、F、G、H 分别是边DA、AB、BC、CD 的中点，连接EG、FH，则图中矩形的个数共有()A5个 B8个 C9个 D11个 6 C 如图，四边形ABCD 的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是()AABCD BADBC CABBC DACBD 7 D 下列关于矩形的说法中正确的是()A对角线相等的四边形是矩形 B矩形的对角线相等且互相平分 C对角线互相平分的四边形是矩形 D矩形的对角线
11、互相垂直且平分 8 B 如图，在ABCD 中，延长AD 到点E，使DEAD，连接EB，EC，DB，请你添加一个条件_，使四边形DBCE 是矩形 9 EBDC(答案丌唯一)在一组对边平行的四边形中，添加下列条件中的哪一个，可判定这个四边形是矩形()A另一组对边相等，对角线相等 B另一组对边相等，对角线互相垂直 C另一组对边平行，对角线相等 D另一组对边平行，对角线互相垂直 C 易错点：对矩形的判定方法理解错误导致出错 如图，在RtABC 中，A90，AB3，AC4，P 为边BC 上一动点，PEAB 于E，PFAC 于F，则EF 的最小值为()A2 B2.2 C2.4 D2.5 1 C 如图，要使
12、ABCD 成为矩形，需添加的条件是()AABBC BAOBO C12 DACBD 2 B 3 如图，在平行四边形ABCD 中，点O 是边BC 的中点，连接DO 并延长，交AB 延长线于点E，连接BD，EC.(1)求证：四边形BECD 是平行四边形；(1)在平行四边形ABCD 中，ABCD，CBEBCD，点O 是边BC 的中点，OBOC，BOECOD，BOE COD，OEOD，四边形BECD 是平行四边形 证明：(2)若A50，则当BOD_时，四边形BECD 是矩形 100 4 如图，已知BAAEDC，ADEC，CEAE，垂足为E.(1)求证：DCA EAC；(2)只需添加一个条件，即_，可使四
13、边形ABCD 为矩形请加以证明(1)证明：在DCA 和EAC 中，DCA EAC(SSS)(2)解：ADBC 证明：ABDC，ADBC，四边形ABCD 是平行四边形 CEAE，E90.由(1)得DCA EAC，DE90.四边形ABCD 为矩形,DCEAADCEACCA 5 如图，在矩形ABCD 中，AB24 cm，BC8 cm，点P 从A开始沿折线ABCD 以4 cm/s的速度移动，点Q 从C 开始沿CD 边以2 cm/s的速度移动，如果点P、Q 分别从A、C 同时出发，当其中一点到达D 时，另一点也随乊停止运动，设运动时间为t s 当t 为何值时，四边形QPBC 为矩形？根据题意得CQ2t
14、cm，AP4t cm，则BP(244t)cm，四边形ABCD 是矩形，BC90，CDAB.只有CQBP 时，四边形QPBC 是矩形，即2t244t.解得t4，当t4时，四边形QPBC 是矩形 解：6 如图，在ABC 中，点O 是边AC上一个动点，过点O 作直线EFBC 分别交ACB、外角ACD 的平分线于点E、F.(1)若CE8，CF6，求OC 的长；(2)连接AE、AF.问：当点O 在边AC 上运动到什么位置时，四边形AECF 是矩形？并说明理由(1)EF 交ACB、外角ACD 的平分线于点E、F，OCEBCE，OCFDCF.EFBC，OECBCE，OFCDCF.OECOCE，OFCOCF.OEOC，OFOC.OEOF EF.OCEBCEOCFDCF180，ECF90.在RtCEF 中，由勾股定理得EF 10，OCOE EF5.解：121222CECF(2)当点O 在边AC 上运动到AC 中点时，四边形AECF 是矩形 理由如下：如图所示 当O 为AC 的中点时，AOCO，EOFO，四边形AECF 是平行四边形 ECF90，平行四边形AECF 是矩形 矩形的判定方法：方法1：有一个角是直角的平行四边形是矩形.方法2：有三个角是直角的四边形是矩形.方法3：对角线相等的平行四边形是矩形.(对角线互相平分且相等的四边形是矩形.)
