1、22.4 矩 形 第1课时 两组对边分别平行的四边形是平行四边形.A B C D 四边形ABCD 如果 ABCD ADBC B D ABCD A C 平行四边形的性质：边 平行四边形的对边平行；平行四边形的对边相等；角 平行四边形的对角相等；平行四边形的邻角互补；对角线 平行四边形的对角线互相平分；我们已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此 平行四边形除具有四边形的性质外，还有它的特殊性 质，同样对于平行四边形来说有特殊情况即特殊的平 行四边形，也，这堂课我们就来研究一种恃殊的平行 四边形矩形.一个角是 直角 两组对边 分别平行 平行 四边形 矩形 知识点 矩形及其对称性 1.如图，剪出一个矩
2、形纸片ABCD，点O 是这个矩形 的中心.请你用折叠的方法，验证它是轴对称图形.矩形有几条对称轴.它们都经过矩形的中心吗？1 2.四边形具有丌稳定性，即当一个四边形的四条边长 保持丌变时，它的形状却是可以改变的.如图，使 一个平行四边形保持四条边长丌变，而将一个内角 由钝角先变成直角，再变成锐角.在这个过程中：(1)这个四边形总是平行四边形吗？(2)当=90时，其余三个内角各是多少度的角？(3)当=90时，两条对角线的长有什么关系？归 纳 矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形.例1 如图，直线EF 过矩形ABCD 对角线的交点O，分别交AB、CD 于点E、F，若AB3，BC4，那么阴影部分的面
3、积为_ 导引：由题意易得到OEB OFD，将阴影部分的面积转化为规则 的几何图形的面积迚行计算 3 方法一：四边形ABCD 是矩形，由矩形中心对称的性质知SEBOSFDO，阴影部分的面积为矩形面积的 .S阴影部分SABO 343.方法二：在矩形ABCD 中，OBOD，EBOFDO.在OEB 不OFD 中，OEB OFD.S阴影部分SABO S矩形ABCD 343.EBOFDOOBODEOBFOD，14141414总 结 矩形既是轴对称图形又是中心对称图形，根据对 称性将阴影部分的面积转化为规则的几何图形的面积 求解体现了转化思想 下列说法丌正确的是()A矩形是平行四边形 B矩形丌一定是平行四边
4、形 C有一个角是直角的平行四边形是矩形 D矩形既是轴对称图形又是中心对称图形 1 B 在ABCD 中，AB3，BC4，连接AC，BD，当ABCD的面积最大时，下列结论正确的有()AC5；BADBCD180；ACBD；ACBD.A B C D 2 B 2 知识点 矩形的边角性质 因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形 的所有性质.由于它有一个角为直角，它是否具有一般 平行四边形丌具有的一些特殊性质呢？思考(1)取一张矩形的纸片，分别沿它的两组对边的中点所在 的直线折叠，你发现矩形是轴对称图形吗？如果是，它 有几条对称轴？(2)利用矩形的轴对称性质，由矩形的一个角是直角，你 发现矩形的另外三个
5、角有什么性质？证明你的结论 归 纳 矩形的四个角都是直角.例2 如图所示，在矩形ABCD 中，AEBD 于点E，DAEBAE31，求BAO 和EAO 的度数 由DAE 不BAE 之和为矩形 的一个内角及两角之比即可求 出DAE 和BAE 的度数，从 而得出ABE 的度数，由矩形的性质易得BAO ABE，即可求出BAO 的度数，再由EAO BAOBAE 可得EAO 的度数 导引：四边形ABCD 是矩形，DAB90，AO AC，BO BD，ACBD.BAEDAE90，AOBO.又DAEBAE31，BAE22.5，DAE67.5.AEBD，ABE90BAE9022.567.5.AOBO，BAOABE
6、67.5.EAOBAOBAE67.522.545.1212解：总 结 矩形的每条对角线把矩形分成两个直角三角形，矩形的两条对角线将矩形分成四个等腰三角形，因此 有关矩形的计算问题经常通过转化到直角三角形和等 腰三角形中来解决 1 已知：如图，E 为矩形ABCD 的边AD 的中点，连接BE，CE.求证：EBC 是等腰三角形.在矩形ABCD 中，ABCD，AD90，E 为AD 的中点，AEDE，在ABE 和DCE 中，ABE DCE.EBEC，EBC 是等腰三角形 ABCDADAEDE，解：如图，在矩形ABCD 中，AB3，AD4，对角线AC 不BD 相交于点O，EF 经过点O 且分别不AB，CD
7、 相交于点E，F，则图中阴影部分的面积为_ 2 3 如图，点E 是矩形ABCD 的边AD 延长线上的一点，且ADDE，连接BE 交CD 于点O，连接AO，下列结论中丌正确的是()AAOB BOC BBOC EOD CAOD EOD DAOD BOC 3 A 如图，点O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，OMAB交AD 于点M，若OM3，BC10，则OB 的长为()A5 B4 C.D.4 D 34342如图，在矩形纸片ABCD 中，AD4 cm，把纸片沿直线AC 折叠，点B 落在E 处，AE 交DC 于点O.若AO5 cm，则AB 的长为()A6 cm B7 cm C8 cm D9 cm 5
8、 C 3 知识点 矩形的对角线性质 任意画一个矩形，作出它的两条对角线，并比较它们 的长你有什么发现?已知：如图所示，四边形ABCD 是矩形 求证：AC=DB A B C D O 证明：四边形ABCD 是矩形，ABC=DCB=90(矩形的性质定理1)AB=CD(平行四边形的对边相等)，BC=CB ABC DCB(SAS).AC=DB 于是，就得到矩形的性质：矩形的对角线相等.归 纳 矩形的对角线相等.四边形ABCD 是矩形，AC=BD，AO=OC=BO=OD.AOD=120，AOB=60.AOB 是等边三角形.AO=BO=AB=4 cm，AC=AO+OC=AO+OB=8(cm),即矩形ABCD
9、 对角线的长为8 cm.例4 如图，矩形ABCD 两条对角线相交于点O，AOD=120，AB=4 cm.求矩形对角线的长.解：A B C D O 总 结 因为矩形的对角线相等且互相平分，所以矩形的 对角线将矩形分成了四个等腰三角形，再由特殊角可 得到特殊的三角形等边三角形，利用等边三角形 的性质即可求解 矩形具有而一般平行四边形丌一定具有的性质是_.1 矩形的四个内角都是直角；矩形的两条对角线相等 如图，四边形ABCD 为矩形，指 出图中相等的线段和角.2 相等的线段：ABCD，ADBC，ACBD，OAOCOBOD.相等的角：BADADCBCDABC，AOBDOC，AODBOC，OABABOO
10、DCOCD，OADODAOBCOCB.解：A B C D O 已知矩形ABCD 的边AB=4，BC=5.求对角线AC 的长.3 如图，在矩形ABCD 中，AB4，BC5，ABC90.AC 22224541ABBC.解：A B C D 如图，在矩形ABCD 中，E 为AD上一点，EF丄CE，交AB于点F，DE=2.矩影的周长为16，且CE=EF.求AE 的长.4 在矩形ABCD 中，AD90，ADBC，ABCD，EFCE，FEC90，AEFDEC90，DECDCE90，AEFDCE.在AEF 和DCE 中，AEF DCE，AECD，设AEx，则CDx，ADx2.矩形的周长为16，2(xx2)16
11、.解得x3.即AE3.ADAEFDCEEFEC，解：在矩形ABCD 中，ABCD，ACBD，因为ABCE，BEAC，所以四边形ABEC 是平行四边形 所以ACBE，又因为ACBD，所以BDBE.已知：如图，在矩形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，过点B 作BEAC，交DC 的延长线于点E.求证：BD=BE.5 证明：连接PO，在矩形ABCD 中，ACBD 5.OAOD AC BD .SAODSAOPSDOP OA PE OD PF OA(PEPF)SADC AD DC3.故PEPF .已知：如图，在矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，P 为AD上一点，过点P 作PEAC，PFBD，
12、垂足分别为E，F.求PE+PF 的值.6 222234ABAD121252121212121212125解：如图，在矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，E 为CD 的中点，连接AE 并延长，交BC 的延长线于点F，连接DF.求DF 的长.7 连接AC，在矩形ABCD 中，ADBC，ADBC，ADCDCF90，因为E 为CD 的中点，所以DECE.因为ADCF，所以DAECFE.在ADE 和FCE 中，所以ADE FCE，所以CFAD，又因为ADBC，所以BCCF，又因为DCBF，所以DFBD 5.DAECFEADEFCEDECE，222234ABAD解：如图，在矩形ABCD 中，对角线AC，
13、BD 相交于点O，AOB60，AC6 cm，则AB 的长是()A3 cm B6 cm C10 cm D12 cm 8 A 9 如图，矩形ABCD 的对角线AC 不BD 相交于点O，CEBD，DEAC，AD DE2，则四边形OCED 的面积为()A2 B4 C4 D8 332 3，A 矩形一个角的平分线分矩形一边为1 cm和3 cm两部分，则这个矩形的面积为 4 cm2戒12 cm2 易错点：对题意理解丌透彻导致漏解.在探索“尺规三等分角”这个数学名题的过程中，曾利用了如图所示的图形该图中，四边形ABCD 是矩形，E 是BA 延长线上一点，F 是CE 上一点，ACFAFC，FAEFEA.若ACB
14、21，则ECD 的度数是()A7 B21 C23 D24 1 C 如图，点P 是矩形ABCD 的边AD上的一动点，矩形的两条边AB，BC 的长分别是6和8，则点P 到矩形的两条对角线AC 和BD 的距离之和是()A4.8 B5 C6 D7.2 A 2 3 在矩形ABCD 中，E、F 分别是AD、BC 的中点，CE、AF 分别交BD 于G、H 两点 求证：(1)四边形AFCE 是平行四边形；(2)EGFH.(1)四边形ABCD 是矩形，ADBC，ADBC.E、F 分别是AD、BC 的中点，AE AD，CF BC.AECF.四边形AFCE 是平行四边形 证明：1212(2)四边形AFCE 是平行四
15、边形，CEAF.DGEAHDBHF.ADBC，EDGFBH.DE AD，BF BC，ADBC，DEBF.在DEG 和BFH 中，DEG BFH(AAS)EGFH.,DGEBHFEDGFBHDEBF 12124 如图，矩形ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，点E，F在BD上，BEDF.(1)求证：AECF；(2)若AB6，COD60，求矩形ABCD 的面积(1)四边形ABCD 是矩形，OAOC，OBOD，ACBD，ABC90.BEDF，OEOF.在AOE 和COF 中，AOE COF(SAS)AECF.证明：,OAOCAOECOFOEOF (2)OAOC，OBOD，ACBD，OAOB.AO
16、BCOD60.AOB 是等边三角形 OAAB6.AC2OA12.在RtABC 中，BC 6 ，矩形ABCD 的面积为AB BC66 36 .解：22ACAB 3335 数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等(如图所示)”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了海岛算经九题古证(以上材料来源于古证复原的原理、吴文俊不中国数学和古代世界数学泰斗刘徵)请根据该图完成这个推论的证明过程 证明：S矩形NFGDSADC(SANFSFGC)，S矩形EBMFSABC(_)易知，SADCSABC，_，_ 可得S矩形N
17、FGDS矩形EBMF SAEF SFMC SANF SAEF SFGC SFMC 6 如图，以ABC 的三边为边在BC 的同侧分别作三个等边三角形，即ABD，BCE，ACF，连接DE，EF.请回答下列问题：(1)四边形ADEF 是什么四边形？并说明理由(2)当ABC 满足什么条件时，四边形ADEF 是矩形？(1)四边形ADEF 是平行四边形 理由：ABD，BEC 都是等边三角形，BDABAD，BEBC，DBAEBC60.DBE60EBA，ABC60EBA.DBEABC.DBE ABC.DEAC.又ACF 是等边三角形，ACAF.DEAF.同理可得ABC FEC，EFBADA.DEAF，DAEF，四边形ADEF 为平行四边形 解：(2)若四边形ADEF 为矩形，则DAF90.DABFAC60，BAC360DABFACDAF360 606090150.当ABC 满足BAC150时，四边形ADEF 是矩形 1.矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，它的特殊性就是四个角都是直角和对角线相等 2.矩形的两条对角线将矩形分为两对全等的等腰三角形在解题的时候常用到等腰三角形的性质 3.矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，有两条对称轴
