1、1、函数极值的定义、函数极值的定义 一般地，设函数一般地，设函数y f(x)在在xx0 及其附近有定义，及其附近有定义， 如果如果f(x0)的值比的值比x0 的函数值都大，我们就说的函数值都大，我们就说f(x0)是是函数函数f(x)的一个极的一个极 值，记作值，记作y极大值极大值 f(x0)，x0为极大值为极大值点；点； 即：若存在即：若存在0，当，当x 时，都有时，都有f(x) f(x0)，则则称称f(x0)为函数为函数f(x)的一个极大值的一个极大值； 如果如果f(x0)的值比的值比x0 的函数值都小，我们就说的函数值都小，我们就说f(x0)是是函数函数f(x)的一个极的一个极 值，记作值
2、，记作y极小值极小值 f(x0)，x0为极小值为极小值点。点。 即：若存在即：若存在0，当，当x 时，都有时，都有f(x) f(x0)，则则称称f(x0)为函数为函数f(x)的一个极小值的一个极小值； 函数的极大值、极小值统称为函数的极大值、极小值统称为 。 附近附近点点 大大 (x-,x+) 附近附近点点 小小 (x-,x+) 极值极值 复习巩固复习巩固 2、关于函数极值的几点说明、关于函数极值的几点说明 (1)在极值的定义中，取得极值的点称为极值点在极值的定义中，取得极值的点称为极值点(并非一个点，并非一个点，类似于零点的概念类似于零点的概念)，极值点是自变量，极值点是自变量(x)的值，极
3、值是函数的值，极值是函数值值(y)； (2)函数的极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与函数的极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内是最大或最小，而函数的最值是一个整数的整个定义域内是最大或最小，而函数的最值是一个整体概念，它在整个定义域内是最大或最小；体概念，它在整个定义域内是最大或最小； (3)函数的极值不是唯一的，即一个函数在某个指定区间或定函数的极值不是唯一的，即一个函数在某个指定区间或定义域内极大值和极小值可以不止一个，当然也可能不存在义域内极大值和极小值可
4、以不止一个，当然也可能不存在极值；极值； (4)函数的极大值与极小值无确定的大小关系，函数的极大值与极小值无确定的大小关系，即一个函数的即一个函数的极大值未必大于极小值。极大值未必大于极小值。 复习巩固复习巩固 3、函数的极值与导数的关系、函数的极值与导数的关系 f(x)0 f(x0)=0 f(x)0 f(x)0 f(x0)=0 极小值极小值f(x0) 复习巩固复习巩固 4、利用导数求函数、利用导数求函数y f(x)极值的方法步骤极值的方法步骤 (1)确定函数确定函数y f(x)的定义域；的定义域； (2)求函数求函数y f(x)的导数的导数f (x)； (3)求方程求方程f (x)0的根；的
5、根；(方程的根为可能极值点方程的根为可能极值点) (4)用函数的导数为用函数的导数为0的根的根(极值点，排除导数为极值点，排除导数为0的非极值点的非极值点)，顺次将函数的定义区间分成若干个小区间，并列成表格，顺次将函数的定义区间分成若干个小区间，并列成表格，检查检查 f (x)在极值点左右附近的正负，求出极大值和极小值。在极值点左右附近的正负，求出极大值和极小值。 复习巩固复习巩固 问题情境问题情境 我们都知道，函数我们都知道，函数f(x)在在x0处取得极大值处取得极大值(极小值极小值)，是指在是指在x0附近附近f(x0)比其它函数值都大比其它函数值都大(都小都小)，极值极值是相对于定义域内某
6、一局部而言的是相对于定义域内某一局部而言的。 思考：思考： (1)如何求函数如何求函数f(x)定义域内的最值？定义域内的最值？ (2)函数的极值与最值的区别是什么？函数的极值与最值的区别是什么？ 数学建构数学建构 1、函数最值、函数最值(最大值与最小值最大值与最小值)的定义的定义 如果在定义域如果在定义域I内存在内存在x0使得对使得对 的的xI,总有总有 ，则称则称 f(x0)为函数为函数f(x)在定义域内的最大值；在定义域内的最大值； 如果在定义域如果在定义域I内存在内存在x0使得对使得对 的的xI，总有，总有 ，则称则称 f(x0)为函数为函数f(x)在定义域内的最小值。在定义域内的最小值
7、。 最大值和最小值统称为最大值和最小值统称为 。 最值是相对函数最值是相对函数 而言的，如果存在最值，那而言的，如果存在最值，那么最值么最值 。 任意的任意的 f(x)f(x0) 任意的任意的 f(x)f(x0) 最值最值 函数定义域整体函数定义域整体 唯一唯一 数学建构数学建构 2、导数法求解函数、导数法求解函数f(x)在区间在区间a，b上最值的方法步骤上最值的方法步骤 (1)求求f(x)在区间在区间(a，b)上的极值上的极值(极大值或极小值极大值或极小值)； (2)将将f(x)的各极值与区间端点函数值的各极值与区间端点函数值f (a)、f (b)进行比较，进行比较，得到得到 f(x)在区间
8、在区间a，b上的最大值和最小值。上的最大值和最小值。 活动探究活动探究 类型一类型一 利用导数求函数的最值利用导数求函数的最值 例例1、求函数、求函数 f(x)x24x3在区间在区间1，4上的最大值上的最大值与最小值。与最小值。 变式拓展变式拓展 求函数求函数 f(x) x34x4在区间在区间0，3上的最大值与最小值。上的最大值与最小值。 13练习练习 (1) f(x)3x2，x1，3 ； (2) f(x)x23x，x1，3； (3) f(x)3xx3，x3，3； (4)1( )f xxx， x133，；(5)432111( )432f xxxx，x1，1。活动探究活动探究 类型一类型一 利用
9、导数求函数的最值利用导数求函数的最值 例例2、求函数、求函数 f(x) xsinx 在区间在区间0，2上的最大值与最小值。上的最大值与最小值。 12活动探究活动探究 类型二类型二 已知最值求参数的值已知最值求参数的值 例例3、已知函数、已知函数f(x)x33x29xa， (1)求函数求函数f(x)的单调区间；的单调区间； (2)若函数若函数f(x)在区间在区间2，2 上的最大值为上的最大值为20，求函数，求函数 f(x)在该区间上的最小值。在该区间上的最小值。 变式拓展变式拓展 已知函数已知函数f(x)ax36ax2b，若，若f(x)在在1，2上的最大值为上的最大值为3，最小值为最小值为29，
10、求实数，求实数a和和b的值。的值。 活动探究活动探究 类型三类型三 恒成立问题中参数的取值范围问题恒成立问题中参数的取值范围问题 例 4、设函数 f(x)x312x22x5，(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)当 x1，2时， f(x)m 恒成立，求实数 m 的取值范围。变式拓展变式拓展 已知函数 f(x)x3ax2bxc 在 x23和 x1 时都取得极值，(1)求实数 a 和 b 的值与函数 f(x)的单调区间；(2)若对任意 x1，2时，不等式 f(x)c2恒成立，求实数 c的取值范围。课堂检测课堂检测 1、判断正误、判断正误(正确的打正确的打“”，错误的打，错误的打“”) (1)函数
11、函数f(x)在区间在区间a，b上的最大值和最小值，一定在区间端上的最大值和最小值，一定在区间端点处取得。点处取得。( ) (2)开区间上的单调连续函数无最值。开区间上的单调连续函数无最值。( ) (3)在定义域内，若函数有最值与极值，则极大在定义域内，若函数有最值与极值，则极大(小小)值就是最值就是最大大(小小)值。值。 ( ) (4)若函数若函数yf(x)在区间在区间a，b上连续，则一定有最值；若可上连续，则一定有最值；若可导，则最值点为极值点或区间端点。导，则最值点为极值点或区间端点。( ) 课堂检测课堂检测 2、函数 f(x)ln xx的最大值为_3、函数 f(x) x2cosx 在区间
12、0，2上的最大值为_4、函数 f(x)x33x1 在区间3，0上的最大值、最小值分别为_、_5、函数 f(x)xlnx 在区间(0，1上的值域为_课堂小结课堂小结 1、函数最值、函数最值(最大值与最小值最大值与最小值)的定义的定义 如果在定义域如果在定义域I内存在内存在x0使得对使得对 的的xI,总有总有 ，则称则称 f(x0)为函数为函数f(x)在定义域内的最大值；在定义域内的最大值； 如果在定义域如果在定义域I内存在内存在x0使得对使得对 的的xI，总有，总有 ，则称则称 f(x0)为函数为函数f(x)在定义域内的最小值。在定义域内的最小值。 最大值和最小值统称为最大值和最小值统称为 。
13、最值是相对函数最值是相对函数 而言的，如果存在最值，那而言的，如果存在最值，那么最值么最值 。 任意的任意的 f(x)f(x0) 任意的任意的 f(x)f(x0) 最值最值 函数定义域整体函数定义域整体 唯一唯一 2、导数法求解函数、导数法求解函数f(x)在区间在区间a，b上最值的方法步骤上最值的方法步骤 (1)求求f(x)在区间在区间(a，b)上的极值上的极值(极大值或极小值极大值或极小值)； (2)将将f(x)的各极值与区间端点函数值的各极值与区间端点函数值f (a)、f (b)进行比较，进行比较，得到得到 f(x)在区间在区间a，b上的最大值和最小值。上的最大值和最小值。 课堂小结课堂小结
