1、 2022年中考数学复习专题6：直线与圆问题【一】直线的方程及其应用 1、 直线方程的5种形式（1） 点斜式：（2） 斜截式：（3） 两点式：（4） 截距式：（5） 一般式：（A，B不同时为0）2、三种距离公式（1） 两点间的距离：.（2） 点到直线的距离：（其中点，直线方程：）.（3） 两平行直线间的距离：（其中两平行线方程分别为：）.3、两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线的斜率存在，则;若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在.1.例题【例1】设，则“是直线与直线平行”的（ ）A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】当时，两
2、条直线的方程分别为，此时两条直线平行；若两条直线平行，则，所以或，经检验，两者均符合；综上：“是直线与直线平行”的充分不必要条件，故选A.【答案】A【例2】过点（1，2）的直线与两坐标轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，当的面积最小时，直线的方程为（ ）A. B. C. D.【解析】设的方程为，则有，因为，所以，即，所以，当且仅当，即时，取“=”.即当时，的面积最小.此时的方程为，即.故选A.【答案】A2.巩固提升综合练习【练习1】若两平行直线与之间的距离是，则（ ）A.0 B.1 C.-2 D.-1【解析】因为平行，所以，解得，所以直线的方程是，又之间的距离是，所以，解得m=2或m=-8（舍
3、去），所以，故选C.【答案】C【练习2】直线过点P（1，4），分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于点A，B两点，O为坐标原点，当最小时，的方程为 .【解析】经检验直线的斜率存在，且斜率为负，设直线的斜率为，则直线的方程为，令y=0得，令x=0得，则，当且仅当，即时，取得最小值.此时的方程为.【答案】【二】圆的方程及其应用 1、 圆的标准方程（1） 以为圆心，为半径的圆的标准方程为.（2） 特别地，的圆心为（0，0），半径为.2、 圆的一般方程方程变形为.（1） 当时，方程表示以为圆心，为半径的圆；（2） 当时，方程表示一个点；（3） 当时，该方程不表示任何曲线。3、 点与圆的位置关系对于和圆C:
4、,则（1） P在圆C内；（2） P在圆C上；（3） P在圆C外.1.例题【例1】已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点在圆C上，且圆心到直线的距离为，则圆C的方程为 . 【解析】设圆心为，则圆心到直线的距离，解得，半径，所以圆C的方程为.【答案】【例2】圆心为点，并且截直线所得的弦长为的圆的方程（ ）ABCD【答案】B【解析】圆心到直线的距离，在直线上截的的弦长为8圆的半径圆的方程为故选：B求圆的方程的方法（1） 几何法：利用圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，数形结合直接求出圆心坐标、半径，进而求出圆的方程.（2） 待定系数法：先设出圆的方程，再由条件构建系数满足的方程（组）求得各系数，进而求
5、出圆的方程.2.巩固提升综合练习【练习1】已知圆C关于y轴对称，经过点（1，0）且被x轴分成两段弧长比为1：2，则圆C的方程为（ ）A. B.C. D.【解析】由题意知圆心在y轴上，且被x所分的劣弧所对的圆心角为，设圆心为，半径为，则，解得，即，则，故圆C的方程为.【答案】C【练习2】以为圆心，并且与圆外切的圆的方程是()ABCD【答案】B【解析】根据题意，设圆的半径为， 圆，即，其圆心为，半径，设， 若圆与圆外切，则有， 则， 则所求圆的方程为； 故选：B【三】直线与圆、圆与圆的位置关系1、 直线与圆的位置关系的判断直线（A，B不全为0）与圆的位置关系的判断方法有：（1） 几何法：圆心到直线
6、的距离为，直线与圆相交；直线与圆相切；直线与圆相离.（2） 代数法：由消元，得到的一元二次方程的判别式为，则直线与圆相交；直线与圆相切；直线与圆相离.2、 圆与圆的位置关系的判断（圆，圆的半径分别为）（1） 两圆外离，（2） 两圆外切，（3） 两圆相交，（4） 两圆内切，（5） 两圆内含.3、有关弦长问题的两种求法（1） 设直线被圆C截得的弦长为AB，圆的半径为，圆心到直线的距离为，则弦长公式：.（2） 若斜率为的直线与圆交于两点，则（其中），特别地，当时，；当斜率不存在时，.【知识拓展】1圆的切线方程常用结论(1)过圆x2y2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0xy0yr2.(2)
7、过圆(xa)2(yb)2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.(3)过圆x2y2r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0xy0yr2.2圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆的位置关系与公切线的条数：内含：0条；内切：1条；相交：2条；外切：3条；外离：4条(2)当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程1.例题【例1】已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数（ ）A. B. C. D.【解析】圆心到直线的距离为，由弦长公式得解得，故选B.【答案】B【例2】若直线ax+by1与圆x2+y21有
8、两个公共点，则点P（a，b）与圆x2+y21的位置关系是（）A在圆上B在圆外C在圆内D以上都有可能【解析】根据题意，直线ax+by1与圆x2+y21有两个公共点，即直线与圆相交，则有圆心到直线ax+by1的距离dr1，变形可得a2+b21，则点P（a，b）在圆x2+y21的外部；故选：B【例3】若圆C：x2+y25m与圆E：（x3）2+（y4）216有三条公切线，则m的值为（）A2BC4D6【解析】若两圆有三条公切线，等价为两圆相外切，圆E（3，4），半径R4，圆C（0，0），半径r，则|EC|45，即1，得5m1，则m4，故选：C【例4】 已知圆与圆的公共弦所在直线恒过定点，且点P在直线上，
9、则mn的取值范围是（ ）A. B. C. D.【解析】将与相减，得公共弦所在的直线方程为，即，由得，所以定点为，因此，所以，故选D.【答案】D【例5】已知点M（3，1）及圆，则过点M的圆的切线方程为 .【解析】由题意得圆心C（1，2），半径，当直线的斜率不存在时，方程为,由圆心C（1，2）到直线的距离知，这条直线与圆相切；当直线的斜率存在时，设方程为，即，因为相切，所以，解得，故方程为，即；综上所述：过点M的圆的切线方程为或.【答案】或2.巩固提升综合练习【练习1】已知直线与圆相交于A，B两点，O为坐标原点，且，则实数m的值为 .【解析】由且，可知为等腰直角三角形，则点O到AB所在直线的距离为
10、1.由，得.【答案】【练习2】已知两条平行直线l1，l2之间的距离为1，l1与圆C：x2+y24相切，l2与C相交于A，B两点，则|AB|（）ABCD【解析】根据题意，l1与圆C：x2+y24相切，则圆心C到直线l1的距离为2，又由两条平行直线l1，l2之间的距离为1，则圆心C到直线l2的距离d211，则|AB|22；故选：D【练习3】若直线l：ax+y+2a0被圆C：x2+（y4）24所截得的弦长为，则a的值为（）A7或1B7或1C7或1D7或1【解析】圆心为C（0，4），半径R2，直线l：ax+y+2a0被圆C：x2+（y4）24所截得的弦长为，圆心到直线的距离d满足d2R2（）2422，
11、即d，平方得2a2+216+16a+4a2，即a2+8a+70，即（a+1）（a+7）0，得a1或a7，故选：A【练习4】已知圆x2+y21的圆心为O，点P是直线l：mx3y+3m20上的动点，若该圆上存在点Q使得QPO30，则实数m的最大值为 【解析】直线l的方程可化为（x+3）m（y+2）0，令，得，即直线l过定点（3，2），因为该圆上存在点Q使得QPO30，故，即OP2，所以OP2，解得，故填：4【练习5】过直线l：yx2上任意点P作圆C：x2+y21的两条切线，切点分别为A，B，当切线最小时，PAB的面积为 【解答】如图，要使切线长最小，则|OP|最小，过O作直线yx2的垂线，则垂足为
12、P，可得|OP|，A，B为圆C：x2+y21与两坐标轴的交点，则PAPB1，APB90，PAB的面积为故答案为：课后自我检测1已知圆，直线，则直线与圆的位置关系（ ）A相离B相切C相交D以上皆有可能【答案】C【解析】方法一：直线方程可整理为：由圆方程可知，圆心：；半径：圆心到直线的距离：若，则，此时直线与圆相交若，则又（当且仅当时取等号） 则，此时直线与圆相交综上所述：直线与圆相交方法二：因为直线过定点（-1,1），点（-1,1）在圆内，所以直线与圆相交。2过点的直线与圆相交于，两点，若，则该直线的斜率为（ ）ABCD【答案】A【解析】由题意设直线的方程为，因为圆的圆心为，半径为，又弦长，所以
13、圆心到直线的距离为，所以有，解得. 故选A3已知圆，圆，圆与圆的公切线的条数的可能取值共有（）A2种B3种C4种D5种【答案】D【解析】两圆的圆心和半径分别为A（0，0），半径R=1， B（2，0），半径为r， |AB|=2，半径之和为1+r，半径之差为r-1， 若两圆相外切，即1+r=2，即r=1时，此时两圆公切线有3条， 若两圆外离，则1+r2，即0r1时，两圆公切线有4条， 若两圆相交，则r-12且21+r，即1r3时，两圆相交，此时公切线有2条， 若两圆内切，即r-1=2，即r=3时，此时两圆公切线有1条， 若两圆内含，即r-12，即r3，此时两圆公切线为0条， 即圆A与圆B的公切线的
14、条数的可能取值有5种， 故选：D4设过点的直线与圆的两个交点为，若，则=（ ）ABCD【答案】A【解析】由题意，设，直线的方程为，由得，则，又，所以，故，即，代入得：，故，又，即，整理得：，解得或，又，当时，；当时，；综上.故选A5设直线与圆相交于，两点，若，则（ ）A-1或1B1或5C-1或3D3或5【答案】B【解析】由题得圆的方程为，所以圆心为(-1,2),半径为.所以圆心到直线的距离为.故选：B6已知点，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值为（ ）A B C D【答案】D【解析】如图：依题意得点在直线上，点关于直线对称的点,点在圆关于直线对称的圆上，则，设圆的圆心为，因为，所以，当
15、五点共线，在线段上，在线段上时“=”成立.因此，的最大值为4.7. 直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆x-22+y2=2上,则ABP面积的取值范围是()A.2,6B.4,8C.2,32D.22,32【解析】选A.由A(-2,0),B(0,-2),则三角形ABP的底边|AB|=22,圆心(2,0)到直线x+y+2=0的距离为d=|2+0+2|2=22,又因为半径为r=2,所以点P到直线x+y+2=0的距离的最大值为22+2=32,最小值为22-2=2,则三角形ABP的面积的最大值为Smax=122232=6,最小值为Smin=12222=2,故ABP面积的取值范围为2,6
16、.8. 在平面直角坐标系中,记d为点P(cos,sin)到直线x-my-2=0的距离, 当,m变化时,d的最大值为()A.1B.2C.3D.4【解析】选C.方法一:由已知d=|cos-msin-2|1+m2=11+m2cos-m1+m2sin-21+m2=sin(+)-21+m2|sin(+)|+|21+m2|1+2=3.当且仅当21+m2=2,且sin(+)=-1时取=,此时m=0,d=|cos-2|,cos能取到-1,所以d的最大值为3.方法二:由已知及sin2+cos2=1,点P(cos,sin)在圆x2+y2=1上.又直线x-my-2=0过定点(2,0),当d取得最大值时,即圆x2+y
17、2=1上的动点P到动直线x-my-2=0距离最大,此时圆x2+y2=1的圆心(0,0)到动直线x-my-2=0距离最大,数形结合,可知动直线为x=2时,圆心(0,0)到动直线x-my-2=0距离最大值为2,所以圆x2+y2=1上的动点P到动直线x-my-2=0的距离最大值为2+1=3,即d的最大值为3.9. 圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a =()A. B. C. D.2【解析】选A.圆x2+y2-2x-8y+13=0化为标准方程为:(x-1)2+(y-4)2=4,故圆心为(1,4),d=1,解得a=.10. 在平面直角坐标系xOy中, A为直线l
18、: y=2x上在第一象限内的点, B(5,0),以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D. 若=0,则点A的横坐标为.【解析】因为AB为直径,所以ADBD,所以BD即B到直线l的距离,BD=|0-25|12+22=25.因为CD=AC=BC=r,又CDAB,所以AB=2BC=210,设A(a,2a),AB=(a-5)2+4a2=210a=-1或3(a=-1舍去).答案:311. 在平面直角坐标系xOy中,A(-12,0), B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上,若 20,则点P的横坐标的取值范围是.【解析】设P(x,y),由 20,易得2x-y+50,由可得A:或B:由2x-y+50得P
19、点在圆左边弧上,结合限制条件-5 x 5可得点P横坐标的取值范围为-5,1.答案:-5,112. 已知直线l: mx+y+3m-=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,若|AB|=2,则|CD|=.【解析】取AB的中点E,连接OE,过点C作BD的垂线,垂足为F,圆心到直线的距离d=,所以在RtOBE中,BE2=OB2-d2=3,所以d=3,得m=-,又在CDF中,FCD=30,所以CD=4.答案:413圆的方程为，圆的圆心若圆与圆外切，求圆的方程；若圆与圆交于A、B两点，且求圆的方程【解析】圆的方程为，圆心坐标，半径为：2，圆的圆心圆心距为：，圆与圆
20、外切，所求圆的半径为：，圆的方程，圆与圆交于A、B两点，且所以圆交到AB的距离为：，当圆到AB的距离为：，圆的半径为：圆的方程：当圆到AB的距离为：，圆的半径为：圆的方程：综上：圆的方程：或14已知圆，点（1）设点是圆上的一个动点，求的中点的轨迹方程；（2）直线与圆交于，求的值【解析】（1）由题意，设，由点是圆上的一个动点，则，又由Q是AP的中点，根据中点公式得，解得代入圆的方程可得：，整理得的中点的轨迹方程为：（2）由直线与圆交于，把直线的方程代入圆的方程可得：，整理得则，=.15已知圆的标准方程为，为圆上的动点，直线的方程为，动点在直线上（1）求的最小值，并求此时点的坐标；（2）若点的坐标
21、为，过作直线与圆交于，两点，当时，求直线的方程【解析】（1）依题意知：的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径，且点，故，的最小值为又过圆心且与直线垂直的直线方程为：，联立解得，综上可知，的最小值为，此时点；（2）把点代入直线的方程可得，即，由，半径得圆心到直线的距离， 当直线斜率不存在时，直线的方程为：，符合题意， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，即，解得，故直线的方程为：.综上可知，直线的方程为：或16已知圆关于直线对称的圆为（1）求圆C的方程；（2）过点（1，0）作直线l与圆C交于A，B两点，O是坐标原点，是否存在直线l，使得AOB=90？若存在，求出所有满足条件的直线l的方程；若不
22、存在，请说明理由【解析】（） 圆C1化为标准方程为（x-1）2+y29，设圆心（1，0）关于直线l1：yx+1的对称点为C（a，b），则，且CC1的中点在直线l1：yx+1上，有，解得：，圆C的方程为，（）假设存在直线l，显然直线l有斜率，设直线，设经过直线l和圆C的圆的方程为：即，依题意该圆过原点且圆心在直线l上，解得=-4，k=1，所以存在直线17. 已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.（1）证明：直线AB过定点：（2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.【解析】（1）设，则.由于，所以切线DA的
23、斜率为，故 .整理得 设，同理可得.故直线AB的方程为.所以直线AB过定点.（2）由（1）得直线AB的方程为.由，可得.于是，.设分别为点D，E到直线AB的距离，则.因此，四边形ADBE的面积.设M为线段AB的中点，则.由于，而，与向量平行，所以.解得t=0或.当=0时，S=3；当时，.因此，四边形ADBE的面积为3或.18. 如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程.(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程
24、.(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得,求实数t的取值范围.【解析】(1)设点N(6,n),因为与x轴相切,则圆N为(x-6)2+(y-n)2=n2,n0,又圆N与圆M外切,圆M:(x-6)2+(y-7)2=25,则|7-n|=|n|+5,解得n=1,即圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.(2)由题意得OA=2,kOA=2,设l:y=2x+b,则圆心M到直线l的距离d=,则BC=2=2,BC=2,即2=2b=5或b=-15,即l: y=2x+5或y=2x-15.(3)因为,所以,根据|10,即10t2-2,2+2,所以t的取值范围为2-2,2+2.对于任意t2-2,2+2,欲使,此时|10,只需要作直线TA的平行线,使圆心到直线的距离为,必然与圆交于P,Q两点,此时,即,因此对于任意t2-2,2+2,均满足题意,综上t2-2,2+2.
