1、2022年中考数学复习专题12：函数单调性、极值、最值与导数问题【一】判断函数单调性 1.例题【例1】已知函数判断函数的单调性。【解析】由题意可求，1.当时，在上为减函数；2.当时，令，解得, 令，解得于是在为增函数，在为减函数；【例2】已知函数，其中aR，讨论并求出f(x)在其定义域内的单调区间【解析】，设g(x)x2ax1，x0，当a0时，g(x)0，f(x)0在x(0，)上恒成立，此时函数f(x)在区间(0，)上单调递增；当a0时，.当10，即0a2时，g(x)0，f(x)0在x(0，)上恒成立，此时函数f(x)在区间(0，)上单调递增；当a2时，方程g(x)0的两根分别为，且0x1x2
2、，当x(0，x1)时，g(x)0，f(x)0，故函数f(x)在(0，x1)上单调递增；当x(x1，x2)时，g(x)0，f(x)0，故函数f(x)在(x1，x2)上单调递减；当x(x2，)时，g(x)0，f(x)0，故函数f(x)在(x2，)上单调递增综上所述，当a2时，函数f(x)的单调增区间为，没有减区间；当a2时，函数f(x)的减区间为；增区间为(0，x1)，(x2，)2.巩固提升综合练习【练习1】已知函数，.设，讨论函数的单调性；【解析】因为，所以，若，.在上单调递减.若，则，当，或时，当时，在，上单调递减，在上单调递增.若，则，当，或时，当时，.在，上单调递减，在上单调递增.【练习2
3、】已知，求单调区间.【解析】该函数定义域为（第一步：对数真数大于0求定义域）令，解得（第二步，令导数等于0，解出两根）（1）当时，单调增，单调减（第三步，在不在进行分类，当其不存在得到；第四步数轴穿根或图像判断正负）（2）当时即单调增，（第五步，x1在区间时，进行比较大小，当得到第四步图像判断正负）当时，即单调增，单调减（当得到；第四步图像判断正负）当时，即单调增，单调减（得到；第四步图像判断正负）综上可知：，单调增，单调减；，单调增单调增，单调减，单调增， 单调减【二】根据单调性求参数 1.例题【例1】（1）若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是 .（2）函数在区间上不单调，实数的范围是
4、（ ）（3）若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为 . （4）若函数存在增区间，则实数的取值范围为 .【解析】（1）因为函数的单调减区间为，又函数在区间上是减函数，则，则，解得：，（2），令，得.当或时，；当时，.所以，函数的极大值点为，极小值点为.由题意可得或，解得或.（3）由，即，解得.二次函数的对称轴为.由复合函数单调性可得函数的单调递增区间为要使函数在区间内单调递增，则，即，解得.（4）若函数不存在增区间，则函数单调递减，此时在区间恒成立，可得，则，可得，故函数存在增区间时实数的取值范围为【例2】已知函数恰有三个单调区间，则实数a的取值范围为（ ）ABCD【解析】（1），有三个单调
5、区间，解得且故选B2.巩固提升综合练习【练习1】函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】D【解析】由题意得：在上单调递增等价于：在上恒成立即： 当时， 本题正确选项：【练习2】已知函数f(x)=x3+ax2+x+1（aR）在(-23,-13)内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（ ）A(0,3B(-,3C(3,+)D(3,3)【答案】C【解析】fx=3x2+2ax+1 假设f(x) 在(-23,-13)内不存在单调递减区间，而f(x)又不存在常函数情况，所以f(x) 在(-23,-13)内递增，即有x (-23,-13)时不等式fx=3x2+2ax+10恒成立，即x (-2
6、3,-13)时，a-32x-12x=-32x+13x 恒成立，解得a3，所以函数f(x) 在(-23,-13)内存在单调递减区间，实数a的取值范围是(3,+)故选C【练习3】若函数在区间上是单调函数，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【解析】单调递增，单调递减.函数在区间上是单调函数区间上是单调递减不满足只能区间上是单调递增.故故答案选B【三】函数的极值问题 (1)函数的极小值：函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其它点的函数值都小，f(a)0，而且在点xa附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值(2)函
7、数的极大值：函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近的其他点的函数值都大，f(b)0，而且在点xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点b叫做函数yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数yf(x)的极大值极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值1.例题【例1】(1)函数的极大值点是_，极大值是_。(2)函数的极大值为，则实数_【答案】(1)2 16 (2)3 【解析】(1)依题意，故函数在或时，导数小于零，函数单调递减，在时，导数大于零，函数单调递增，故函数在处取得极大值.即极大值点为，极大值为.(2)函数的极大值为， 由题意知：，当时，有极大值，所以故答案为3
8、【例2】(1)函数在处有极值为7，则（ ）A-3或3B3或-9C3D-3(2)若函数在上有小于的极值点，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】(1)C(2)B【解析】(1)，解得或，时，当时，当时，是极小值点；时，不是极值点故选C(2)由因为在上有小于的极值点，所以有小于0的根，由的图像如图：可知有小于0的根需要，所以选择B2.巩固提升综合练习【练习1】已知函数，若在处与直线相切（1）求的值；（2）求在上的极值【答案】（1） （2）极大值为，无极小值【解析】（1）函数在处与直线相切，即，解得；（2）由（1）得：，定义域为，令，解得，令，得在上单调递增，在上单调递减，在上的极大值为，无极小值【
9、练习2】若函数在内有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】由题意，因为在内有两个不同的极值点，所以在内有两个不同的解，由于是的一个解，则在上只有一个不为1的解，则，即函数与的图象在上只有一个交点，且交点的横坐标不为1，令，求导得，则时，；时，故在上单调递增，在上单调递减，且在上恒成立，故当，即时，函数与的图象在上只有一个交点.当时，函数与的图象在上只有一个交点，但不符合题意，需舍去.故时，函数在内有两个不同的极值点.故选D.【练习3】已知函数既存在极大值又存在极小值，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【解析】，由于函数既有极大值，又有最小值，则导函数有两个
10、零点，即，解得或.因此，实数的取值范围是，故选：B.【四】函数的最值问题 求函数最值的五种常用方法及其思路(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值(3)基本不等式法：先对解析式变形，具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值1.例题【例1】已知函数，当时，函数有极小值.（1）求的解析式；（2）求在上的值域.【解析】（1），由题意得，解得，经检验为的极小值点，符合
11、题意.（2）由（1）得当时，；当时，.所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为.因为，所以的最大值为.所以在上的值域为.【例2】（1）已知f(x)=-13x3+x在区间(a,10-a2)上有最大值，则实数a的取值范围是（ ）A a-1 B-2a3 C-2a1 D-3a1（2）已知函数在区间上有最大值无最小值，则实数的取值范围（ ）ABCD【答案】（1）C（2）C【解析】（1）因为函数f（x）=13x3+x在（a，10a2）上有最大值，则其最大值必是区间上的极大值f（x）=x2+1，令f （x）=x2+1=0，可得x=1，分析易得x=1是极大值点对于f （x）=x2+1，结合二次函数的性质
12、可得：a110a2，且f（a）f（1），解得2a1,故答案为：C（2）设函数在区间上有最大值无最小值即在有零点，且满足： 即故答案选C2.巩固提升综合练习【练习1】若是函数的极值点，则在上的最小值为_.【答案】【解析】，则，解得，所以，则.令，得或；令，得.所以在上单调递减；在上单调递增.所以.【练习2】已知函数f(x)=x3-ax2在(-1，1)上没有最小值，则a的取值范围是_【答案】（-1,）【解析】f（x）=x3ax，f （x）=3x22ax=x(3x-2a)，当f （x）=0时，x=0或x=2a3,（1）当2a3（，1时，即a-32时，f(x)在（-1，0）单调递减，在（0，1）单调递
13、增，此时x=0时f（x）取得最小值，所以舍去.（2）当-12a30时，f(x)在（-1，2a3）单调递增，在（2a3，0）单调递增减，在（0，1）单调递增，由题意f(x)=x3-ax2在(-1，1)上没有最小值，则有-12a3f(-1)-1a0.（3）当a=0时，f(x)=x3在(-1，1)上显然没有最小值，故成立.（4）当02a31时，f(x)在（-1，0）单调递增，在（0，2a3）单调递增减，在（2a3，1）单调递增，由题意f(x)=x3-ax2在(-1，1)上没有最小值，则有02a3f(-1)0a-1.故答案为（-1,）.课后自我检测1若函数不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）.A0,
14、+）B（，0C（，0）D(0,+）【答案】C【解析】函数的定义域为，函数的导数为，当时，函数是单调增函数，不合题意；当时，函数在 上递减，在 递增，不是单调函数，则实数的取值范围是，故选C.2已知函数在上不单调，则m的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】.因为在上不单调，所以，故.故答案为A3对于任意，当时，恒有成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【解析】对于任意，当时，恒有成立，即成立，令，在上单调递减，在恒成立，在恒成立，当，实数的取值范围为，故选C.4已知函数f(x)x3sin x，x(1，1)，则满足f(a21)f(a1)0的a的取值范围是( )A(0，2)B(1，)
15、C(1，2)D(0，)【答案】B【解析】函数f（x）x3+sinx，x（1，1），则f（x）f（x），f（x）在区间（1，1）上是奇函数；又f （x）3x2+cos x0， f（x）在区间（1，1）上单调递增；f（a21）+f（a1）0，f（a1）f（a21），f（1a）f（a21）， ，求得1a ，故选：B5在上的极小值为（ ）ABCD【答案】A【解析】因为，所以，令，所以或；因此，当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增；所以当时，取极小值，且极小值为.故选A6在区间1，5上的最大值是（ ）A-2B0C52D2【答案】C【解析】，令，得.当时，；当时，.所以，函数的极小值为，又，因此
16、，函数在区间上的最大值为，故选：C.7若函数f(x)=x3-3ax-a在区间(0,1)内有最小值，则a的取值范围是（ ）A0a1B0a1C-1a1D0a0，得x=a，0a1，0a-2B-3aC-3a-2D-3a-2【答案】C【解析】因为函数f(x)=-x3-ax在(-,-1上单调递减，所以fx=-3x2-a0对于一切x-,-1恒成立，得-3x2a,a-3，又因为g(x)=2x-ax在区间(1,2上既有最大值，又有最小值，所以，可知gx=2x+ax2在1,2上有零点，也就是极值点，即有解2x+ax2=0，在1,2上解得a=-2x3，可得-8a-2,-3a-2，故选C.10已知函数f(x)=ax+
17、xlnx，g(x)=-x3+x2+5，若对任意的x1,x212,2，都有f(x1)-g(x2)0成立，则实数a的取值范围是（ ）A-,2-4ln2 B-,1 C2-4ln2,12+14ln2 D-,12+14ln2【答案】A【解析】根据题意，对任意的x1，x212，2，都有f(x1)-g(x2)0即f(x1)g(x2)f(x)maxgxmin，恒成立gx=-3x2+2x，在x12，2内先增后减g(2)g(12)，故gxmin=1则f(x) 1，ax+xlnx1解得ax-x2lnx令hx= x-x2lnx，则hx=1-2xlnx-xhx=-2lnx-3在区间12，2内，hx0,即-62a62.则
18、此时要满足f00,0a31,f10,解得1a3.又因为-62a62,所以1a0，所以g(x)在1,+)上单调递增，所以g(x)min=g(1)=2e-1，所以a2e-1.（）当a=1时，f(x)=lnx-xex+x(x0).则f(x)=1x-(x+1)ex+1=(x+1)(1x-ex)，令m(x)=1x-ex，则m(x)=-1x2-ex0，m(1)0满足m(x0)=0，即ex0=1x0.当x(0,x0)时，m(x)0，f(x)0；当x(x0,+)时，m(x)0，f(x)0.所以f(x)在(0,x0)上单调递增，在(x0,+)上单调递减.所以f(x)max=fx0=lnx0-x0ex0+x0，因
19、为ex0=1x0，所以x0=-lnx0，所以f(x0)=-x0-1+x0=-1，所以f(x)max=-1.21设函数f(x)aex(x1)(其中e2.71828)，g(x)x2bx2，已知它们在x0处有相同的切线(1)求函数f(x)，g(x)的解析式；(2)求函数f(x)在t，t1(t3)上的最小值【解析】(1)f(x)aex(x2)，g(x)2xb，由题意，两函数在x0处有相同的切线，f(0)2a，g(0)b，2ab，f(0)ag(0)2，a2，b4，f(x)2ex(x1)，g(x)x24x2。(2)由(1)得f(x)2ex(x2)当x2时，则f(x)0，所以f(x)在(2，)上单调递增，当
20、x2时，则f(x)0，所以f(x)在(，2)上单调递减，t3，t12，当3t2时，f(x)在t，2上单调递减，在2，t1上单调递增， f(x)minf(2).，当t2时，f(x)在t，t1上单调递增，f(x)minf(t)2et(t1)综上：当3t2时，f(x)min2e2；当t2时，f(x)min2et(t1)22. 已知函数，讨论函数的单调性；【解析】，令，其对称轴为，令，则.当时，所以在上单调递增；当时，对称轴为，若，即，恒成立，所以，所以在上单调递增；若时，设的两根，当时，所以，所以在上单调递增，当时，所以，所以在上单调递减，当时，所以，所以在上单调递增，综上所述：当时， 在上单调递增
21、；若时， 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 23已知函数，讨论的单调性；.【解析】的定义域为，对于函数，当时，即时，在恒成立在恒成立，在为增函数； 当，即或时，当时，由，得或，在为增函数，减函数，为增函数， 当时，由在恒成立，在为增函数 综上，当时，在为增函数，减函数，为增函数；当时，在为增函数24已知函数，其中aR.(1)当a4时，求f(x)的极值点；(2)讨论并求出f(x)在其定义域内的单调区间【答案】（1）x2为f(x)的极大值点，x2为f(x)的极小值点；（2）详见解析.【解析】(1)f(x)的定义域为(0，)，当a4时，f(x)lnx，.令f(x)0x2.列表x(0，2)2
22、(2，2)2(2，)f(x)00f(x)极大值极小值所以，x2为f(x)的极大值点，x2为f(x)的极小值点(2)，设g(x)x2ax1，x0，当a0时，g(x)0，f(x)0在x(0，)上恒成立，此时函数f(x)在区间(0，)上单调递增；当a0时，.当10，即0a2时，g(x)0，f(x)0在x(0，)上恒成立，此时函数f(x)在区间(0，)上单调递增；当a2时，方程g(x)0的两根分别为，且0x1x2，当x(0，x1)时，g(x)0，f(x)0，故函数f(x)在(0，x1)上单调递增；当x(x1，x2)时，g(x)0，f(x)0，故函数f(x)在(x1，x2)上单调递减；当x(x2，)时，g(x)0，f(x)0，故函数f(x)在(x2，)上单调递增综上所述，当a2时，函数f(x)的单调增区间为，没有减区间；当a2时，函数f(x)的减区间为；增区间为(0，x1)，(x2，)
